276
правок
Изменения
м
* [http://www.academia.edu/3146231/Algorithms_on_strings_trees_and_sequences_computer_science_and_computational_biology ''Gusfield, Dan'' , Algorithms on Strings, Trees and Sequences: Computer Science and Computational Biology // Cambridge University Press, {{---}} 1999. {{---}} ISBN: 0-521-58519-8]
* [http://users-cs.au.dk/cstorm/courses/StrAlg_f12/slides/suffix-tree-construction.pdf ''C. N. Storm'', McCreight's suffix tree construction algorithm]
Нет описания правки
'''Алгоритм МакКрейта''' (англ. ''McCreight's algorithm'') — алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex> за линейное время. Отличается от [[Алгоритм Укконена| алгоритма Укконена]] тем, что добавляет суффиксы в порядке убывания длины.
==Историческая справка==
Первым оптимальным по времени был алгоритм, предложенный Вайнером в 1973 году. Идея алгоритма была в нахождении первых символов суффикса, которые находились в уже построенном дереве. Суффиксы просматривались от самого короткого к самому длинному, а для быстрого поиска использовались по два массива размера алфавита на каждую вершину, что затрудняло как понимание алгоритма, так и его реализацию и эффективность, особенно в плане занимаемой памяти. МакКрейт в 1976 году предложил свой алоритм<ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.130.8022&rep=rep1&type=pdf свой алгоритмEdward M. McCreight {{---}} A Space-Economical Suffix Tree Construction Algorithm]</ref>, в котором порядок добавления суффиксов заменен на обратный, а для быстрого вычисления места, откуда нужно продолжить построение нового суффикса, достаточно суффиксной ссылки в каждой вершине. В 1995 году Укконен представил свою версию алгоритма<ref>[http://www.cs.helsinki.fi/u/ukkonen/SuffixT1withFigs.pdf свою версию алгоритмаEsko Ukkonen {{---}} On-line construction of suffix trees]</ref>, которая считается наиболее простой для понимания, а также, в отличие от алгоритмов Вейнера и МакКрейта, является online алгоритмом, способным строить неявное суффиксное дерево по мере прочтения строки, а затем превратить его в настоящее.
== Теоретическое обоснование ==
Рассмотрим строку <tex>s</tex> длины <tex>n</tex>, которая заканчивается специальным символом, не встречающимся больше в строке.
Заметим, что если два суффикса имеют <tex>lcp</tex> (''largest common prefix'') общих символов, то в построенном суффиксном дереве они будут иметь [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ| наименьшего общего предка]] на этой глубине. Будем рассматривать суффиксы в порядке убывания длины, тогда имеет смысл узнавать наибольшее <tex>lcp</tex> с новым суффиксом среди всех суффиксов, добавленных раньше. Обозначим как <tex>head_i</tex> {{---}} максимальный префикс <tex>s[j..\ldots n]</tex> и <tex>s[i..\ldots n]</tex> среди всех <tex>j < i</tex>.
Пусть мы знаем <tex>head_i</tex> и место в дереве, которое ему соответствует. Если позиция находится на ребре, разрежем его, а потом добавим новую вершину. Считать <tex>head_i</tex> по определению было бы очень затруднительно, но существует способ значительно сократить вычисления.
{{Лемма
|id=lemma_head
|statement=Пусть <tex>head_i = s[i..\ldots i+h]</tex>, тогда <tex>s[i+1..\ldots i+h]</tex> {{---}} префикс <tex>head_{i+1}</tex>.
|proof=
* При <tex>h=0</tex>, очевидно, пустая строка является префиксом любой другой.
* Пусть <tex>h > 0</tex>. Из определения <tex>head_i</tex> существует суффикс <tex>s[j..\ldots n]</tex>, имеющий <tex>h</tex> общих символов с <tex>s[i..\ldots n]</tex>. Тогда <tex>s[j+1..\ldots n]</tex> будет иметь с <tex>s[i+1..\ldots n]</tex> общий префикс длины <tex>h-1</tex>. Поскольку любой общий префикс будет по определению также являться и префиксом <tex>head_{i+1}</tex>, получаем искомое утверждение.
}}
Если нам известны суффиксные ссылки <tex>u.suf</tex> для каждой вершины <tex>u</tex>, мы можем быстро перейти от позиции <tex>head_i</tex> к ее её суффиксу и продолжить сравнение символов оттуда. Если бы новая позиция <tex>head_i</tex> всегда оказывалась существующей вершиной построенного дерева, этот алгоритм бы уже работал, но в реальности можно оказаться на середине ребра, для которой суффиксная ссылка неизвестна. Для нахождения ее её суффиксной ссылки на следующей итерации мы сначала перейдем к предку, пройдем по суффиксной ссылке, а уже затем будем продолжать сравнение.
== Алгоритм ==
При добавлении каждого следующего суффикса будем выполнять следующие шаги:
* Если суффиксная ссылка <tex>head_{i-1}</tex> не определена:
*# Поднимемся вверх к ее её предку;
*# Пройдем по суффиксной ссылке;
*# Спустимся вниз на столько символов, сколько мы прошли вверх к предку (''fast scanning'').
|statement=Инвариант алгоритма сохраняется
|proof=Инвариант мог бы нарушиться только в случае, если бы не существовало вершины в суффиксной ссылке для <tex>head_{i-1}</tex>, но мы продолжили бы сканирование по ребру дальше и получили две вершины <tex>head_{i-1}.suf,\ head_i</tex> с неопределенными суффиксными ссылками.
Покажем, что это невозможно. Рассмотрим, что значит, что <tex>head_{i-1}.suf</tex> остановилась посередине ребра. Это означает, что все суффиксы <tex>s[j..\ldots n],\ j < i - 1</tex>, которые дошли до этого места, имеют совпадающие следующие символы, по определению <tex>head_{i-1}</tex> отличающиеся от символа суффикса <tex>s[i - 1..\ldots n]</tex>. Тогда и <tex>s[i..\ldots n]</tex> должен отличаться в этом символе, значит <tex>head_i = head_{i-1}.suf</tex>.
}}
В вершинах дерева <tex>Node</tex> будем хранить следующую информацию:
* <tex>parent</tex> {{---}} предок
* <tex>start, end</tex> {{---}} метка подстроки <tex> s[start..\ldots end] </tex> на ребре от предка
* <tex>length = end - start + 1</tex> {{---}} длина ребра до предка
* <tex>depth</tex> {{---}} глубина вершины в символах
Конструктор будет иметь вид <code>Node(Node parent, '''int''' start, '''int''' end, '''int''' depth)</code>.
Пусть глобально известна строка <tex>s</tex> со специальным символом на конце, ее её длина <tex>n</tex> и используемый алфавит <tex>\Sigma</tex>.
<code>
child = curNode.children[s[curPos]] <font color=green> // Ребенок по символу суффикса </font>
edgePos = 0 <font color=green> // Текущая позиция на ребре </font>
'''while''' символы на ребре совпадают с суффиксом
curPos++
edgePos++
''Slow scanning'' делает <tex>\left\vert head_i \right\vert - \left\vert head_{i-1} \right\vert + 1</tex> операций, что суммарно дает <tex>\left\vert head_n \right\vert - \left\vert head_0 \right\vert + n = O(n)</tex> операций.
''Fast scanning'' работает с целыми ребрамирёбрами, поэтому будем использовать в качестве [[Амортизационный анализ#Метод потенциалов| потенциала]] глубину в вершинах. Из структуры [[Сжатое суффиксное дерево| суффиксного дерева]] мы знаем, что суффиксная ссылка может уменьшить глубину вершины не более, чем на <tex>1</tex>, так что мы на каждой итерации поднимаемся не более, чем на <tex>2</tex> {{---}} один раз к предку, а потом по суффиксной ссылке, что составляет <tex>O(n)</tex> за весь алгоритм. Соответственно, спустимся мы тоже суммарно <tex>O(n)</tex> раз, так как и максимальная глубина составляет <tex>O(n)</tex>.
Итоговая асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>.
* Преимущества: мы строим суффиксное дерево в явной форме, что может облегчить понимание алгоритма.
* Недостатки: является offline алгоритмом, то есть требует для начала работы всю строку целиком.
== См. также ==
* [[Алгоритм Фарача]]
== Примечания ==<references /> == Источники информации ==* [http://www.academia.edu/3146231/Algorithms_on_strings_trees_and_sequences_computer_science_and_computational_biology Dan Gusfield, Algorithms on Strings, Trees and Sequences: Computer Science and Computational Biology // Cambridge University Press, {{---}} 1999. {{---}} ISBN: 0-521-58519-8]* [http://users-cs.au.dk/cstorm/courses/StrAlg_f12/slides/suffix-tree-construction.pdf C. N. Storm, McCreight's suffix tree construction algorithm]
* [[wikipedia:en:Suffix_tree| Wikipedia {{---}} Suffix tree ]]
[[Категория: Дискретная математика Алгоритмы и алгоритмыструктуры данных]][[Категория:Словарные структуры данных]]
