Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
  Если из вершины <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи относительно паросочетания <tex>M</tex>, то если  паросочетание <tex>M'</tex> получается из <tex>M</tex> изменением вдоль дополняющей цепи, тогда из <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи в <tex>M'</tex>.
+
  Если из вершины <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи относительно паросочетания <tex>M</tex> и паросочетание <tex>M'</tex> получается из <tex>M</tex> изменением вдоль дополняющей цепи, тогда из <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи в <tex>M'</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
[[Файл:Kuhn1.png|thumb|left|300x300px|Пунктиром обозначен путь между двумя вершинами. Ребро красного цвета лежит в паросочетании, а черного - нет.]]
 
[[Файл:Kuhn1.png|thumb|left|300x300px|Пунктиром обозначен путь между двумя вершинами. Ребро красного цвета лежит в паросочетании, а черного - нет.]]
Строка 8: Строка 8:
 
Доказательство от противного. Допустим в паросочетание внесли изменения вдоль дополняющей цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex> и из вершины <tex>x</tex> появилась дополняющая цепь. Заметим, что эта дополняющая цепь должна вершинно пересекаться с той цепью, вдоль которой вносились изменения, иначе такая же дополняющая цепь из <tex>x</tex> существовала и в исходном паросочетании. Пусть <tex>p</tex> - ближайшая к <tex>x</tex> вершина, которая принадлежит и новой дополняющей цепи и цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>. Тогда <tex>MP</tex> - последнее ребро на отрезке <tex>(y \rightsquigarrow p)</tex> цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, <tex>NP</tex> - последнее ребро на отрезке <tex>(z \rightsquigarrow p)</tex> цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, <tex>QP</tex> - последнее ребро лежащее на отрезке <tex>(x \rightsquigarrow p)</tex> новой дополняющей цепи.(см. рисунок). Допустим <tex>MP</tex> принадлежит паросочетанию <tex>M'</tex>, тогда <tex>NP</tex> ему не принадлежит. Поскольку паросочетание <tex>M'</tex> получается из <tex>M</tex> изменением вдоль дополняющей цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, в паросочетание <tex>M</tex> входило ребро <tex>NP</tex>, а ребро <tex>MP</tex> нет. Кроме того, ребро <tex>QP</tex> не лежит ни в исходном паросочетании <tex>M</tex>, ни в паросочетании <tex>M'</tex>, в противном случае оказалось бы, что вершина <tex>p</tex> инцидентна нескольким ребрам из паросочетания, что противоречит определению паросочетания. Тогда заметим, что цепь <tex>(x \rightsquigarrow z)</tex>, полученная объединением цепей <tex>(x \rightsquigarrow p)</tex> и <tex>(p \rightsquigarrow z)</tex>, по определению будет дополняющей в паросочетании <tex>M</tex>, что приводит к противоречию, поскольку в паросочетании <tex>M</tex> из вершины <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи.
 
Доказательство от противного. Допустим в паросочетание внесли изменения вдоль дополняющей цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex> и из вершины <tex>x</tex> появилась дополняющая цепь. Заметим, что эта дополняющая цепь должна вершинно пересекаться с той цепью, вдоль которой вносились изменения, иначе такая же дополняющая цепь из <tex>x</tex> существовала и в исходном паросочетании. Пусть <tex>p</tex> - ближайшая к <tex>x</tex> вершина, которая принадлежит и новой дополняющей цепи и цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>. Тогда <tex>MP</tex> - последнее ребро на отрезке <tex>(y \rightsquigarrow p)</tex> цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, <tex>NP</tex> - последнее ребро на отрезке <tex>(z \rightsquigarrow p)</tex> цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, <tex>QP</tex> - последнее ребро лежащее на отрезке <tex>(x \rightsquigarrow p)</tex> новой дополняющей цепи.(см. рисунок). Допустим <tex>MP</tex> принадлежит паросочетанию <tex>M'</tex>, тогда <tex>NP</tex> ему не принадлежит. Поскольку паросочетание <tex>M'</tex> получается из <tex>M</tex> изменением вдоль дополняющей цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, в паросочетание <tex>M</tex> входило ребро <tex>NP</tex>, а ребро <tex>MP</tex> нет. Кроме того, ребро <tex>QP</tex> не лежит ни в исходном паросочетании <tex>M</tex>, ни в паросочетании <tex>M'</tex>, в противном случае оказалось бы, что вершина <tex>p</tex> инцидентна нескольким ребрам из паросочетания, что противоречит определению паросочетания. Тогда заметим, что цепь <tex>(x \rightsquigarrow z)</tex>, полученная объединением цепей <tex>(x \rightsquigarrow p)</tex> и <tex>(p \rightsquigarrow z)</tex>, по определению будет дополняющей в паросочетании <tex>M</tex>, что приводит к противоречию, поскольку в паросочетании <tex>M</tex> из вершины <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи.
 
}}
 
}}
 +
 
==Алгоритм==
 
==Алгоритм==
 
Пусть дан двудольный граф <tex>G(V, E)</tex> и требуется найти максимальное паросочетание в нём. Обозначим доли исходного графа как <tex>L</tex> и <tex>R</tex>. <br>
 
Пусть дан двудольный граф <tex>G(V, E)</tex> и требуется найти максимальное паросочетание в нём. Обозначим доли исходного графа как <tex>L</tex> и <tex>R</tex>. <br>

Версия 02:10, 20 сентября 2011

Теорема

Теорема:
Если из вершины [math]x[/math] не существует дополняющей цепи относительно паросочетания [math]M[/math] и паросочетание [math]M'[/math] получается из [math]M[/math] изменением вдоль дополняющей цепи, тогда из [math]x[/math] не существует дополняющей цепи в [math]M'[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пунктиром обозначен путь между двумя вершинами. Ребро красного цвета лежит в паросочетании, а черного - нет.
Kuhn2.png
Доказательство от противного. Допустим в паросочетание внесли изменения вдоль дополняющей цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math] и из вершины [math]x[/math] появилась дополняющая цепь. Заметим, что эта дополняющая цепь должна вершинно пересекаться с той цепью, вдоль которой вносились изменения, иначе такая же дополняющая цепь из [math]x[/math] существовала и в исходном паросочетании. Пусть [math]p[/math] - ближайшая к [math]x[/math] вершина, которая принадлежит и новой дополняющей цепи и цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math]. Тогда [math]MP[/math] - последнее ребро на отрезке [math](y \rightsquigarrow p)[/math] цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math], [math]NP[/math] - последнее ребро на отрезке [math](z \rightsquigarrow p)[/math] цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math], [math]QP[/math] - последнее ребро лежащее на отрезке [math](x \rightsquigarrow p)[/math] новой дополняющей цепи.(см. рисунок). Допустим [math]MP[/math] принадлежит паросочетанию [math]M'[/math], тогда [math]NP[/math] ему не принадлежит. Поскольку паросочетание [math]M'[/math] получается из [math]M[/math] изменением вдоль дополняющей цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math], в паросочетание [math]M[/math] входило ребро [math]NP[/math], а ребро [math]MP[/math] нет. Кроме того, ребро [math]QP[/math] не лежит ни в исходном паросочетании [math]M[/math], ни в паросочетании [math]M'[/math], в противном случае оказалось бы, что вершина [math]p[/math] инцидентна нескольким ребрам из паросочетания, что противоречит определению паросочетания. Тогда заметим, что цепь [math](x \rightsquigarrow z)[/math], полученная объединением цепей [math](x \rightsquigarrow p)[/math] и [math](p \rightsquigarrow z)[/math], по определению будет дополняющей в паросочетании [math]M[/math], что приводит к противоречию, поскольку в паросочетании [math]M[/math] из вершины [math]x[/math] не существует дополняющей цепи.
[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

Пусть дан двудольный граф [math]G(V, E)[/math] и требуется найти максимальное паросочетание в нём. Обозначим доли исходного графа как [math]L[/math] и [math]R[/math].
1) Просматриваем вершины [math]s[/math] из доли [math]L[/math].

2) Будем искать дополняющую цепь из [math]s[/math] (например, поиском в глубину).

3) Если цепь найдена, инвертируем все ребра на этой цепи.

В любой момент времени текущим паросочетанием будет множество ребер, направленных из [math]R[/math] в [math]L[/math]. Корректность работы алгоритма следует из теоремы Бержа и доказанной выше теоремы.

Псевдокод

 bool  dfs(x):
   vis[x] = true
   for [math]xy \in E[/math]:
       k = py[y]
       if (k == -1) or ((not vis[k]) and (dfs(k))):
           py[y] = x
           return true
   return false
 Kuhn():
   py[] = -1
   for [math]s \in L[/math]:
       vis[] = false
       dfs(s)

Время работы

Итак, алгоритм Куна можно представить как серию из |[math]L[/math]| запусков обхода в глубину на всём графе. Следовательно, всего этот алгоритм исполняется за время [math]O(V E)[/math], что в худшем случае есть [math]O(V^3)[/math].

Источники

Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — СПб.: Издательство "Лань", 2010. — 291 стр.