Редактирование: Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 14: Строка 14:
 
Классы этих вершин не пересекаются, а значит, мы можем их эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем хранить в массиве <tex>dsu</tex>.
 
Классы этих вершин не пересекаются, а значит, мы можем их эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем хранить в массиве <tex>dsu</tex>.
  
Будем поддерживать также массив <tex>lcaClass[1 \dots n]</tex>, где <tex> lcaClass[w] </tex> {{---}} наименьший общий предок всех вершин, которые лежат в том же классе, что и <tex> w </tex>. Обновление массива <tex> lcaClass </tex> для каждого элемента будет неэффективно. Поэтому зафиксируем в каждом классе какого-то представителя. Функция <tex> \mathrm{find}(w) </tex> вернёт представителя класса, в котором находится вершина <tex> w </tex>. Тогда наименьшим общим предком всех вершин из класса <tex> w </tex> будет вершина <tex> lcaClass[\mathrm{find}(w)] </tex>.
+
Будем поддерживать также массив <tex>ancestor[1 \dots n]</tex>, где <tex> ancestor[w] </tex> {{---}} наименьший общий предок всех вершин, которые лежат в том же классе, что и <tex> w </tex>. Обновление массива <tex> ancestor </tex> для каждого элемента будет неэффективно. Поэтому зафиксируем в каждом классе какого-то представителя. Функция <tex> \mathrm{find}(w) </tex> вернёт представителя класса, в котором находится вершина <tex> w </tex>. Тогда наименьшим общим предком всех вершин из класса <tex> w </tex> будет вершина <tex> ancestor[\mathrm{find}(w)] </tex>.
  
Обновление массива <tex> lcaClass </tex> будем производить следующим образом:
+
Обновление массива <tex> ancestor </tex> будем производить следующим образом:
* когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex>, мы должны добавить её в новый класс {{---}} <tex>lcaClass[v] = v</tex>
+
* когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex>, мы должны добавить её в новый класс {{---}} <tex>ancestor[v] = v</tex>
* когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка <tex> u </tex> у вершины <tex> v </tex>, мы должны объединить поддерево ребёнка с классом вершины <tex> v </tex> (<tex>\mathrm{union}(v, u, v)</tex> {{---}} объединить классы вершин <tex> v </tex> и <tex> u </tex>, а наименьшим общим предком представителя нового класса сделать вершину <tex> v </tex>). Система непересекающихся множеств сама определит представителя в зависимости от используемой нами эвристики. Нам надо лишь правильно установить значение массива <tex> lcaClass </tex> у нового представителя.
+
* когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка <tex> u </tex> у вершины <tex> v </tex>, мы должны объединить поддерево ребёнка с классом вершины <tex> v </tex> (<tex>\mathrm{union}(v, u, v)</tex> {{---}} объединить классы вершин <tex> v </tex> и <tex> u </tex>, а наименьшим общим предком представителя нового класса сделать вершину <tex> v </tex>). Система непересекающихся множеств сама определит представителя в зависимости от используемой нами эвристики. Нам надо лишь правильно установить значение массива <tex> ancestor </tex> у нового представителя.
  
 
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex>, где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
 
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex>, где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
Нетрудно заметить, что <tex>lca(v, u) = lcaClass[\mathrm{find}(u)]</tex>. Для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
+
Нетрудно заметить, что <tex>lca(v, u) = ancestor[\mathrm{find}(u)]</tex>. Для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
Строка 29: Строка 29:
 
  '''function''' union(x : '''int''', y : '''int''', newAncestor : '''int'''):
 
  '''function''' union(x : '''int''', y : '''int''', newAncestor : '''int'''):
 
     leader = dsuUnion(x, y)        <font color=green> // объединяем классы вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex> и получаем нового представителя класса </font>
 
     leader = dsuUnion(x, y)        <font color=green> // объединяем классы вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex> и получаем нового представителя класса </font>
     lcaClass[leader] = newAncestor <font color=green> // устанавливаем нового предка представителю множества </font>
+
     ancestor[leader] = newAncestor <font color=green> // устанавливаем нового предка представителю множества </font>
 
        
 
        
 
  <font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева в самый первый раз</font>   
 
  <font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева в самый первый раз</font>   
 
  '''function''' dfs(v : '''int'''):
 
  '''function''' dfs(v : '''int'''):
 
     visited[v] = ''true''
 
     visited[v] = ''true''
     lcaClass[v] = v                     
+
     ancestor[v] = v                     
 
     '''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
 
     '''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
 
         '''if''' '''not''' visited[u]                   
 
         '''if''' '''not''' visited[u]                   
Строка 41: Строка 41:
 
     '''for''' (u : <tex>\langle v, u \rangle </tex> {{---}} есть такой запрос)
 
     '''for''' (u : <tex>\langle v, u \rangle </tex> {{---}} есть такой запрос)
 
         '''if''' visited[u]
 
         '''if''' visited[u]
             запомнить, что ответ для запроса <tex>\langle v, u \rangle </tex> = lcaClass[find[u]]
+
             запомнить, что ответ для запроса <tex>\langle v, u \rangle </tex> = ancestor[find[u]]
  
 
== Корректность ==
 
== Корректность ==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: