Редактирование: Алгоритм Укконена

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
'''Алгоритм Укконена''' (англ. ''Ukkonen's algorithm'') — алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex> за линейное время.
+
{{В разработке}}
 +
'''Алгоритм Укконена''' — алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex> за линейное время.
  
== Алгоритм за O(n<sup>3</sup>) ==
+
== Первая версия алгоритма ==
Рассмотрим сначала наивный метод, который строит дерево за время <tex>O(n^3)</tex>, где <tex>n</tex> — длина исходной строки <tex>s</tex>. В дальнейшем данный алгоритм будет оптимизирован таким образом, что будет достигнута линейная скорость работы.
+
Рассмотрим сначала метод, который строит дерево за время <tex>O(n^3)</tex>, где <tex>n</tex> — длина исходной строки <tex>s</tex>. В дальнейшем данный алгоритм будет оптимизирован таким образом, что будет достигнута линейная скорость работы.
{{Определение
+
 
|definition= '''Неявное суффиксное дерево''' (англ. ''implicit suffix tree, IST'') строки <tex>S</tex> {{---}} это суффиксное дерево, построенное для строки <tex>S</tex> без добавления <tex>\$</tex>.}}
+
=== Описание ===
[[Файл:ExampleUkkonen2.png|400px|thumb|right|Пример построения суффиксного дерева алгоритмом Укконена.]]
+
Алгоритм делится на <tex>n</tex> фаз. В фазе с номером <tex>j</tex> в дерево добавляются все суффиксы подстроки <tex>s_{1..j}</tex>. При добавлении суффикса <tex>s_{i..j}</tex> алгоритм сначала находит конец пути из корня, помеченного подстрокой <tex>s_{i..j-1}</tex>, затем добавляет к найденной вершине новое ребро с листом <tex>s_j</tex>, если этот символ не был добавлен ранее.
Алгоритм последовательно строит неявные суффиксные деревья для всех префиксов исходного текста <tex>S = s_{1}s_{2} \ldots s_{n}</tex>. На <tex>i</tex>-ой фазе неявное суффиксное дерево <tex>\tau_{i-1}</tex> для префикса <tex>s[1 \ldots i-1]</tex> достраивается до <tex>\tau_{i}</tex> для префикса <tex>s[1 \ldots i]</tex>. Достраивание происходит следующим образом: для каждого суффикса подстроки <tex>s[1 \ldots i-1]</tex> необходимо спуститься от корня дерева до конца этого суффикса и дописать символ <tex>s_i</tex>.
 
  
Алгоритм состоит из <tex>n</tex> фаз. На каждой фазе происходит продление всех суффиксов текущего префикса строки, что требует <tex>O(n^2)</tex> времени. Следовательно, общая асимптотика алгоритма составляет <tex>O(n^3)</tex>.
+
=== Псевдокод ===
=== Псевдокод алгоритма за O(n<sup>3</sup>) ===
+
Приведенный алгоритм можно записать с помощью псевдокода:
<code style = "display: inline-block;">
+
'''for''' <tex> i \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> n </tex> '''do'''
  '''for''' i = 1 .. n
+
  '''for''' <tex> j \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> i </tex> '''do'''
    '''for''' j = 1 .. i
+
    insert(<tex>s_{i..j}</tex>)
      treeExtend(s[j..i]) <font color=green>// добавление текущего суффикса работает за линейное время</font>
+
Поскольку операция insert может занимать линейное время, очевидно, что время работы данного алгоритма составляет <tex>O(n^3)</tex>.
</code>
 
'''Замечание:''' на первый взгляд, более логичным подходом кажется добавление всех суффиксов строки в дерево по очереди, получив сразу алгоритм со временем работы <tex>O(n^2)</tex>. Однако осуществить улучшение данного алгоритма до линейного времени работы будет намного сложней, хотя именно в этом и заключается суть [[Алгоритм МакКрейта | алгоритма МакКрейта]].
 
  
== Продление суффиксов ==
+
== Возможные исходы операции insert ==
Ниже приведены возможные случаи, которые могут возникнуть при добавлении символа <tex>s_{i}</tex> ко всем суффиксам префикса <tex>s[1 \ldots i-1]</tex>.
+
Ниже приведены три возможных случая, которые могут возникнуть при добавлении подстроки <tex>s_{i..j}</tex> в дерево.
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center" width=75%
+
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align:center" width=70%
 
!style="background:#f2f2f2"|Случай
 
!style="background:#f2f2f2"|Случай
 
!style="background:#f2f2f2"|Правило
 
!style="background:#f2f2f2"|Правило
Строка 25: Строка 23:
 
|-
 
|-
 
|style="background:#ffffff"|''1. Продление листа''
 
|style="background:#ffffff"|''1. Продление листа''
|style="background:#ffffff"|Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается в листе. Добавим <tex>s_{i}</tex> в конец подстроки, которой помечено ребро, ведущее в этот лист.
+
|style="background:#ffffff"|Пусть подстрока <tex>s_{i..j-1}</tex> кончается в листе. Добавим элемент <tex>s_j</tex> в конец последнего ребра.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen3.png|300px]]
+
|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case2.png]]
 
|-
 
|-
|style="background:#ffffff" rowspan="2" |''2. Ответвление''
+
|style="background:#ffffff"|''2. Создание листа''
|style="background:#ffffff"|а) Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается в вершине, не являющейся листом, из которой нет пути по символу <tex>s_{i}</tex>. Создадим новый лист, в который из текущей вершины ведёт дуга с пометкой <tex>s_{i}</tex>.
+
|style="background:#ffffff"|Пусть подстрока <tex>s_{i..j-1}</tex> кончается в вершине, не являющейся листом, из которой нет пути по символу <tex>s_j</tex>. Создадим новую дугу с началом в элементе <tex>s_{j-1}</tex> и листом <tex>s_j</tex>.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen4.png|300px]]
+
|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case1.png]]
|-
 
|style="background:#ffffff"|б) Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается на ребре с меткой <tex>s[l \ldots r]</tex> в позиции <tex>p-1(l \leqslant p \leqslant r)</tex> и <tex>s_{p} \ne s_{i}</tex>. Разобьем текущее ребро новой вершиной на <tex>s[l \ldots p-1]</tex> и <tex>s[p \ldots r]</tex> и подвесим к ней еще одного ребенка с дугой, помеченной <tex>s_{i}</tex>.
 
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen5.png|300px]]
 
 
|-
 
|-
 
|style="background:#ffffff"|''3. Ничего не делать''
 
|style="background:#ffffff"|''3. Ничего не делать''
|style="background:#ffffff"|Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается в вершине, из которой есть путь по <tex>s_{i}</tex>. Тогда ничего делать не надо.
+
|style="background:#ffffff"|Пусть подстрока <tex>s_{i..j-1}</tex> кончается в вершине, из которой есть путь по <tex>s_j</tex>. Тогда ничего делать не надо.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen6.png|300px]]
+
|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case3.png]]
 
|}
 
|}
  
==Суффиксные ссылки==
+
==Оптимизация алгоритма Укконена==
  
{{Определение
+
Рассмотрим две леммы, позволяющие ускорить алгоритм Укконена до <tex>O(n^2)</tex>.
|definition= Пусть <tex>x\alpha</tex> обозначает произвольную строку, где <tex>x</tex> {{---}} её первый символ, а <tex>\alpha</tex> {{---}} оставшаяся подстрока (возможно пустая). Если для внутренней вершины <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>x\alpha</tex> существует другая вершина <tex>s(v)</tex> с путевой меткой <tex>\alpha</tex>, то ссылка из <tex>v</tex> в <tex>s(v)</tex> называется '''суффиксной ссылкой''' (англ. ''suffix link'').
+
<br />
 +
===Лемма 1. Стал листом {{---}} листом и останешься ===
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Если в какой-то момент работы алгоритма Укконена будет создан лист с меткой <tex>i</tex> (для суффикса, начинающегося в позиции <tex>i</tex> строки <tex>S</tex>), он останется листом во всех последовательных деревьях, созданных алгоритмом.
 +
<br />
 +
|proof=
 +
Это верно потому, что у алгоритма нет механизма продолжения листового ребра дальше текущего листа. Если есть лист с суффиксом <tex>i</tex>, правило продолжения 1 будет применяться для продолжения <tex>i</tex> на всех последующих фазах.
 
}}
 
}}
{{Лемма|id=l3
+
 
|about= Существование суффиксных ссылок
+
===Лемма 2. Правило 3 заканчивает дело ===
 +
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Для любой внутренней вершины <tex>v</tex> суффиксного дерева существует суффиксная ссылка, ведущая в некоторую внутреннюю вершину <tex>u</tex>.
+
В любой фазе, если правило продолжения 3 применяется в продолжении <tex>i</tex>, оно будет реализовываться во всех дальнейших продолжениях(от <tex>i + 1</tex> по <tex>j + 1</tex>) до конца фазы.  
 +
<br />
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим внутреннюю вершину <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>s[j \ldots i]</tex>. Так как эта вершина внутренняя, её путевая метка ветвится справа в исходной строке. Тогда очевидно подстрока <tex>s[j+1 \ldots i]</tex> тоже ветвится справа в исходной строке, и ей соответствует некоторая внутренняя вершина <tex>u</tex>. По определению суффиксная ссылка вершины <tex>v </tex> ведёт в <tex> u</tex>.
+
При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный <tex>S[i..j]</tex> в текущем дереве, должен продолжаться символом <tex>j+1</tex>, и точно так же продолжается путь, помеченный <tex>S[i + 1..j]</tex>⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠, поэтому правило 3 применяется в продолжениях <tex>i + 1, i + 2, ..., j + 1</tex>
 
}}
 
}}
 +
<br />
 +
Когда используется правило 3, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать каждую фазу <tex>j + 1</tex> после первого же использования правила прохождения 3. Если это случится в продолжении i, то уже не требуется явно находить концы строк <tex>S[k..j]</tex> с <tex>k > i</tex>.
 +
 +
==Алгоритм Укконена за квадратичное время==
  
=== Использование суффиксных ссылок ===
+
Рассмотрим правила продолжения суффиксов.
[[Файл:ExampleUkkonen7.png|300px|thumb|right|Использование суффиксных ссылок.]]
 
  
Рассмотрим применение суффиксных ссылок. Пусть только что был продлён суффикс <tex>s[j \ldots i-1]</tex> до суффикса <tex>s[j \ldots i]</tex>. Теперь с помощью построенных ссылок можно найти конец суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> в суффиксном дереве, чтобы продлить его до суффикса <tex>s[j+1 \ldots i]</tex>. Для этого надо пройти вверх по дереву до ближайшей внутренней вершины <tex>v</tex>, в которую ведёт путь, помеченный <tex>s[j \ldots r]</tex>. У вершины <tex>v</tex> точно есть суффиксная ссылка (о том, как строятся суффиксные ссылки, будет сказано позже, а пока можно просто поверить). Эта суффиксная ссылка ведёт в вершину <tex>u</tex>, которой соответствует путь, помеченный подстрокой <tex>s[j+1 \ldots r]</tex>. Теперь от вершины <tex>u</tex> следует пройти вниз по дереву к концу суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> и продлить его до суффикса <tex>s[j+1 \ldots i]</tex>.
+
При использовании правила 1 по лемме 1 в последующих фазах будет выполняться правило 1. Поэтому скажем, что мы создаём лист не только для рассмотренной части строки, а для всей всей строки до конца. <br />
 +
При использовании правила 2 появится новый лист, который далее будет продлеваться по правилу 1. <br />
 +
При использовании правила 3 по лемме 2 никакой работы делать не нужно, поскольку суффикс в дереве уже есть. Следовательно, можно остановиться и не добавлять следующие суффиксы.
  
Можно заметить, что подстрока <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> является суффиксом подстроки <tex>s[j \ldots i-1]</tex>. Следовательно, после перехода по суффиксной ссылке в вершину, помеченную путевой меткой <tex>s[j+1 \ldots r]</tex>, можно дойти до места, которому соответствует метка <tex>s[r+1 \ldots i-1]</tex>, сравнивая не символы на рёбрах, а лишь длину ребра по первому символу рассматриваемой части подстроки и длину самой этой подстроки. Таким образом можно спускаться вниз сразу на целое ребро.
+
Таким образом, операция insert позволяет суффиксы не только для подстрок <tex>S[i..j]</tex>, но и сразу для всего суффикса <tex>S[i..n]</tex>.
  
=== Построение суффиксных ссылок ===
+
=== Псевдокод ===
 +
Приведенный алгоритм можно записать с помощью псевдокода:
 +
'''for''' <tex> i \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> n </tex> '''do'''
 +
    insert(<tex>s_{i..n}</tex>)
  
Легко увидеть, что в процессе построения суффиксного дерева уже построенные суффиксные ссылки никак не изменяются. Поэтому осталось сказать, как построить суффиксные ссылки для созданных вершин. Рассмотрим новую внутреннюю вершину <tex>v</tex>, которая была создана в результате продления суффикса <tex>s[j \ldots i-1]</tex>. Вместо того, чтобы искать, куда должна указывать суффиксная ссылка вершины <tex>v</tex>, поднимаясь от корня дерева для этого, перейдем к продлению следующего суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex>. И в этот момент можно проставить суффиксную ссылку для вершины <tex> v</tex>. Она будет указывать либо на существующую вершину, если следующий суффикс закончился в ней, либо на новую созданную. То есть суффиксные ссылки будут обновляться с запаздыванием. Внимательно посмотрев на все три правила продления суффиксов, можно осознать, что для вершины <tex> v </tex> точно найдётся на следующей фазе внутренняя вершина, в которую должна вести суффиксная ссылка.
+
Поскольку операция insert по-прежнему занимает линейное время, очевидно, что время работы данного алгоритма составляет <tex>O(n^2)</tex>.
  
=== Оценка числа переходов ===
+
==Суффиксные ссылки==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition= '''Глубиной вершины''' <tex>d(v)</tex> назовем число рёбер на пути от корня до вершины <tex>v</tex>.}}
+
|definition= Пусть <tex>x\alpha</tex> обозначает произвольную строку, где <tex>x</tex> {{---}} ее первый символ, а <tex>\alpha</tex> {{---}} оставшаяся подстрока(возможно пустая). Если для внутренней вершины <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>x\alpha</tex> существует другая вершина <tex>s(v)</tex> с путевой меткой <tex>\alpha</tex>, то ссылка из <tex>v</tex> в <tex>s(v)</tex> называется '''суффиксной ссылкой'''.}}
  
{{Лемма|id=l4
+
===Лемма 3. Существование суффиксных ссылок ===
 +
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
При переходе по суффиксной ссылке глубина уменьшается не более чем на <tex>1</tex>.
+
Для любой внутренней вершины <tex>v</tex> суффиксного дерева существует суффиксная ссылка, ведущая в некоторую внутреннюю вершину <tex>u</tex>.
|proof=  
+
|proof=
 +
Рассмотрим внутренную вершину <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>t_i ... t_j</tex>. Так как эта вершина внутренняя, ее путевая метка ветвится справа в исходной строке. Тогда очевидно подстрока <tex>t_{i+1} ... t_j</tex> тоже ветвится справа в исходной строке, и ей соответствует некоторая внутренняя вершина <tex>u</tex>. По определению суффиксная ссылка вершины <tex>v </tex> ведет в <tex> u</tex>
 +
}}
  
[[Файл:ExampleUkkonen8.png|200px|center|]]
+
=== Построение суффиксных ссылок ===
  
Заметим, что на пути <tex>A</tex> в дереве по суффиксу <tex>s[j+1 \ldots i]</tex> не более чем на одну вершину меньше, чем на пути <tex>B</tex> по суффиксу <tex>s[j \ldots i]</tex>. Каждой вершине <tex>v</tex> на пути <tex>B</tex> соответствует вершина <tex>u</tex> на пути <tex>A</tex>, в которую ведёт суффиксная ссылка. Разница в одну вершину возникает, если первому ребру в пути <tex>B</tex> соответсвует метка из одного символа <tex>s_{j}</tex>, тогда суффиксная ссылка из вершины, в которую ведёт это ребро, будет вести в корень.
+
Заметим что в процессе построения суффиксного дерева уже построенные суффиксные ссылки никак не изменяются. Опишем процесс построения суффиксной ссылки для новой созданной внутренней вершины. Пусть в результате очередного продления была создана новая внутренняя вершина <tex>v </tex> с путевой меткой <tex>t_i ... t_j</tex>. Перейдем к следущему шагу текущей фазы, на котором в дерево будет добавлен суффикс <tex>t_{i + 1} ... t_j</tex> соответствующий вершине <tex>u</tex> (возможно до продления суффикс оканчивался на ребре, но в этом случае по рассуждениям аналогичным Лемме 1 будет создана новая внутрення вершина). По определению суффиксная ссылка из вершины <tex>v</tex> ведет в <tex>u</tex>.
}}
 
  
{{Лемма|id=l5
+
=== Использование суффиксных ссылок ===
|about=о числе переходов внутри фазы
 
|statement=
 
Число переходов по рёбрам внутри фазы номер <tex>i</tex> равно <tex>O(i)</tex>.
 
|proof=
 
Оценим количество переходов по рёбрам при поиске конца суффикса. Переход до ближайшей внутренней вершины уменьшает высоту на <tex>1</tex>. Переход по суффиксной ссылке уменьшает высоту не более чем на <tex>1</tex>  (по лемме, доказанной выше). А потом высота увеличивается, пока мы переходим по рёбрам вниз. Так как высота не может увеличиваться больше глубины дерева, а на каждой <tex>j</tex>-ой итерации мы уменьшаем высоту не более, чем на <tex> 2 </tex>, то суммарно высота не может увеличиться больше чем на <tex> 2i</tex>. Итого, число переходов по рёбрам за одну фазу в сумме составляет <tex>O(i)</tex>.
 
}}
 
  
=== Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок ===
+
Опишем как искать концы суффиксов в дереве, которые нужно продлить. Пусть мы только что продлили суффикс <tex>t_i ... t_j</tex>. Найдем с помощью построенных ссылок конец суффикса <tex>t_{i + 1} ... t_j</tex>. Пройдем вверх по дереву от конца суффикса <tex>t_i ... t_j</tex> до ближайшей внутренней вершины <tex>v</tex>. Ей соответствует некоторая подстрока <tex>t_i ... t_k </tex>. У вершины <tex>v</tex> есть суффиксная ссылка, так как ссылка для новой внутренней вершины строится внутри фазы ее создания. Пусть суффиксная ссылка ведет в вершину <tex>u</tex>, которой соответствует подстрока <tex>t_{i + 1} ... t_k</tex>. Теперь пройдем от вершины <tex>u</tex> пройдем вниз по дереву, читая текст <tex>t_{k + 1} ... t_j</tex>, и придем к концу суффикса <tex>t_{i + 1} ... t_j</tex>.
  
Теперь в начале каждой фазы мы только один раз спускаемся от корня, а дальше используем переходы по суффиксным ссылкам. По доказанной [[#l5 | лемме]] переходов внутри фазы будет <tex>O(i)</tex>. А так как фаза состоит из <tex>i</tex> итераций, то амортизационно получаем, что на одной итерации будет выполнено <tex>O(1)</tex> действий. Следовательно, асимптотика алгоритма улучшилась до <tex>O(n^2)</tex>.
+
==== Оценка числа переходов ====
  
==Линейный алгоритм==
+
{{Определение
 
+
|definition= '''Глубиной вершины''' <tex>d(v)</tex> назовем число ребер на пути от корня до вершины <tex>v</tex>}}
Чтобы улучшить время работы данного алгоритма до <tex>O(n)</tex>, нужно использовать линейное количество памяти, поэтому метка каждого ребра будет храниться как два числа {{---}} позиции её самого левого и самого правого символов в исходном тексте.
 
  
{{Лемма|id=l1
+
===== Лемма 4. =====
|about= Стал листом — листом и останешься
+
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Если в какой-то момент работы алгоритма Укконена будет создан лист с меткой <tex>i</tex>  (для суффикса, начинающегося в позиции <tex>i</tex> строки <tex>S</tex>), он останется листом во всех последовательных деревьях, созданных алгоритмом.  
+
При переходе по суффиксной ссылке глубина уменьшается не более чем на 1.
<br>
 
 
|proof=
 
|proof=
Это верно потому, что у алгоритма нет механизма продолжения листового ребра дальше текущего листа. Если есть лист с суффиксом <tex>i</tex>, правило продолжения 1 будет применяться для продолжения <tex>i</tex> на всех последующих фазах.
+
Пусть мы переходим из вершины <tex> v </tex> с путевой меткой <tex>t_i ... t_j</tex> по суффиксной ссылке в вершину <tex> u </tex> с путевой меткой <tex>t_{i + 1} ... t_j</tex> Определим множество <tex> A </tex> как множество вершин на пути от корня до <tex> u </tex>, исключая корень. Множество <tex> B </tex> определим как множество вершин на пути от корня до <tex> v </tex>, исключая корень. Если длина первого ребра на пути от корня до <tex> v </tex> равна единице, то выкинем из множества <tex>B</tex> вершину, в которую ведет это ребро. Итого по построению получаем: <tex>|A| = d(u)</tex>, <tex>|B| \ge d(v) - 1</tex>. Теперь заметим, что суффиксная ссылка из любой вершины множества <tex>B</tex> ведет в некоторую вершину множества <tex> A</tex>, и очевидно суффиксные ссылки из разных вершин ведут в разные вершины, поэтому <tex>|A| \ge |B|</tex>, а значит <tex>d(u) \ge d(v) - 1</tex>
 
}}
 
}}
  
{{Лемма|id=l2
+
===== Лемма 5. =====
|about= Правило 3 заканчивает дело
+
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
В любой фазе, если правило продления 3 применяется в продолжении суффикса, начинающего в позиции <tex>j</tex>, оно же и будет применяться во всех дальнейших продолжениях (от <tex>j+1</tex> по <tex>i</tex>) до конца фазы.
+
Число переходов по ребрам внутри фазы номер <tex>i</tex> не превышает <tex>4i</tex>
 
|proof=
 
|proof=
При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный <tex>s[j \ldots i-1]</tex> в текущем дереве, должен продолжаться символом <tex>i</tex>, и точно так же продолжается путь, помеченный <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex>, поэтому правило 3 применяется в продолжениях <tex>j+1,\ j+2, \ldots, i</tex>.
+
Оценим количество переходов по ребрам при поиске конца суффикса. Переход до ближайшей внутренней вершины уменьшает высоту на 1. Переход по суффиксной ссылке уменьшает высоту не более чем на 1 (по Лемме 4). Значит в течение одной фазы вверх мы переходим не более <tex> 2i </tex> раз. Но внутри одной фазы начальная глубина не меньше конечной (так как длины суффиксов убывают до 1), поэтому вниз мы могли пройти не более <tex> 2i </tex> ребер. Итого получаем оценку <tex> 4i </tex>
 
}}
 
}}
  
Когда используется 3-е правило продления суффикса, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать текущую итерацию после первого же использования этого правила.
+
== Итоговая линейная оценка ==
 
 
Так как лист навсегда останется листом, можно задать метку ребра ведущего в этот лист как <tex>s[j \ldots x]</tex>, где <tex>x</tex> {{---}} ссылка на переменную, хранящую конец текущей подстроки. На следующих итерациях к этому ребру может применяться правило ответвления, но при этом будет меняться только левый(начальный) индекс <tex>j</tex>. Таким образом мы сможем удлинять все суффиксы, заканчивающиеся в листах за <tex>O(1)</tex>.
 
 
 
Следовательно, на каждой фазе <tex>i</tex> алгоритм реально работает с суффиксами в диапазоне от <tex>j^*</tex> до <tex>k,\ k \leqslant i</tex>, а не от <tex>1</tex> до <tex>i</tex>. Действительно, если суффикс <tex>s[j \ldots i-2]</tex> был продлён до суффикса <tex>s[j \ldots i-1]</tex> на прошлой фазе по правилу 1, то он и дальше будет продлеваться по правилу 1 (о чём говорит [[#l1 | лемма]]). Если он был продлён по правилу 2, то была создана новая листовая вершина, значит, на текущей фазе <tex> i </tex> этот суффикс будет продлён до суффикса <tex>s[j \ldots i]</tex> по листовой вершине. Поэтому после применения правила 3 на суффиксе <tex>s[k \ldots i]</tex> текущую фазу можно завершить, а следующую начать сразу с <tex>j^* = k</tex>.
 
 
 
=== Итоговая оценка времени работы ===
 
 
 
В течение работы алгоритма создается не более <tex>O(n)</tex> вершин по [[Сжатое_суффиксное_дерево#Количество_вершин | лемме о размере суффиксного дерева для строки]]. Все суффиксы, которые заканчиваются в листах, благодаря [[#l1|первой лемме]] на каждой итерации мы увеличиваем на текущий символ по умолчанию за <tex>O(1)</tex>. Текущая фаза алгоритма будет продолжаться, пока не будет использовано правило продления 3. Сначала неявно продлятся все листовые суффиксы, а потом по правилам 2.а) и 2.б) будет создано несколько новых внутренних вершин. Так как вершин не может быть создано больше, чем их есть, то амортизационно на каждой фазе будет создано <tex>O(1)</tex> вершин. Так как мы на каждой фазе начинаем добавление суффикса не с корня, а с индекса <tex>j*</tex>, на котором в прошлой фазе было применено правило 3, то используя немного модифицированный вариант [[#l5 | леммы о числе переходов внутри фазы]] нетрудно показать, что суммарное число переходов по рёбрам за все <tex>n</tex> фаз равно <tex>O(n)</tex>.
 
 
 
Таким образом, при использовании всех приведённых эвристик алгоритм Укконена работает за <tex>O(n)</tex>.
 
 
 
== Минусы алгоритма Укконена ==
 
Несмотря на то, что данный алгоритм является одним из самых простых в понимании алгоритмов для построения суффиксных деревьев и использует online подход, у него есть серьёзные недостатки, из-за которых его нечасто используют на практике:
 
# Размер суффиксного дерева сильно превосходит входные данные, поэтому при очень больших входных данных алгоритм Укконена сталкивается с проблемой ''memory bottleneck problem''(другое её название ''thrashing'')<ref>[http://dspace.library.uvic.ca:8080/bitstream/handle/1828/2901/ThesisBarsky16july.pdf?sequence=1 Marina Barsky {{---}} Suffix trees for very large inputs.]</ref>.
 
# Для несложных задач, таких как поиск подстроки, проще и эффективней использовать другие алгоритмы (например поиск подстроки с помощью [[Префикс-функция | префикс-функции]]).
 
# При внимательном просмотре видно, что на самом деле алгоритм работает за время <tex>O(n \cdot |\Sigma|)</tex>, используя столько же памяти, так как для ответа на запрос о существовании перехода по текущему символу за <tex>O(1)</tex> необходимо хранить линейное количество информации от размера алфавита в каждой вершине. Поэтому, если алфавит очень большой требуется чрезмерный объём памяти. Можно сэкономить на памяти, храня в каждой вершине только те символы, по которым из неё есть переходы, но тогда поиск перехода будет занимать <tex>O(\log |\Sigma|)</tex> времени.
 
# Константное время на одну итерацию {{---}} это амортизированная оценка, в худшем случае одна фаза может выполняться за <tex>O(n)</tex> времени. Например, алгоритм  Дэни Бреслауера и Джузеппе Итальяно<ref>[https://books.google.ru/books?id=sGDXz53FwM4C&lpg=PP11&ots=utJ8jnql5h&dq=Dany%20Breslauer%2C%20Giuseppe%20F.%20Italiano%3A%20Near%20Real-Time%20Suffix%20Tree%20Construction%20via%20the%20Fringe%20Marked%20Ancestor%20Problem.&hl=ru&pg=PA156#v=onepage&q&f=false Dany Breslauer, Giuseppe F. Italiano {{---}} Near Real-Time Suffix Tree Construction via the Fringe Marked Ancestor Problem.]</ref>, хоть и строит дерево за <tex>O(n \log \log n)</tex>, но на одну итерацию в худшем случае тратит <tex>O(\log \log n)</tex> времени.
 
# На сегодняшний день существуют кэш-эффективные алгоритмы, превосходящие алгоритм Укконена на современных процессорах<ref>[https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CFMQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fprofile%2FYuanyuan_Tian%2Fpublication%2F30848628_Practical_methods_for_constructing_suffix_trees%2Flinks%2F0046352b38e5dc849e000000.pdf&ei=Bh4sVZL8EIausAHujoDoBg&usg=AFQjCNEAr63t7zZnWZPKYIZLjQQInbelSg&sig2=jAPs1IULJvJZt8xwx5PYtA&bvm=bv.90491159,d.bGg&cad=rja Yuanyuan Tian, Sandeep Tata, Richard A. Hankins, Jignesh M. Patel {{---}} Practical methods for constructing suffix trees.]</ref>.
 
# Также алгоритм предполагает, что дерево полностью должно быть загружено в оперативную память. Если же требуется работать с большими размерами данных, то становится не так тривиально модифицировать алгоритм, чтобы он не хранил всё дерево в ней<ref>[http://arxiv.org/pdf/1012.4074.pdf Woong-Kee Loh, Yang-Sae Moon, Wookey Lee {{---}} A fast divide-and-conquer algorithm for indexing human genome sequences.]</ref>.
 
 
 
== См. также==
 
* [[Алгоритм МакКрейта]]
 
* [[Алгоритм Фарача| Алгоритм Фараx-Колтона]]
 
* [[Суффиксный бор]]
 
  
==Примечания==
+
Оценим время работы алгоритма при использовании всех вышеперечисленных эвристик.
  
<references />
+
Все неявные продления листов суммарно можно выполнить за <tex>O(n)</tex> (по Лемме 1)
 +
По Лемме 2 алгоритм делает не более <tex>2n</tex> явных продлений. При использовании суффиксных ссылок, как показано в Лемме 5 время на продление равно константе плюс время пропорциональное числу ребер, пройденных при спуске по дереву. Оценим суммарное число таких переходов по ребрам. Первое явное продолжение в любой фазе (кроме первой) начинается с продолжения, которое было последним явным в предыдущей фазе. Поэтому текущаю вершинная глубина не изменяется при переходе к следущей фазе. Как было показано в Лемме 5, каждое продление представляет собой переход не более чем на 2 единицы глубины вверх, а затем несколько переходов вниз, каждый из которых увеличивает глубину на 1. Так как максимальная глубина не превосходит <tex>n</tex>, а количество явных продлений не превышает <tex>2n</tex>, то по рассуждениям аналогичным Лемме 5 суммарное число таких переходов имеет порядок <tex>O(n)</tex>
  
== Источники информации ==
+
== Источник ==
* Дэн Гасфилд — Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.
+
''Дэн Гасфилд'' '''Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология''' — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.
* [http://yury.name/internet/01ianote.pdf Юрий Лифшиц {{---}} Построение суффиксного дерева за линейное время.]
 
* [http://e-maxx.ru/algo/ukkonen MAXimal :: algo :: Суффиксное дерево. Алгоритм Укконена]
 
* [http://habrahabr.ru/post/111675/ Habrahabr {{---}} Построение суффиксного дерева: алгоритм Укконена]
 
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Словарные структуры данных]]
 
[[Категория: Словарные структуры данных]]
[[Категория: Суффиксное дерево]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: