105
правок
Изменения
м
Перенаправление на Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн
#перенаправление [[Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline).Каждый запрос к дереву - это 2 вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов поиска LCA за время <tex>О (n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, за <tex>ОO(1)</tex> на запрос.== Алгоритм ==Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё. Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u.Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом (в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs.Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu.Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v.Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс (ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом (операция union), и не забыть установить представителя как вершину v (взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина.Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз. [[file:Afca13d4.png|500px|разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]] === Реализация === vector<bool> visited; vector<int> query[n]; int dsu_get (int v) { return v == dsu[v] ? v : dsu[v] = dsu_get (dsu[v]); } unite (int a, int b,int new_ancestor) { a = dsu_get (a); b = dsu_get (b); dsu[a] = b; ancestor[b] = new_ancestor; } dfs(int v) { visited[v] = true; for (u таких, что (v, u) — ребро в G) if (!visited[u]) dfs(u); union(v,u,v); for (i = 0; i < query[v].size(); i++) if (visited[query[v][i]]) cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][iоффлайн])]; } int main() { dfs(0); return 0; } === Оценка сложности ===Она состоит из нескольких оценок.Во-первых dfs работает О (n).Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают <tex>О (n)</tex> операций. В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных n выполняется за <tex>О (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>\mathrm{O (n + m)}</tex>, но при достаточно больших m ответ за <tex>О (1)</tex> на один запрос.
