Изменения

Дано [[Дерево, эквивалентные определения | дерево ]] <tex> G </tex> и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>, и для . Для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex>, за <tex>O (1)</tex> на запрос.

Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а так же также посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex>, и собираемся выйти из неё.

Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>u</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины , которые находятся "слева" от этого предка.

На рисунке разные цвета {{---}} разные непосещённые вершины раскрашены в белый цвет, а посещённые разбиты на классы, а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>каждому из которых соответствует свой цвет.

[[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]] Классы этих вершин не пересекаются, а значит , мы можем их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем хранить в массиве <tex>dsu</tex>. Будем поддерживать также массив <tex>lcaClass[1 \dots n]</tex>, где <tex> lcaClass[w] </tex> {{---}} наименьший общий предок всех вершин, которые лежат в том же классе, что и <tex> w </tex>. Обновление массива <tex> lcaClass </tex> для каждого элемента будет неэффективно. Поэтому зафиксируем в каждом классе какого-то представителя. Функция <tex> \mathrm{find}(w) </tex> вернёт представителя класса, в котором находится вершина <tex> w </tex>. Тогда наименьшим общим предком всех вершин из класса <tex> w </tex> будет вершина <tex> lcaClass[\mathrm{find}(w)] </tex>.

Будем поддерживать массив Обновление массива <tex>ancestor[1 \dots n]lcaClass </tex> {{---}} представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.будем производить следующим образом:Для каждого класса мы образуем множество и представителя этого множества.Когда, * когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> , мы должны добавить её в новый класс ({{---}} <tex>ancestorlcaClass[v] = v</tex>), а * когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка<tex> u </tex> у вершины <tex> v </tex>, мы должны объединить это поддерево ребёнка с нашим классом вершины <tex> v </tex> (операция <tex>\mathrm{union}(v, u, v)</tex> {{---}} объединить классы вершин <tex> v </tex>) и не забыть установить <tex> u </tex>, а наименьшим общим предком представителя как нового класса сделать вершину <tex>v</tex>). Система непересекающихся множеств сама определит представителя в зависимости от используемой нами эвристики. Нам надо лишь правильно установить значение массива <tex> lcaClass </tex> у нового представителя.

Нетрудно заметить, что <tex>lca(v, u) = ancestorlcaClass[\mathrm{find}(u)]</tex>. Для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз. [[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]

'''function''' union(a x : '''int''', b y : '''int''', newAncestor : '''int'''): a leader = dsuGetdsuUnion(ax, y) b <font color= dsuGet(b)green> // объединяем классы вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex> и получаем нового представителя класса </font> dsu lcaClass[aleader] = b ancestor[b] newAncestor <font color= newAncestorgreen> // устанавливаем нового предка представителю множества </font>

<font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева.в самый первый раз</font>

visited[v] = ''true'' lcaClass[v] = v

'''for''' i = 0 '''to''' query[(u : <tex>\langle v].size , u \rangle </tex> {{--- 1}} есть такой запрос) '''if''' visited[query[v][i]u] запомнить, что ответ для запроса <tex>\langle v, u \rangle </tex> = ancestorlcaClass[dsuGetfind[q[v][i]u]]

ПредположимСлучай, что нашли предка, который не когда <tex> u </tex> является наименьшимобщим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, тогда это нас моментально приводит к противоречиюобработается правильно, потому что запросмы должны были рассмотреть ранее {по алгоритму в этот момент <tex> lcaClass[\mathrm{---find}} на минимальном предке(u)] = u </tex>. Если Пусть теперь наименьшим общим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> будет вершина, отличная от этих двух. Во время обработки запроса алгоритм точно вернёт общего предка этих двух вершин, так как он не минимальныйбудет предком одной из вершин по массиву <tex> lcaClass </tex>, значита предком другой из-за обхода в глубину.  Покажем, есть на какойчто найдём наименьшего предка. Пусть это не так. Тогда существует какая-то большей глубине, то есть такая вершина<tex> w </tex>, которая была посещена раньше и для которой условия на тоже является предком вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> выполнялись, значити из которой мы вышли раньше во время обхода в глубину. Но тогда ситуация, что одна из вершин посещена, а у другой рассмотрены все дети, тогда должна была найтись эта вершина выполниться раньше, и в качестве ответа должна была вернуться вершина <tex> w </tex>. '''Замечание:''' для корректности алгоритма достаточно было бы одного массива <tex>LCAdsu </tex>, а представителем класса всегда выбирать наименьшего общего предка вершин класса. Это несложно сделать, так как мы всегда объединяем ребёнка со своим родителем. Но в таком случае алгоритм получился бы менее эффективным, потому что одна только эвристика сжатия путей работает недостаточно быстро.

Она состоит из нескольких оценокчастей.

*Обход в глубину выполняет выполняется за <tex>O(n)</tex>.*Операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают работают <tex>O (n)</tex> операцийвремени. Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещении вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.

Итоговая Следовательно, итоговая асимптотика получается {{---}} <tex>O (n + m)</tex>, но что при достаточно больших <tex>m</tex> ответ за составляет <tex>O (1)</tex> на один запрос. ==См. также==* [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]* [[Heavy-light декомпозиция]]