Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Укконена

612 байт добавлено, 16:59, 27 ноября 2018
Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок
|definition= '''Неявное суффиксное дерево''' (англ. ''implicit suffix tree, IST'') строки <tex>S</tex> {{---}} это суффиксное дерево, построенное для строки <tex>S</tex> без добавления <tex>\$</tex>.}}
[[Файл:ExampleUkkonen2.png|400px|thumb|right|Пример построения суффиксного дерева алгоритмом Укконена.]]
Алгоритм последовательно строит неявные суффиксные деревья для всех префиксов исходного текста <tex>S = s_{1}s_{2}...\ldots s_{n}</tex>. На <tex>i</tex>-ой фазе неявное суффиксное дерево <tex>\tau_{i-1}</tex> для префикса <tex>s[1..\ldots i-1]</tex> достраивается до <tex>\tau_{i}</tex> для префикса <tex>s[1..\ldots i]</tex>. Достраивание происходит следующим образом: для каждого суффикса подстроки <tex>s[1..\ldots i-1]</tex> необходимо спуститься от корня дерева до конца этого суффикса и дописать символ <tex>s_i</tex>.
Алгоритм состоит из <tex>n</tex> фаз. На каждой фазе происходит продление всех суффиксов текущего префикса строки, что требует <tex>O(n^2)</tex> времени. Следовательно, общая асимптотика алгоритма составляет <tex>O(n^3)</tex>.
== Продление суффиксов ==
Ниже приведены возможные случаи, которые могут возникнуть при добавлении символа <tex>s_{i}</tex> ко всем суффиксам префикса <tex>s[1..\ldots i-1]</tex>.
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center" width=75%
!style="background:#f2f2f2"|Случай
|-
|style="background:#ffffff"|''1. Продление листа''
|style="background:#ffffff"|Пусть суффикс <tex>s[k..\ldots i-1]</tex> заканчивается в листе. Добавим <tex>s_{i}</tex> в конец подстроки, которой помечено ребро, ведущее в этот лист.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen3.png|300px]]
|-
|style="background:#ffffff" rowspan="2" |''2. Ответвление''
|style="background:#ffffff"|а) Пусть суффикс <tex>s[k..\ldots i-1]</tex> заканчивается в вершине, не являющейся листом, из которой нет пути по символу <tex>s_{i}</tex>. Создадим новый лист, в который из текущей вершины ведет ведёт дуга с пометкой <tex>s_{i}</tex>.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen4.png|300px]]
|-
|style="background:#ffffff"|б) Пусть суффикс <tex>s[k..\ldots i-1]</tex> заканчивается на ребре с меткой <tex>s[l..\ldots r]</tex> в позиции <tex>p-1(l \leqslant p \leqslant r)</tex> и <tex>s_{p} \ne s_{i}</tex>. Разобьем текущее ребро новой вершиной на <tex>s[l..\ldots p-1]</tex> и <tex>s[p..\ldots r]</tex> и подвесим к ней еще одного ребенка с дугой, помеченной <tex>s_{i}</tex>.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen5.png|300px]]
|-
|style="background:#ffffff"|''3. Ничего не делать''
|style="background:#ffffff"|Пусть суффикс <tex>s[k..\ldots i-1]</tex> заканчивается в вершине, из которой есть путь по <tex>s_{i}</tex>. Тогда ничего делать не надо.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen6.png|300px]]
|}
{{Определение
|definition= Пусть <tex>x\alpha</tex> обозначает произвольную строку, где <tex>x</tex> {{---}} ее её первый символ, а <tex>\alpha</tex> {{---}} оставшаяся подстрока (возможно пустая). Если для внутренней вершины <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>x\alpha</tex> существует другая вершина <tex>s(v)</tex> с путевой меткой <tex>\alpha</tex>, то ссылка из <tex>v</tex> в <tex>s(v)</tex> называется '''суффиксной ссылкой''' (англ. ''suffix link'').
}}
{{Лемма|id=l3
Для любой внутренней вершины <tex>v</tex> суффиксного дерева существует суффиксная ссылка, ведущая в некоторую внутреннюю вершину <tex>u</tex>.
|proof=
Рассмотрим внутренную внутреннюю вершину <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>s[j..\ldots i]</tex>. Так как эта вершина внутренняя, ее её путевая метка ветвится справа в исходной строке. Тогда очевидно подстрока <tex>s[j+1..\ldots i]</tex> тоже ветвится справа в исходной строке, и ей соответствует некоторая внутренняя вершина <tex>u</tex>. По определению суффиксная ссылка вершины <tex>v </tex> ведет ведёт в <tex> u</tex>.
}}
[[Файл:ExampleUkkonen7.png|300px|thumb|right|Использование суффиксных ссылок.]]
Рассмотрим применение суффиксных ссылок. Пусть только что был продлён суффикс <tex>s[j..\ldots i-1]</tex> до суффикса <tex>s[j..\ldots i]</tex>. Теперь с помощью построенных ссылок можно найти конец суффикса <tex>s[j+1..\ldots i-1]</tex> в суффиксном дереве, чтобы продлить его до суффикса <tex>s[j+1..\ldots i]</tex>. Для этого надо пройти вверх по дереву до ближайшей внутренней вершины <tex>v</tex>, в которую ведет ведёт путь, помеченный <tex>s[j..\ldots r]</tex>. У вершины <tex>v</tex> точно есть суффиксная ссылка (о том, как строятся суффиксные ссылки, будет сказано позже, а пока можно просто поверить). Эта суффиксная ссылка ведет ведёт в вершину <tex>u</tex>, которой соответствует путь, помеченный подстрокой <tex>s[j+1..\ldots r]</tex>. Теперь от вершины <tex>u</tex> следует пройти вниз по дереву к концу суффикса <tex>s[j+1..\ldots i-1]</tex> и продлить его до суффикса <tex>s[j+1..\ldots i]</tex>.
Можно заметить, что подстрока <tex>s[j+1..\ldots i-1]</tex> является суффиксом подстроки <tex>s[j..\ldots i-1]</tex>. Следовательно, после перехода по суффиксной ссылке в вершину, помеченную путевой меткой <tex>s[j+1..\ldots r]</tex>, можно дойти до места, которму которому соответствует метка <tex>s[r+1..\ldots i-1]</tex>, сравнивая не символы на рёбрах, а лишь длину ребра по первому символу рассматриваемой части подстроки и длину самой этой подстроки. Таким образом можно спускаться вниз сразу на целое ребро.
=== Построение суффиксных ссылок ===
Легко увидеть, что в процессе построения суффиксного дерева уже построенные суффиксные ссылки никак не изменяются. Поэтому осталось сказать, как построить суффиксные ссылки для созданных вершин. Рассмотрим новую внутреннюю вершина вершину <tex>v</tex>, которая была создана в результате продления суффикса <tex>s[j..\ldots i-1]</tex>. Вместо того, чтобы искать, куда должна указывать суффиксная ссылка вершины <tex>v</tex>, поднимаясь от корня дерева для этого, перейдем к продлению следующего суффикса <tex>s[j+1..\ldots i-1]</tex>. И в этот момент можно проставить суффиксную ссылку для вершины <tex> v</tex>. Она будет указывать либо на существующую вершину, если следующий суффикс закончился в ней, либо на новую созданную. То есть суффиксные ссылки будут обновляться с запаздыванием. Внимательно посмотрев на все три правила продления суффиксов, можно осознать, что для вершины <tex> v </tex> точно найдётся на следующей фазе внутренняя вершина, в которую должна вести суффиксная ссылка.
=== Оценка числа переходов ===
{{Определение
|definition= '''Глубиной вершины''' <tex>d(v)</tex> назовем число ребер рёбер на пути от корня до вершины <tex>v</tex>.}}
{{Лемма|id=l4
|statement=
При переходе по суффиксной ссылке глубина уменьшается не более чем на <tex>1</tex>.
|proof=
 
[[Файл:ExampleUkkonen8.png|200px|center|]]
|proof= Заметим, что на пути <tex>A</tex> в дереве по суффиксу <tex>s[j+1..\ldots i]</tex> не более чем на одну вершину меньше, чем на пути <tex>B</tex> по суффиксу <tex>s[j..\ldots i]</tex>. Каждой вершине <tex>v</tex> на пути <tex>B</tex> соответствует вершина <tex>u</tex> на пути <tex>A</tex>, в которую ведет ведёт суффиксная ссылка. Разница в одну вершину возникает, если первому ребру в пути <tex>B</tex> соответсвует метка из одного символа <tex>s_{j}</tex>, тогда суффиксная ссылка из вершины, в которую ведет ведёт это ребро, будет вести в корень.
}}
{{Лемма|id=l5
|about=о числе переходов внутри фазы
|statement=
Число переходов по ребрам рёбрам внутри фазы номер <tex>i</tex> не превышает равно <tex>4iO(i)</tex>.
|proof=
Оценим количество переходов по ребрам рёбрам при поиске конца суффикса. Переход до ближайшей внутренней вершины уменьшает высоту на <tex>1</tex>. Переход по суффиксной ссылке уменьшает высоту не более чем на <tex>1</tex> (по лемме, доказанной выше). Значит в течение одной фазы вверх А потом высота увеличивается, пока мы переходим по рёбрам вниз. Так как высота не более может увеличиваться больше глубины дерева, а на каждой <tex>2ij</tex> раз. Но внутри одной фазы начальная глубина -ой итерации мы уменьшаем высоту не меньше конечной (так как длины суффиксов убывают до более, чем на <tex>12 </tex>), поэтому вниз мы могли пройти то суммарно высота не более может увеличиться больше чем на <tex>2i</tex> ребер. Итого получаем оценку , число переходов по рёбрам за одну фазу в сумме составляет <tex>4iO(i)</tex>.
}}
=== Асимтотика Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок ===
Благодаря суффиксным ссылкам Теперь в начале каждой фазы мы только один раз спускаемся от корня, а дольше делаем дальше используем переходы за по суффиксным ссылкам. По доказанной [[#l5 | лемме]] переходов внутри фазы будет <tex>O(1i)</tex> между концами суффиксов, а таких переходов, по доказанной выше лемме, не более . А так как фаза состоит из <tex>O(i)</tex> на текущей итерации. Следовательноитераций, то амортизационно получаем, количество действий что на одной итерации снижается с будет выполнено <tex>O(n^2)</tex> до <tex>O(n1)</tex>действий. Таким образом общая Следовательно, асимптотика алгоритма улучшилась до <tex>O(n^2)</tex>.
==Линейный алгоритм==
Чтобы улучшить время работы данного алгоритма до <tex>O(n)</tex>, нужно использовать линейное количество памяти, поэтому метка каждого ребра будет храниться как два числа {{---}} позиции ее её самого левого и самого правого символов в исходном тексте.
{{Лемма|id=l1
|about= Правило 3 заканчивает дело
|statement=
В любой фазе, если правило продления 3 применяется в продолжении суффикса, начинающего в позиции <tex>j</tex>, оно же и будет реализовываться применяться во всех дальнейших продолжениях (от <tex>j+1</tex> по <tex>i+1</tex>) до конца фазы. <br>
|proof=
При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный <tex>s[j..\ldots i-1]</tex> в текущем дереве, должен продолжаться символом <tex>i+1</tex>, и точно так же продолжается путь, помеченный <tex>s[j+1..\ldots i-1]</tex>, поэтому правило 3 применяется в продолжениях <tex>j+1, \ j+2, ...\ldots, i+1</tex>.
}}
Когда используется 3-е правило продления суффикса, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать текущую итерацию после первого же использования этого правила.
Так как лист навсегда останется листом, зададим можно задать метку ребра ведущего в этот лист как <tex>s[j..\ldots x]</tex>, где <tex>x</tex> {{---}} ссылка на переменную, хранящую конец текущей подстроки. На следующих итерациях к этому ребру может применяться правило ответвления, но при этом будет меняться только левый(начальный) индекс <tex>j</tex>. Таким образом мы сможем удлинять все суффиксы, заканчивающиеся в листах за <tex>O(1)</tex>.
Будем называть самым длинным не уникальным суффиксом суффиксСледовательно, который заканчиватся на ребре и имеет максимальную длину среди всех таких суффиксов. Заметимкаждой фазе <tex>i</tex> алгоритм реально работает с суффиксами в диапазоне от <tex>j^*</tex> до <tex>k, что так как суффиксы\ k \leqslant i</tex>, продленные по второму правилу, заканчиваются в листах и далее будут продляться за а не от <tex>O(1)</tex>до <tex>i</tex>. Действительно, то на очередной итерации мы можем начинать продлять суффиксы не с если суффикс <tex>s[1..j \ldots i-12]</tex>, а с самого длинного не уникального был продлён до суффикса <tex>s[j^*..\ldots i-1]</tex>, т.е. суффикса на котором мы остановились на прошлой итерациифазе по правилу 1, применив пустое правило продлениято он и дальше будет продлеваться по правилу 1 (о чём говорит [[#l1 | лемма]]). СледовательноЕсли он был продлён по правилу 2, то была создана новая листовая вершина, значит, храня ссылку на место остановки на предыдущей итерации, мы можем не спускаться от корня к концу текущей фазе <tex> i </tex> этот суффикс будет продлён до суффикса <tex>s[j^*.\ldots i]</tex> по листовой вершине.Поэтому после применения правила 3 на суффиксе <tex>s[k \ldots i-1]</tex> суффиксатекущую фазу можно завершить, а следующую начать сразу продлевать его символом с <tex>s_ij^* = k</tex>.
=== Итоговая оценка времени работы ===
В течение работы алгоритма создается не более <tex>O(n)</tex> листов, так как в исходном тексте <tex>O(n)</tex> суффиксов. По вершин по [[Сжатое_суффиксное_дерево#Количество_вершин | леммео размере суффиксного дерева для строки]] внутренних вершин в дереве меньше чем листьев, следовательно, всего вершин в получившемся дереве будет <tex>O(n)</tex>. Все суффиксы, которые заканчиваются в листах, благодаря [[#l1|первой лемме]] на каждой итерации мы увеличиваем на текущий символ по умолчанию за <tex>O(1)</tex>. Текущая фаза алгоритма идет пока мы явно не продлим все суффиксы или, по [[#l2|второй лемме]]будет продолжаться, пока не будет использовано правило продления 3. При явном продлении суффикса всегда создается новый листСначала неявно продлятся все листовые суффиксы, в котором он заканчиваетсяа потом по правилам 2.а) и 2.б) будет создано несколько новых внутренних вершин. Так как вершин не может быть создано больше, не сложно заметитьчем их есть, что этот суффикс то амортизационно на всех последующих итерация каждой фазе будет продлеваться по правилу 1(за создано <tex>O(1)</tex>), тогда вершин. Так как мы на всех <tex>n</tex> итерациях суммарно каждой фазе начинаем добавление суффикса не может быть сделано более с корня, а с индекса <tex>O(n)j*</tex> явных и неявных продлений, так же теперь мы не спускаемся от корня к концу первого суффикса на текущей итерации за <tex>O(n)</tex>котором в прошлой фазе было применено правило 3, а сразуто используя немного модифицированный вариант [[#l5 | леммы о числе переходов внутри фазы]] нетрудно показать, что суммарное число переходов по рёбрам за все <tex>O(1)n</tex>, начинаем его продление, тогда одна итерация в среднем будет выполняться за фаз равно <tex>O(1n)</tex>.  Таким образом , при использовании всех приведенных приведённых эвристик, алгоритм Укконена работает за <tex>O(n)</tex>.
== Минусы алгоритма Укконена ==
Не смотря Несмотря на то, что данный алгоритм является одним из самых простых в понимании алгоритмов для построения суффиксных деревьев и использует online подход, у него есть серьезные серьёзные недостатки, из-за которых его нечасто используют на практике:# Размер суффиксного дерева сильно превосходит входные данные, поэтому при очень больших входных данных алгоритм Укконена сталкивается с проблемой ''memory bottleneck problem''(другое ее её название ''thrashing'')<ref>[http://dspace.library.uvic.ca:8080/bitstream/handle/1828/2901/ThesisBarsky16july.pdf?sequence=1 Marina Barsky {{---}} Suffix trees for very large inputs.]</ref>.# Для несложных задач, таких как поиск подстроки, проще и эффективней использовать, другие алгоритмы (например, поиск подстроки с помощью [[Префикс-функция | префикс-функциюфункции]]).# Существенно использует размер алфавита. Чтобы отвечать При внимательном просмотре видно, что на самом деле алгоритм работает за время <tex>O(n \cdot |\Sigma|)</tex>, используя столько же памяти, так как для ответа на запрос о существований существовании перехода по текущему символу за <tex>O(1)</tex> нужно необходимо хранить линейное количество информации от размера алфавитав каждой вершине. Поэтому, если алфавит очень большой требуется чрезмерный объем объём памяти. Если же экономить Можно сэкономить на памяти или если изначально алфавит неизвестен, то время на запрос ухудшится до храня в каждой вершине только те символы, по которым из неё есть переходы, но тогда поиск перехода будет занимать <tex>O(\log |\Sigma|)</tex>времени.
# Константное время на одну итерацию {{---}} это амортизированная оценка, в худшем случае одна фаза может выполняться за <tex>O(n)</tex> времени. Например, алгоритм Дэни Бреслауера и Джузеппе Итальяно<ref>[https://books.google.ru/books?id=sGDXz53FwM4C&lpg=PP11&ots=utJ8jnql5h&dq=Dany%20Breslauer%2C%20Giuseppe%20F.%20Italiano%3A%20Near%20Real-Time%20Suffix%20Tree%20Construction%20via%20the%20Fringe%20Marked%20Ancestor%20Problem.&hl=ru&pg=PA156#v=onepage&q&f=false Dany Breslauer, Giuseppe F. Italiano {{---}} Near Real-Time Suffix Tree Construction via the Fringe Marked Ancestor Problem.]</ref>, хоть и строит дерево за <tex>O(n \log \log n)</tex>, но на одну итерацию в худшем случае тратит <tex>O(\log \log n)</tex> времени.
# На сегодняшний день существуют кэш-эффективные алгоритмы, которые превосходят превосходящие алгоритм Укконена на современных процессорах<ref>[https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CFMQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fprofile%2FYuanyuan_Tian%2Fpublication%2F30848628_Practical_methods_for_constructing_suffix_trees%2Flinks%2F0046352b38e5dc849e000000.pdf&ei=Bh4sVZL8EIausAHujoDoBg&usg=AFQjCNEAr63t7zZnWZPKYIZLjQQInbelSg&sig2=jAPs1IULJvJZt8xwx5PYtA&bvm=bv.90491159,d.bGg&cad=rja Yuanyuan Tian, Sandeep Tata, Richard A. Hankins, Jignesh M. Patel {{---}} Practical methods for constructing suffix trees.]</ref>.# Так же Также алгоритм предполагает, что дерево полностью должно быть загружено в оперативную память, а при больших размерах входных . Если же требуется работать с большими размерами данных это может быть затруднительно, поэтому хотелось быто становится не так тривиально модифицировать алгоритм, чтобы он не хранил всё дерево было загружено "частично"в ней<ref>[http://arxiv.org/pdf/1012.4074.pdf Woong-Kee Loh, Yang-Sae Moon, Wookey Lee {{---}} A fast divide-and-conquer algorithm for indexing human genome sequences.]</ref>.
== См. также==
Анонимный участник

Навигация