Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания — различия между версиями
(Новая страница: «{{Теорема |statement= Если из вершины х не существует дополняющей цепи относительно паросочета…») |
|||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
|statement= | |statement= | ||
Если из вершины х не существует дополняющей цепи относительно паросочетание М, то если паросочетание М' получается из М изменением вдоль дополняющей цепи, то из х не существует дополняющей цепи в М'. | Если из вершины х не существует дополняющей цепи относительно паросочетание М, то если паросочетание М' получается из М изменением вдоль дополняющей цепи, то из х не существует дополняющей цепи в М'. | ||
| − | |proof= | + | |proof=Доказательство от противного! Допустим, что из х появилась дополняющая цепь относительно M'. Рассмотрим изменения, которые мы внесли в М вдоль дополняющей цепи, чтобы получить паросочетание М'. В этой цепи все промежуточные вершины были насыщенными, а концы свободные. После изменения вдоль этой цепи все вершины, лежащие на этой цепи станут насыщенными. Тогда появившаяся дополняющая цепь должна проходить хотя бы через одну из концевых вершин в той дополняющей цепи, относительно которой вносили изменения, поскольку иначе такая же дополняющая цепь была и в паросочетании М. Однако поскольку в паросочетании М концевые вершины не насыщены, то из вершины х в паросочетании М есть все равно есть дополняющая цепь. Надо рассмотреть часть дополняющей цепи В М', ограниченную концом текущей дополняющей цепи и концом той дополняющей цепи, вдоль которой вносили изменения, такую что вершина х будет промежуточной. Легко заметить что в такой цепи все промежуточные вершины насыщенные, а концы свободны, поэтому она является дополняющей. Значит, мы пришли к противоречию, поскольку в паросочетании М нет дополняющих цепей из вершины х. |
}} | }} | ||
Версия 12:00, 14 декабря 2010
| Теорема: |
Если из вершины х не существует дополняющей цепи относительно паросочетание М, то если паросочетание М' получается из М изменением вдоль дополняющей цепи, то из х не существует дополняющей цепи в М'. |
| Доказательство: |
| Доказательство от противного! Допустим, что из х появилась дополняющая цепь относительно M'. Рассмотрим изменения, которые мы внесли в М вдоль дополняющей цепи, чтобы получить паросочетание М'. В этой цепи все промежуточные вершины были насыщенными, а концы свободные. После изменения вдоль этой цепи все вершины, лежащие на этой цепи станут насыщенными. Тогда появившаяся дополняющая цепь должна проходить хотя бы через одну из концевых вершин в той дополняющей цепи, относительно которой вносили изменения, поскольку иначе такая же дополняющая цепь была и в паросочетании М. Однако поскольку в паросочетании М концевые вершины не насыщены, то из вершины х в паросочетании М есть все равно есть дополняющая цепь. Надо рассмотреть часть дополняющей цепи В М', ограниченную концом текущей дополняющей цепи и концом той дополняющей цепи, вдоль которой вносили изменения, такую что вершина х будет промежуточной. Легко заметить что в такой цепи все промежуточные вершины насыщенные, а концы свободны, поэтому она является дополняющей. Значит, мы пришли к противоречию, поскольку в паросочетании М нет дополняющих цепей из вершины х. |
