105
правок
Изменения
м
Перенаправление на Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн
#перенаправление [[Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline).Каждый запрос к дереву - это 2 вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов поиска LCA за время <tex>О(n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, за <tex>ОO(1)</tex> на запрос.== Алгоритм ==Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим обход в глубину из её.Ответ на каждый запрос мы найдём в течении этого dfs'a. Ответ для вершин <tex>v</tex>,<tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершины <tex>u</tex>, а в <tex>v</tex> обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё. Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>v</tex>,<tex>u</tex>.Тогда заметим что ответ - это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит нам нужно найти предок вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом (в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка). На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs. Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью dsu.Будем поддерживать массив <tex>ancestor[v]</tex> - представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс (ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом (операция union), и не забыть установить представителя как вершину v (взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина). Зафиксируем вершины v, и выделим путь от корня до этой вершины. Теперь все рёбра "левее" этого пути уже добавлены в dsu, все рёбра правее — ещё не обработаны, а все рёбра на пути — обработаны, но в dsu ещё не добавлены, так как в dsu мы добавляем при выходе.Тогда можно заметить, что любая вершина из обработанных в dsu цепляются к какой-то вершине текущего пути, в dfs.К самой первой вершине этого пути, до которой мы доберёмся, если будем просто подниматься. Очевидно, это и есть lca. После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина.Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз. [[file:mytree.png|500px|разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]] === Реализация === vector<bool> visited; vector<int> query[n]; int dsu_get (int v) { return v == dsu[v] ? v : dsu[v] = dsu_get (dsu[v]); } unite (int a, int b,int new_ancestor) { a = dsu_get (a); b = dsu_get (b); dsu[a] = b; ancestor[b] = new_ancestor; } dfs(int v) { visited[v] = true; for (u таких, что (v, u) — ребро в G) if (!visited[uоффлайн]) dfs(u); union(v,u,v); for (i = 0; i < query[v].size(); i++) if (visited[query[v][i]]) cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][i])]; } int main() { dfs(0); return 0; } === Оценка сложности ===Она состоит из нескольких оценок.Во-первых dfs работает О (n).Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают <tex>О (n)</tex> операций. В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных n выполняется за <tex>О (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>\mathrm{O (n + m)}</tex>, но при достаточно больших m ответ за <tex>О (1)</tex> на один запрос.
