Редактирование: Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
Дано [[Дерево, эквивалентные определения | дерево]] <tex> G </tex> и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>. Для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.
+
Дано дерево и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>, и для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex> за <tex>O (1)</tex> на запрос.
+
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex>, за <tex>O (1)</tex> на запрос.
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
 
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из неё.
 
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из неё.
Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а также посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex> и собираемся выйти из неё.
+
Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а так же посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex>, и собираемся выйти из неё.
  
Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>\langle v</tex>, <tex>u \rangle</tex>.
+
Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>v</tex>, <tex>u</tex>.
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>u</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины, которые находятся "слева" от этого предка.
+
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка.
  
На рисунке непосещённые вершины раскрашены в белый цвет, а посещённые разбиты на классы, каждому из которых соответствует свой цвет.
+
На рисунке разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.
  
[[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]
+
Классы этих вершин не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем храниться в массиве <tex>dsu</tex>.
  
Классы этих вершин не пересекаются, а значит, мы можем их эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем хранить в массиве <tex>dsu</tex>.
+
Будем поддерживать массив <tex>ancestor[v]</tex> {{---}} представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.
 +
Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
 +
Когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> мы должны добавить её в новый класс (<tex>ancestor[v] = v</tex>), а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция <tex>union</tex>), и не забыть установить представителя как вершину <tex>v</tex> (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
  
Будем поддерживать также массив <tex>lcaClass[1 \dots n]</tex>, где <tex> lcaClass[w] </tex> {{---}} наименьший общий предок всех вершин, которые лежат в том же классе, что и <tex> w </tex>. Обновление массива <tex> lcaClass </tex> для каждого элемента будет неэффективно. Поэтому зафиксируем в каждом классе какого-то представителя. Функция <tex> \mathrm{find}(w) </tex> вернёт представителя класса, в котором находится вершина <tex> w </tex>. Тогда наименьшим общим предком всех вершин из класса <tex> w </tex> будет вершина <tex> lcaClass[\mathrm{find}(w)] </tex>.
+
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex> где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
 +
Нетрудно заметить что ответ для <tex>lca<tex>\langle v, u \rangle </tex> = ancestor[find(u)]</tex>.Так же можно понять что для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
  
Обновление массива <tex> lcaClass </tex> будем производить следующим образом:
+
Предположим, что нашли предка, который не является наименьшим, тогда это нас моментально приводит к противоречию, потому что запросмы  должны были рассмотреть ранее {{---}} на минимальном предке.
* когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex>, мы должны добавить её в новый класс {{---}} <tex>lcaClass[v] = v</tex>
+
Если он не минимальный, значит, есть на какой-то большей глубине, то есть такая вершина, которая была посещена раньше и для которой условия на <tex>u</tex> и <tex>v</tex> выполнялись, значит, тогда должна была найтись эта вершина в качестве <tex>LCA</tex>.
* когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка <tex> u </tex> у вершины <tex> v </tex>, мы должны объединить поддерево ребёнка с классом вершины <tex> v </tex> (<tex>\mathrm{union}(v, u, v)</tex> {{---}} объединить классы вершин <tex> v </tex> и <tex> u </tex>, а наименьшим общим предком представителя нового класса сделать вершину <tex> v </tex>). Система непересекающихся множеств сама определит представителя в зависимости от используемой нами эвристики. Нам надо лишь правильно установить значение массива <tex> lcaClass </tex> у нового представителя.
 
  
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex>, где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
+
[[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]
Нетрудно заметить, что <tex>lca(v, u) = lcaClass[\mathrm{find}(u)]</tex>. Для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
 
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
  
 
  '''bool''' visited[n]   
 
  '''bool''' visited[n]   
 +
vector<'''int'''> query[n]
 
   
 
   
  '''function''' union(x : '''int''', y : '''int''', newAncestor : '''int'''):
+
'''int''' dsuGet(v : '''int'''):
    leader = dsuUnion(x, y)       <font color=green> // объединяем классы вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex> и получаем нового представителя класса </font>
+
    '''if''' v == dsu[v]
    lcaClass[leader] = newAncestor <font color=green> // устанавливаем нового предка представителю множества </font>
+
        '''return''' v
 +
    '''else'''
 +
        '''return''' dsu[v] = dsuGet(dsu[v])
 +
 +
 +
  '''function''' union(a : '''int''', b : '''int''', newAncestor : '''int'''):
 +
        a = dsuGet(a)
 +
        b = dsuGet(b)
 +
        dsu[a] = b
 +
        ancestor[b] = newAncestor
 
        
 
        
  <font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева в самый первый раз</font>   
+
  <font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева.</font>   
 
  '''function''' dfs(v : '''int'''):
 
  '''function''' dfs(v : '''int'''):
     visited[v] = ''true''
+
     visited[v] = ''true''                     
    lcaClass[v] = v                      
 
 
     '''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
 
     '''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
 
         '''if''' '''not''' visited[u]                   
 
         '''if''' '''not''' visited[u]                   
 
             dfs(u)
 
             dfs(u)
 
             union(v, u, v)
 
             union(v, u, v)
     '''for''' (u : <tex>\langle v, u \rangle </tex> {{---}} есть такой запрос)
+
     '''for''' i = 0 '''to''' query[v].size - 1
         '''if''' visited[u]
+
         '''if''' visited[query[v][i]]
             запомнить, что ответ для запроса <tex>\langle v, u \rangle </tex> = lcaClass[find[u]]
+
             запомнить, что ответ для запроса (v,u) = ancestor[dsuGet[q[v][i]]]
  
== Корректность ==
+
== Оценка сложности ==
 
+
Она состоит из нескольких оценок.
Случай, когда <tex> u </tex> является наименьшим общим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, обработается правильно, потому что по алгоритму в этот момент <tex> lcaClass[\mathrm{find}(u)] = u </tex>.
 
  
Пусть теперь наименьшим общим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> будет вершина, отличная от этих двух. Во время обработки запроса алгоритм точно вернёт общего предка этих двух вершин, так как он будет предком одной из вершин по массиву <tex> lcaClass </tex>, а предком другой из-за обхода в глубину.
+
Во-первых, обход в глубину работает <tex>O (n)</tex>.
 
 
Покажем, что найдём наименьшего предка. Пусть это не так. Тогда существует какая-то вершина <tex> w </tex>, которая тоже является предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, и из которой мы вышли раньше во время обхода в глубину. Но тогда ситуация, что одна из вершин посещена, а у другой рассмотрены все дети, должна была выполниться раньше, и в качестве ответа должна была вернуться вершина <tex> w </tex>.
 
 
 
'''Замечание:''' для корректности алгоритма достаточно было бы одного массива <tex> dsu </tex>, а представителем класса всегда выбирать наименьшего общего предка вершин класса. Это несложно сделать, так как мы всегда объединяем ребёнка со своим родителем. Но в таком случае алгоритм получился бы менее эффективным, потому что одна только эвристика сжатия путей работает недостаточно быстро.
 
 
 
== Оценка сложности ==
 
Она состоит из нескольких частей.
 
  
*Обход в глубину выполняется за <tex>O(n)</tex>.
+
Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают <tex>O (n)</tex> операций.  
*Операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> работают <tex>O (n)</tex> времени. Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещении вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.
 
*Для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>.  
 
  
Следовательно, итоговая асимптотика {{---}} <tex>O (n + m)</tex>, что при достаточно больших <tex>m</tex> составляет <tex>O (1)</tex> на один запрос.
+
Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещение вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.
  
==См. также==
+
В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>O (n + m)</tex>, но при достаточно больших <tex>m</tex> ответ за <tex>O (1)</tex> на один запрос.
* [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]
 
* [[Heavy-light декомпозиция]]
 
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: