Редактирование: Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн

Дано дерево и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>, и для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex>, за <tex>O (1)</tex> на запрос.
== Алгоритм ==
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из неё.
Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а так же посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex>, и собираемся выйти из неё.

Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>v</tex>, <tex>u</tex>.
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка.

На рисунке разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.

Классы этих вершин не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем храниться в массиве <tex>dsu</tex>.

Будем поддерживать массив <tex>ancestor[v]</tex> {{---}} представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.
Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
Когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> мы должны добавить её в новый класс (<tex>ancestor[v] = v</tex>), а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция <tex>union</tex>), и не забыть установить представителя как вершину <tex>v</tex> (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).

После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex> где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
Нетрудно заметить что ответ для <tex>lca<tex>\langle v, u \rangle </tex> = ancestor[find(u)]</tex>.Так же можно понять что для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.

Предположим, что нашли предка, который не является наименьшим, тогда это нас моментально приводит к противоречию, потому что запросмы  должны были рассмотреть ранее {{---}} на минимальном предке. 
Если он не минимальный, значит, есть на какой-то большей глубине, то есть такая вершина, которая была посещена раньше и для которой условия на <tex>u</tex> и <tex>v</tex> выполнялись, значит, тогда должна была найтись эта вершина в качестве <tex>LCA</tex>.

[[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]

=== Реализация ===

 '''bool''' visited[n]  
 vector<'''int'''> query[n]
 
 '''int''' dsuGet(v : '''int'''):
     '''if''' v == dsu[v]
         '''return''' v
     '''else'''
         '''return''' dsu[v] = dsuGet(dsu[v])
 
 
 '''function''' union(a : '''int''', b : '''int''', newAncestor : '''int'''):
        a = dsuGet(a)
        b = dsuGet(b)
        dsu[a] = b
        ancestor[b] = newAncestor
       
 <font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева.</font>  
 '''function''' dfs(v : '''int'''):
     visited[v] = ''true''                     
     '''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
         '''if''' '''not''' visited[u]                  
             dfs(u)
             union(v, u, v)
     '''for''' i = 0 '''to''' query[v].size - 1
         '''if''' visited[query[v][i]]
             запомнить, что ответ для запроса (v,u) = ancestor[dsuGet[q[v][i]]]

== Оценка сложности ==
Она состоит из нескольких оценок.

Во-первых, обход в глубину работает <tex>O (n)</tex>.

Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают <tex>O (n)</tex> операций. 

Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещение вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.

В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>O (n + m)</tex>, но при достаточно больших <tex>m</tex> ответ за <tex>O (1)</tex> на один запрос.

== Источники информации ==
* [http://e-maxx.ru/algo/lca_linear_offline MAXimal :: algo :: Наименьший общий предок. Нахождение за O(1) в оффлайн (алгоритм Тарьяна) ]
* [http://habrahabr.ru/post/104772 Habrahabr {{---}} Система непересекающихся множеств и её применения]


[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]