Изменения

'''Алгоритм Прима ''' (англ. ''Prim's algorithm'') — алгоритм поиска [[Лемма о безопасном ребре#Минимальное остовное дерево|минимального остовного дерева]] (англ. ''minimum spanning tree, MST'') во взвешенном [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы | неориентированном связном графе]].

==Идея==Данный алгоритм очень похож на [[алгоритм Дейкстры]]. Будем последовательно строить поддерево <tex>F</tex> ответа в графе <tex>G</tex>, поддерживая [[Дискретная_математика,_алгоритмы_и_структуры_данных#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B8 | приоритетную очередь ]] <tex>Q</tex> из вершин <tex>G \setminus F</tex>, имеющую в которой ключом для вершины <tex>v</tex> является <tex>\min\limits_{u \in V(F), uv \in EGE(G)}w(uv)</tex> (— вес минимального ребра из вершин <tex>F</tex> в вершину вершины <tex>vG \setminus F</tex>). Также для каждой вершины в очереди будем хранить <tex>p(v)</tex> — вершину <tex>u</tex>, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево <tex>F</tex> поддерживается неявно, и равно его ребра — это пары <tex>\left\{\left(v,p(v)\right)|</tex>, где <tex>v \in G \setminus \{r\} \setminus Q\right\}</tex>, где а <tex>r</tex> — корень <tex>F</tex>. Изначально <tex>F</tex> пусто, в очереди все вершины с ключами и значения ключей у всех вершин равны <tex>+\infty</tex>. Выберём произвольную вершину <tex>r</tex> и присвоим её ключу значение <tex>0</tex>. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину <tex>v</tex> из приоритетной очереди и релаксировать все ребра <tex>vu</tex>, такие что <tex>u \in Q</tex>, выполняя при этом DECREASE-KEY операцию <tex>\text{decreaseKey}</tex> над очередью и обновление <tex>p(v)</tex>. Ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> при этом добавляется к ответу. == Реализация == <font color=green>// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф</font> <font color=green>// <tex>w</tex> {{---}} весовая функция</font> '''function''' <tex>\mathtt{primFindMST}():</tex> '''for''' <tex>v \in V(G)</tex> <tex>\mathtt{key}[v]\ =\ \infty</tex> <tex>\mathtt{p}[v]\ =</tex> ''null'' <tex>r\ =</tex> произвольная вершина графа <tex>G</tex> <tex>\mathtt{key}[r]\ =\ \mathtt{0}</tex> <tex>Q.\mathtt{push}(V(G))</tex> '''while not''' <tex>Q.\mathtt{isEmpty()}</tex> <tex>v\ =\ Q.\mathtt{extractMin}()</tex> '''for''' <tex>vu \in E(G)</tex> '''if''' <tex>u \in Q</tex> '''and''' <tex>\mathtt{key}[u] > w(v, u)</tex> <tex>\mathtt{p}[u]\ =\ v</tex> <tex>\mathtt{key}[u]\ =\ w(v, u)</tex> <tex>Q.\mathtt{decreaseKey}(u, \mathtt{key}[u])</tex> Ребра дерева восстанавливаются из его неявного вида после выполнения алгоритма.<br>Чтобы упростить операцию <tex>\mathrm{decreaseKey}</tex> можно написать кучу на основе [[АВЛ-дерево | сбалансированного бинарного дерева поиска]]. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований <tex>O(\log n)</tex>. Если же делать с [[Двоичная_куча | бинарной кучей]], то вместо операции <tex>\mathrm{decreaseKey}</tex>, будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше <tex>n^2</tex>, следовательно, операция <tex>\mathrm{extractMin}</tex> будет выполняться за <tex>O(\log n^2)</tex>, что равно <tex>O(\log n)</tex>. Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть <tex>m</tex>, поэтому общая асимптотика составит <tex>O(m \log n)</tex>, что хорошо только на разреженных графах. ==Пример==Рассмотрим работу алгоритма на примере графа.Пусть произвольно выбранная вершина — это вершина a.{| cellpadding = "20" class = "wikitable"! Изображение !! Множество вершин !! Описание|-|[[Файл:Mst_prima_1.png|200px]]|{| width="100%" style = "text-align: center"| '''a''' || '''b''' || '''c''' || '''d''' || '''e'''|-| <tex> 0 </tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>|}|style="padding-left: 1em" | Извлечём из множества вершину '''a''', так как её приоритет минимален.<br/>Рассмотрим смежные с ней вершины '''b''', '''c''', и '''e'''. <br/>Обновим их приоритеты, как веса соответствующих рёбер '''ab''', '''ac''' и '''ae''', которые будут добавлены в ответ.|-|[[Файл:Mst_prima_2.png|200px]]|{| width="100%" style = "text-align: center"| a || '''b''' || '''c''' || '''d''' || '''e'''|-| <tex> 0 </tex> || <tex> 3 </tex> || <tex> 4 </tex> || <tex>\infty</tex> || <tex> 1 </tex>|}|style="padding-left: 1em" |Теперь минимальный приоритет у вершины '''е'''.<br/> Извлечём её и рассмотрим смежные с ней вершины '''a''', '''c''', и '''d'''.<br/>Изменим приоритет только у вершины '''d''', так как приоритеты вершин '''a''' и '''с''' меньше,<br/>чем веса у соответствующих рёбер '''ea''' и '''ec''', и установим приоритет вершины '''d''' равный весу ребра '''ed''', которое будет добавлено в ответ.|-|[[Файл:Mst_prima_3.png|200px]]|{| width="100%" style = "text-align: center"| a || '''b''' || '''c''' || '''d''' || e|-| <tex> 0 </tex> || <tex> 3 </tex> || <tex> 4 </tex> || <tex> 7 </tex> || <tex> 1 </tex>|}|style="padding-left: 1em" |После извлечения вершины '''b''' ничего не изменится, так как приоритеты вершин '''a''' и '''с''' меньше,<br/>чем веса у соответствующих рёбер '''ba''' и '''bc'''. Однако, после извлечения следующей вершины {{---}} '''c''',<br/>будет обновлён приоритет у вершины '''d''' на более низкий (равный весу ребра '''cd''') и в ответе ребро '''ed''' будет заменено на '''cd'''.|-|[[Файл:Mst_prima_4.png|200px]]|{| width="100%" style = "text-align: center"| a || b || c || '''d''' || e|-| <tex> 0 </tex> || <tex> 3 </tex> || <tex> 4 </tex> || <tex> 2 </tex> || <tex> 1 </tex>|}|style="padding-left: 1em" |Далее будет рассмотрена следующая вершина {{---}} '''d''', но ничего не изменится,<br/>так как приоритеты вершин '''e''' и '''с''' меньше, чем веса у соответствующих рёбер '''de''' и '''dc'''.<br/>После этого алгоритм завершит работу, так как в заданном множестве не останется вершин,<br/>которые не были бы рассмотрены|}

По поддерживаемым инвариантам после извлечения вершины <tex>v</tex> \ (<tex>v \neq r)</tex>) из <tex>Q</tex> ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> является ребром минимального веса, пересекающим разрез <tex>\left(F,Q\right)</tex>. Значит, по [[Лемма о безопасном ребре|лемме о безопасном ребре]], оно безопасно.Алгоритм построения ''MST'', добавляющий безопасные ребра, причём делающий это ровно <tex>|V|-1</tex> раз, корректен. == Оценка производительности ==Производительность алгоритма Прима зависит от выбранной реализации приоритетной очереди, как и в алгоритме Дейкстры. Извлечение минимума выполняется <tex>V</tex> раз, релаксация — <tex>O(E)</tex> раз. {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align:center" width=30%!style="background:#f2f2f2"|Структура данных для приоритетной очереди!style="background:#f2f2f2"|Асимптотика времени работы|-|style="background:#f9f9f9"|Наивная реализация|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(V^2+E)</tex>|-|style="background:#f9f9f9"|[[Двоичная куча]]|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(E\log{V})</tex>|-|style="background:#f9f9f9"|[[Фибоначчиевы кучи|Фибоначчиева куча]]|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(V\log{V}+E)</tex>|}

== Литература Источники информации ==* ''Кормен, Томас Х., ЛейзерсонКормен, Чарльз И., РивестЛейзерсон, Рональд Л.Ривест, Клиффорд Штайн Клиффорд'' '''— Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — с.653 — 656.— ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0 Википедия — Алгоритм Прима]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm Wikipedia — Prim's algorithm]*[http://e-maxx.ru/algo/mst_prim MAXimal :: algo :: Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима]