Редактирование: Алгоритм Райта

'''Алгоритм Райта''' (англ. ''Raita algorithm'') {{---}} алгоритм поиска подстроки в строке, который опубликовал Тим Райта в 1991 году, являющийся модификацией [[Алгоритм Бойера-Мура|алгоритма Бойера-Мура]] и улучшающий его асимптотику.

==Описание алгоритма==
Алгоритм Райта ищет образец <tex>x</tex> в заданном тексте <tex>y</tex>, сравнивания их символы. Окном текста  <tex>y</tex> будем называть последовательность символов <tex>i \dots m - i + 1</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} длина образца <tex>x</tex>. Сравнение происходит в следующем порядке:

# '''Последний''' символ образца сравнивается с самым '''правым''' символом окна.
# Если они совпадают, то '''первый''' символ сравнивается с самым '''левым''' символом окна.
# Если они опять совпали, то сравниваются символы, находящиеся в середине образца и окна.

Если все шаги прошли успешно, то начинаем сравнивать образец и текст посимвольно в обычном порядке, начиная с второго с конца символа. В противном случае вызываем функцию выполнения сдвига плохого символа, которая отработала в стадии препроцессинга. Эта функция аналогична той, которая была использована в фазе препроцессинга [[Алгоритм Бойера-Мура|алгоритма Бойера-Мура]]. Кроме того, в третьем шаге, в зависимости от специфики текста, можно брать не средний символ, а случайный, либо с каким-то определенным индексом.

==Псевдокод==
Функция поиска индекса первого вхождения сивола в массиве <tex>y</tex> с позиции <tex> \mathtt{fromIndex}</tex> до позиции <tex> \mathtt{toIndex}</tex>:
 '''int''' findFirst('''char'''[] y, '''int''' fromIndex, '''int''' toIndex, '''char''' symbol):
    '''for''' (i = fromIndex .. toIndex)
       '''if''' (y[i] == symbol)
          '''return''' i
    '''return''' -1

Проверка, что все символы в <tex>y</tex> с позиции <tex>\mathtt{fromIndex}</tex> и до <tex>\mathtt{toIndex}</tex> и <tex>x</tex> с начала и до конца совпадают:
 '''boolean''' restEquals('''char'''[] y, '''int''' fromIndex, '''char'''[] x, '''int''' toIndex):
    '''for''' (i = fromIndex .. toIndex)
       '''if''' (y[i] != x[i - fromIndex])
          '''return''' false
    '''return''' true

Стадия препроцессинга (совпадает со стадией препроцессинга в [[Алгоритм Бойера-Мура|алгоритме Бойера-Мура]]):
 '''int'''[] preBmBc('''char'''[] x, '''int''' m): 
    '''int'''[] result = '''int'''[ASIZE]
    <font color=green>//Где ASIZE {{---}} размер алфавита</font>
    '''for''' (i = 0 .. ASIZE - 1)
       result[i] = m;
    '''for''' (i = 0 .. m - 2)
       result[x[i]] = m - i - 1;
    '''return''' result

Основная стадия алгоритма:
 '''void''' RAITA('''char'''[] x, '''int''' m, '''char'''[] y, '''int''' n): 
    '''int'''[] bmBc
    '''char''' c, firstCh, middleCh, lastCh;
    '''if''' (m == 0)
       '''return'''
    '''else if''' (m == 1) 
       <font color=green>//Проверка на случай поиска вхождения одного символа</font>
       '''int''' match = 0
       '''while''' (match < n) 
          match = findFirst(y, match, n - 1, x[0])
          '''if''' (match != -1) 
             '''print'''(match)
          '''else'''
             '''print'''(<font color=green>"No matches"</font>)
          '''return'''
    <font color=green>//Вычисление массива плохих сиволов и объявление первого, последнего и среднего сиволов</font>
    bmBc = preBmBc (x, m)
    firstCh = x[0];
    middleCh = x[m/2];
    lastCh = x[m - 1];
    <font color=green>//Поиск</font>
    '''int''' j = 0
    '''while''' (j <= n - m) 
       c = y[j + m - 1]
       '''if''' (lastCh == c && middleCh == y[j + m / 2] && firstCh == y[j] &&   <font color=green>//Совпадение шаблона и окна из текста</font>
          restEquals(y, j + 1, x, j + m - 2))
          '''print'''(j)
          '''return'''
       j += bmBc[c];
    '''print'''(<font color=green>"No matches"</font>)

==Асимптотика==
* Фаза препроцессинга требует <tex>O(m + \sigma)</tex> времени и памяти, где <tex>\sigma</tex> {{---}} размер алфавита. 
* В худшем случае поиск требует <tex>O(m \cdot n)</tex> сравнений.
'''Пример:''' текст, состоящий только из букв <tex>a</tex> и образец <tex>aa..baa</tex>. В таком случае <tex>BmBc[a]</tex> будет равен <tex>1</tex>, то есть после каждой фазы сравнений мы будем сдвигаться на <tex>1</tex>. Значит, всего будет <tex>n</tex> фаз сравнений, а каждая фаза отработает за <tex>m - 2</tex>, поскольку расхождение будет только в третьем с конца символе, то мы сравним сначала последний, потом первый, потом средний, а затем пойдем с самого начала, сравнивая все символы подряд. Итого получаем асимптотику <tex>O(m \cdot n)</tex>
* В лучшем случае требует <tex > \Omega(n / m)</tex> сравнений.
'''Пример:''' текст вида <tex>a..ba..ab..a</tex> и образец <tex>ba..ab</tex>. В таком случае, <tex>BmBc[b]</tex> будет равен <tex>m - 1</tex>. Значит, всего будет не более чем <tex>n / (m - 1)</tex> фаз сравнений, а каждая фаза (кроме той, в которой мы нашли вхождение строки) будет работать за <tex>1</tex>, поскольку расхождение будет уже в последних символах. Итого получаем асимптотику  <tex > \Omega(n / m)</tex>

==Сравнение с Алгоритмом Бойера-Мура==
[[Файл:RaitaComparing.png|350px|thumb|Right|Верхняя кривая {{---}} алгоритм Бойера-Мура, нижняя {{---}} Райта]]

В своей статье Тим Райта экспериментально проверил ускорение алгоритма на реальных текстах. Тесты были приведены в техническом отчете, написанном на английском языке. Длина текста составила <tex>29 550</tex> символов. Использовался '''ASCII''' алфавит (подразумевается теоритический размер алфавита, равный <tex>128</tex>, в тексте было использовано только <tex>85</tex> символов.) Шаблоны длиной <tex>2-20</tex> символов случайно выбирались из текста, а затем проходил их поиск в тексте. (См. рисунок)

Результат показывает ускорение модификации алгоритма на <tex>21-27\%</tex> относительно оригинального на всех шаблонах. Шаблон встречался в тексте как минимум один раз (из-за метода его выбора). Однако, результаты теста на шаблонах, которые не встречались в тексте, были очень похожи на верхнюю кривую. Очевидно, что шаблоны, имеющие часто встречающиеся суффиксы, такие как <tex>-ion</tex> или <tex>-ed</tex> вносят наибольший вклад в быстродействие модификации. (В алгоритме Бойера-Мура мы будем идти с конца, пока не найдем различия, то есть произведем сравнение на всем суффиксе, в то время как в алгоритме Райта мы выйдем сразу после несовпадения первых символов). 

Кроме того, производительность растет с увеличением <tex>m</tex>, поскольку вклад сравнений первого, последнего и среднего символа уменьшается. С другой стороны, производительность ухудшается с уменьшением размера алфавита, поскольку вероятность того, что первый, средний и последний символ из шаблона и текста совпадут, увеличивается. Однако Тим Райта в своей статье пишет, что несмотря на теоритическую возможность ухудшения, на практике, скорее всего, разница будет заметна лишь на очень маленьких алфавитах (например, длины <tex>2</tex>).

==Пример==
Пусть нам дана строка <tex>y = GCATCGCAGAGAGTATACAGTACG</tex> и образец <tex>x=GCAGAGAG</tex>

Построим массив <tex>bmBc</tex>:

[[Файл:RaitaPre.png|250px]]

Рассмотрим шаги алгоритма:

{| class = "wikitable"
! Изображение !! <tex>(j, bmBc[y[j]])</tex> !! Описание
|-align="center"
|[[Файл:Raita1.png|550px]]
|<tex>(7, 1)</tex>
|Сравниванием последние символы, они неравны, поэтому сдвигаемся.
|-align="center"
|[[Файл:Raita2.png|550px]]
|<tex>(8, 2)</tex>
|Последние символы совпали, сравниваем первые, сдвигаемся.
|-align="center"
|[[Файл:Raita3.png|550px]]
|<tex>(10, 2)</tex>
|Последние символы совпали, сравниваем первые, сдвигаемся.
|-align="center"
|[[Файл:Raita4.png|550px]]
|<tex>(12, 2)</tex>
|Совпали последний, первый и средний символы, пробегаемся по всему шаблону и сравниваем символы. Нашли строчку в тексте. Продолжим работу (для примера, в обычном варианте на этом этапе мы можем выйти, если требуется найти только одно вхождение) и сдвинемся.
|-align="center"
|[[Файл:Raita5.png|550px]]
|<tex>(14, 1)</tex>
|Делаем сравнение последних символов, оно неудачно, сдвигаемся.
|-align="center"
|[[Файл:Raita6.png|550px]]
|<tex>(15, 8)</tex>
|Делаем сравнение последних символов, оно неудачно, сдвигаемся.
|-align="center"
|[[Файл:Raita7.png|550px]]
|<tex>(23, 2)</tex>
|Последние символы совпали, сравниваем первые, сдвигаемся. Строка закончилась, выходим.
|-
|}

В итоге, чтобы найти одно вхождение образца длиной <tex>m = 8</tex> в образце длиной <tex>n = 24</tex>, нам понадобилось <tex>18</tex> сравнений символов.

==См. также==
*[[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта|Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта]]
*[[Алгоритм Бойера-Мура|Алгоритм Бойера-Мура]]
*[[Алгоритм Апостолико-Крочемора|Алгоритм Апостолико-Крочемора]]

==Источники информации==
* [http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/node22.html#SECTION00220 Exact string matching algorithms {{---}} Raita algorithm]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Raita_algorithm Wikipedia {{---}} Raita algorithm]
* [http://www.di.ufpe.br/~paguso/courses/if767/bib/Raita_1992.pdf UFPE {{---}} Оригинальная статья]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
[[Категория: Точный поиск]]