Изменения

{{В разработке}}'''Алгоритм Укконена''' (англ. ''Ukkonen's algorithm'') — алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex> за линейное время.

== Первая версия алгоритма Алгоритм за O(n³) ==Рассмотрим сначала наивный метод, который строит дерево за время <tex>O(n^3)</tex>, где <tex>n</tex> — длина исходной строки <tex>s</tex>. В дальнейшем данный алгоритм будет оптимизирован таким образом, что будет достигнута линейная скорость работы.{{Определение|definition= '''Неявное суффиксное дерево''' (англ. ''implicit suffix tree, IST'') строки <tex>S</tex> {{---}} это суффиксное дерево, построенное для строки <tex>S</tex> без добавления <tex>\$</tex>.}}[[Файл:ExampleUkkonen2.png|400px|thumb|right|Пример построения суффиксного дерева алгоритмом Укконена.]]Алгоритм последовательно строит неявные суффиксные деревья для всех префиксов исходного текста <tex>S = s_{1}s_{2} \ldots s_{n}</tex>. На <tex>i</tex>-ой фазе неявное суффиксное дерево <tex>\tau_{i-1}</tex> для префикса <tex>s[1 \ldots i-1]</tex> достраивается до <tex>\tau_{i}</tex> для префикса <tex>s[1 \ldots i]</tex>. Достраивание происходит следующим образом: для каждого суффикса подстроки <tex>s[1 \ldots i-1]</tex> необходимо спуститься от корня дерева до конца этого суффикса и дописать символ <tex>s_i</tex>.

=== Описание ===Алгоритм делится на состоит из <tex>n</tex> фаз. В На каждой фазе с номером происходит продление всех суффиксов текущего префикса строки, что требует <tex>iO(n^2)</tex> в дерево добавляются все суффиксы подстроки времени. Следовательно, общая асимптотика алгоритма составляет <tex>s_{1..i}O(n^3)</tex>. При добавлении суффикса === Псевдокод алгоритма за O(n<texsup>s_{j..i}3</texsup> алгоритм сначала находит конец пути из корня, помеченного подстрокой ) ===<texcode style = "display: inline-block;">s_{ '''for''' i = 1 .. n '''for''' j = 1 .. i treeExtend(s[j..i-1}]) <font color=green>// добавление текущего суффикса работает за линейное время</font></texcode>'''Замечание:''' на первый взгляд, более логичным подходом кажется добавление всех суффиксов строки в дерево по очереди, затем добавляет к найденной вершине новое ребро с листом получив сразу алгоритм со временем работы <tex>s_iO(n^2)</tex>. Однако осуществить улучшение данного алгоритма до линейного времени работы будет намного сложней, если этот символ не был добавлен ранеехотя именно в этом и заключается суть [[Алгоритм МакКрейта | алгоритма МакКрейта]].

=== Псевдокод =Продление суффиксов ==Приведенный алгоритм можно записать с помощью псевдокода: '''for''' <tex> i \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> n </tex> '''do''' '''for''' <tex> j \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> i </tex> '''do''' insert(Ниже приведены возможные случаи, которые могут возникнуть при добавлении символа <tex>s_{j..i}</tex>)Поскольку операция insert может занимать линейное время, очевидно, что время работы данного алгоритма составляет ко всем суффиксам префикса <tex>O(n^3)</tex>. == Возможные исходы операции insert ==Ниже приведены три возможных случая, которые могут возникнуть при добавлении подстроки <tex>s_{j..s[1 \ldots i}-1]</tex> в дерево.{| border="1" cellpadding="53" cellspacing="0" style="text-align:center" width=9075%

!style="background:#f2f2f2"|ОписаниеПравило

|style="background:#ffffff"|Пусть подстрока суффикс <tex>s_{j..s[k \ldots i-1}]</tex> кончается заканчивается в листе. Добавим элемент <tex>s_is_{i}</tex> в конец последнего ребраподстроки, которой помечено ребро, ведущее в этот лист.|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case2ExampleUkkonen3.png|300px]]

|style="background:#ffffff" rowspan="2"|''2. Создание листаОтветвление''|style="background:#ffffff"|а) Пусть подстрока суффикс <tex>s_{j..s[k \ldots i-1}]</tex> кончается заканчивается в вершине, не являющейся листом, из которой нет пути по символу <tex>s_is_{i}</tex>. Создадим новую дугу новый лист, в который из текущей вершины ведёт дуга с началом пометкой <tex>s_{i}</tex>.|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen4.png|300px]]|-|style="background:#ffffff"|б) Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается на ребре с меткой <tex>s[l \ldots r]</tex> в элементе позиции <tex>p-1(l \leqslant p \leqslant r)</tex> и <tex>s_{p} \ne s_{i}</tex>. Разобьем текущее ребро новой вершиной на <tex>s[l \ldots p-1}]</tex> и <tex>s[p \ldots r]</tex> и листом подвесим к ней еще одного ребенка с дугой, помеченной <tex>s_is_{i}</tex>.|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case1ExampleUkkonen5.png|300px]]

|style="background:#ffffff"|Пусть подстрока суффикс <tex>s_{j..s[k \ldots i-1}]</tex> кончается заканчивается в вершине, из которой есть путь по <tex>s_is_{i}</tex>. Тогда ничего делать не надо.|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case3ExampleUkkonen6.png|300px]]

{{Определение|definition==Оптимизация алгоритма Укконена== Рассмотрим две леммыПусть <tex>x\alpha</tex> обозначает произвольную строку, позволяющие ускорить алгоритм Укконена до где <tex>O(n^2)x</tex>.{{---}} её первый символ, а <tex>\alpha<br /tex>===Лемма 1. Стал листом {{---}} листом и останешься ===оставшаяся подстрока (возможно пустая). Если для внутренней вершины <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>x\alpha</tex> существует другая вершина <tex>s(v)</tex> с путевой меткой <tex>\alpha</tex>, то ссылка из <tex>v</tex> в <tex>s(v)</tex> называется '''суффиксной ссылкой''' (англ. ''suffix link'').}}{{Лемма|id=l3|about= Существование суффиксных ссылок

Если в какой-то момент работы алгоритма Укконена будет создан лист с меткой Для любой внутренней вершины <tex>jv</tex> (для суффиксасуффиксного дерева существует суффиксная ссылка, начинающегося ведущая в позиции некоторую внутреннюю вершину <tex>ju</tex> строки <tex>S</tex>), он останется листом во всех последовательных деревьях, созданных алгоритмом. <br />

Это верно потомуРассмотрим внутреннюю вершину <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>s[j \ldots i]</tex>. Так как эта вершина внутренняя, что у алгоритма нет механизма продолжения листового ребра дальше текущего листаеё путевая метка ветвится справа в исходной строке. Если есть лист с суффиксом Тогда очевидно подстрока <tex>s[j+1 \ldots i]</tex>тоже ветвится справа в исходной строке, правило продолжения 1 будет применяться для продолжения и ей соответствует некоторая внутренняя вершина <tex>u</tex>. По определению суффиксная ссылка вершины <tex>v </tex> ведёт в <tex>ju</tex> на всех последующих фазах.

===Лемма 2Использование суффиксных ссылок ===[[Файл:ExampleUkkonen7.png|300px|thumb|right|Использование суффиксных ссылок.]] Рассмотрим применение суффиксных ссылок. Пусть только что был продлён суффикс <tex>s[j \ldots i-1]</tex> до суффикса <tex>s[j \ldots i]</tex>. Теперь с помощью построенных ссылок можно найти конец суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> в суффиксном дереве, чтобы продлить его до суффикса <tex>s[j+1 \ldots i]</tex>. Для этого надо пройти вверх по дереву до ближайшей внутренней вершины <tex>v</tex>, в которую ведёт путь, помеченный <tex>s[j \ldots r]</tex>. У вершины <tex>v</tex> точно есть суффиксная ссылка (о том, как строятся суффиксные ссылки, будет сказано позже, а пока можно просто поверить). Эта суффиксная ссылка ведёт в вершину <tex>u</tex>, которой соответствует путь, помеченный подстрокой <tex>s[j+1 \ldots r]</tex>. Теперь от вершины <tex>u</tex> следует пройти вниз по дереву к концу суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> и продлить его до суффикса <tex>s[j+1 \ldots i]</tex>. Можно заметить, что подстрока <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> является суффиксом подстроки <tex>s[j \ldots i-1]</tex>. Следовательно, после перехода по суффиксной ссылке в вершину, помеченную путевой меткой <tex>s[j+1 \ldots r]</tex>, можно дойти до места, которому соответствует метка <tex>s[r+1 \ldots i-1]</tex>, сравнивая не символы на рёбрах, а лишь длину ребра по первому символу рассматриваемой части подстроки и длину самой этой подстроки. Таким образом можно спускаться вниз сразу на целое ребро. === Построение суффиксных ссылок === Легко увидеть, что в процессе построения суффиксного дерева уже построенные суффиксные ссылки никак не изменяются. Поэтому осталось сказать, как построить суффиксные ссылки для созданных вершин. Рассмотрим новую внутреннюю вершину <tex>v</tex>, которая была создана в результате продления суффикса <tex>s[j \ldots i-1]</tex>. Вместо того, чтобы искать, куда должна указывать суффиксная ссылка вершины <tex>v</tex>, поднимаясь от корня дерева для этого, перейдем к продлению следующего суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex>. И в этот момент можно проставить суффиксную ссылку для вершины <tex> v</tex>. Она будет указывать либо на существующую вершину, если следующий суффикс закончился в ней, либо на новую созданную. То есть суффиксные ссылки будут обновляться с запаздыванием. Внимательно посмотрев на все три правила продления суффиксов, можно осознать, что для вершины <tex> v </tex> точно найдётся на следующей фазе внутренняя вершина, в которую должна вести суффиксная ссылка. Правило 3 заканчивает дело  === Оценка числа переходов === {{Определение|definition= '''Глубиной вершины''' <tex>d(v)</tex> назовем число рёбер на пути от корня до вершины <tex>v</tex>.}} {{Лемма|id=l4

В любой фазе, если правило продолжения 3 применяется в продолжении <tex>j</tex>, оно будет реализовываться во всех дальнейших продолжениях(от <tex>j + 1</tex> При переходе по суффиксной ссылке глубина уменьшается не более чем на <tex>i + 1</tex>) до конца фазы. <br />|proof=При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный <tex>S[j..i]</tex> в текущем дереве, должен продолжаться символом <tex>i+1</tex>, и точно так же продолжается путь, помеченный <tex>S[j + 1..i]</tex>, поэтому правило 3 применяется в продолжениях <tex>j + 1, j + 2, ..., i + 1</tex>}}<br />Когда используется правило 3, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать каждую фазу <tex>i + 1</tex> после первого же использования правила прохождения 3. Если это случится в продолжении j, то уже не требуется явно находить концы строк <tex>S[k..i]</tex> с <tex>k > j</tex>.

Рассмотрим правила продолжения суффиксовЗаметим, что на пути <tex>A</tex> в дереве по суффиксу <tex>s[j+1 \ldots i]</tex> не более чем на одну вершину меньше, чем на пути <tex>B</tex> по суффиксу <tex>s[j \ldots i]</tex>.Каждой вершине <tex>v</tex> на пути <tex>B</tex> соответствует вершина <tex>u</tex> на пути <tex>A</tex>, в которую ведёт суффиксная ссылка. Разница в одну вершину возникает, если первому ребру в пути <tex>B</tex> соответсвует метка из одного символа <tex>s_{j}</tex>, тогда суффиксная ссылка из вершины, в которую ведёт это ребро, будет вести в корень.}}

При использовании правила {{Лемма|id=l5|about=о числе переходов внутри фазы|statement=Число переходов по рёбрам внутри фазы номер <tex>i</tex> равно <tex>O(i)</tex>.|proof=Оценим количество переходов по рёбрам при поиске конца суффикса. Переход до ближайшей внутренней вершины уменьшает высоту на <tex>1 </tex>. Переход по суффиксной ссылке уменьшает высоту не более чем на <tex>1</tex> (по лемме 1 в последующих фазах будет выполняться правило 1, доказанной выше). Поэтому скажемА потом высота увеличивается, что пока мы создаём лист переходим по рёбрам вниз. Так как высота не только для рассмотренной части строкиможет увеличиваться больше глубины дерева, а для всей всей строки до конца. на каждой <tex>j<br /tex>-ой итерации мы уменьшаем высоту не более, чем на <tex>При использовании правила 2 появится новый лист</tex>, который далее будет продлеваться по правилу 1. то суммарно высота не может увеличиться больше чем на <tex> 2i<br /tex>При использовании правила 3 . Итого, число переходов по лемме 2 никакой работы делать не нужно, поскольку суффикс рёбрам за одну фазу в дереве уже есть. Следовательно, можно остановиться и не добавлять следующие суффиксысумме составляет <tex>O(i)</tex>.}}

=== Псевдокод ===Приведенный алгоритм можно записать с помощью псевдокода: '''for''' Теперь в начале каждой фазы мы только один раз спускаемся от корня, а дальше используем переходы по суффиксным ссылкам. По доказанной [[#l5 | лемме]] переходов внутри фазы будет <tex> O(i \leftarrow 1 )</tex> '''to''' . А так как фаза состоит из <tex> n i</tex> '''do''' insertитераций, то амортизационно получаем, что на одной итерации будет выполнено <tex>O(1)</tex>s_{i.действий.Следовательно, асимптотика алгоритма улучшилась до <tex>O(n}^2)</tex>).

{{ОпределениеЛемма|id=l1|definitionabout= Пусть Стал листом — листом и останешься|statement=Если в какой-то момент работы алгоритма Укконена будет создан лист с меткой <tex>x\alphai</tex> обозначает произвольную строку (для суффикса, где начинающегося в позиции <tex>xi</tex> {{---}} ее первый символ, а строки <tex>\alphaS</tex> {{---}} оставшаяся подстрока(возможно пустая), он останется листом во всех последовательных деревьях, созданных алгоритмом. Если для внутренней вершины с путевой меткой <texbr>x\alpha</tex> существует другая вершина <tex>s(v)</tex> |proof=Это верно потому, что у алгоритма нет механизма продолжения листового ребра дальше текущего листа. Если есть лист с путевой меткой суффиксом <tex>\alphai</tex> то ссылка из , правило продолжения 1 будет применяться для продолжения <tex>vi</tex> в <tex>s(v)</tex> называется суффиксной ссылкойна всех последующих фазах.}}

==={{Лемма 1. Существование суффиксных ссылок |id=l2|about=={{ЛеммаПравило 3 заканчивает дело

Для В любой внутренней вершины фазе, если правило продления 3 применяется в продолжении суффикса, начинающего в позиции <tex>vj</tex>суффиксного дерева существует суффиксная ссылка, ведущая в некоторую внутреннюю вершину оно же и будет применяться во всех дальнейших продолжениях (от <tex>j+1</tex> по <tex>ui</tex>) до конца фазы.

Рассмотрим внутренную вершину <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>t_i ... t_j</tex>. Так как эта вершина внутренняяПри использовании правила продолжения 3 путь, ее путевая метка ветвится справа в исходной строке. Тогда очевидно подстрока помеченный <tex>t_{s[j \ldots i+-1} ... t_j]</tex> тоже ветвится справа в исходной строкетекущем дереве, и ей соответствует некоторая внутренняя вершина должен продолжаться символом <tex>ui</tex>. По определению суффиксная ссылка вершины , и точно так же продолжается путь, помеченный <tex>v s[j+1 \ldots i-1]</tex> ведет , поэтому правило 3 применяется в продолжениях <tex> uj+1,\ j+2, \ldots, i</tex>.

Когда используется 3-е правило продления суффикса, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать текущую итерацию после первого же использования этого правила. Так как лист навсегда останется листом, можно задать метку ребра ведущего в этот лист как <tex>s[j \ldots x]</tex>, где <tex>x</tex> {{---}} ссылка на переменную, хранящую конец текущей подстроки. На следующих итерациях к этому ребру может применяться правило ответвления, но при этом будет меняться только левый(начальный) индекс <tex>j</tex>. Таким образом мы сможем удлинять все суффиксы, заканчивающиеся в листах за <tex>O(1)</tex>.  Следовательно, на каждой фазе <tex>i</tex> алгоритм реально работает с суффиксами в диапазоне от <tex>j^*</tex> до <tex>k,\ k \leqslant i</tex>, а не от <tex>1</tex> до <tex>i</tex>. Действительно, если суффикс <tex>s[j \ldots i-2]</tex> был продлён до суффикса <tex>s[j \ldots i-1]</tex> на прошлой фазе по правилу 1, то он и дальше будет продлеваться по правилу 1 (о чём говорит [[#l1 | лемма]]). Если он был продлён по правилу 2, то была создана новая листовая вершина, значит, на текущей фазе <tex> i </tex> этот суффикс будет продлён до суффикса <tex>s[j \ldots i]</tex> по листовой вершине. Поэтому после применения правила 3 на суффиксе <tex>s[k \ldots i]</tex> текущую фазу можно завершить, а следующую начать сразу с <tex>j^* =k</tex>. == Построение суффиксных ссылок =Итоговая оценка времени работы === В течение работы алгоритма создается не более <tex>O(n)</tex> вершин по [[Сжатое_суффиксное_дерево#Количество_вершин | лемме о размере суффиксного дерева для строки]]. Все суффиксы, которые заканчиваются в листах, благодаря [[#l1|первой лемме]] на каждой итерации мы увеличиваем на текущий символ по умолчанию за <tex>O(1)</tex>. Текущая фаза алгоритма будет продолжаться, пока не будет использовано правило продления 3. Сначала неявно продлятся все листовые суффиксы, а потом по правилам 2.а) и 2.б) будет создано несколько новых внутренних вершин. Так как вершин не может быть создано больше, чем их есть, то амортизационно на каждой фазе будет создано <tex>O(1)</tex> вершин. Так как мы на каждой фазе начинаем добавление суффикса не с корня, а с индекса <tex>j*</tex>, на котором в прошлой фазе было применено правило 3, то используя немного модифицированный вариант [[#l5 | леммы о числе переходов внутри фазы]] нетрудно показать, что суммарное число переходов по рёбрам за все <tex>n</tex> фаз равно <tex>O(n)</tex>.  Таким образом, при использовании всех приведённых эвристик алгоритм Укконена работает за <tex>O(n)</tex>.

Заметим == Минусы алгоритма Укконена ==Несмотря на то, что данный алгоритм является одним из самых простых в процессе понимании алгоритмов для построения суффиксных деревьев и использует online подход, у него есть серьёзные недостатки, из-за которых его нечасто используют на практике:# Размер суффиксного дерева уже построенные суффиксные ссылки никак не изменяютсясильно превосходит входные данные, поэтому при очень больших входных данных алгоритм Укконена сталкивается с проблемой ''memory bottleneck problem''(другое её название ''thrashing'')<ref>[http://dspace.library.uvic.ca:8080/bitstream/handle/1828/2901/ThesisBarsky16july.pdf?sequence=1 Marina Barsky {{---}} Suffix trees for very large inputs.]</ref>. Опишем процесс построения суффиксной ссылки для новой созданной внутренней вершины# Для несложных задач, таких как поиск подстроки, проще и эффективней использовать другие алгоритмы (например поиск подстроки с помощью [[Префикс-функция | префикс-функции]]). Пусть в результате очередного продления была создана новая внутренняя вершина # При внимательном просмотре видно, что на самом деле алгоритм работает за время <tex>v O(n \cdot |\Sigma|)</tex> с путевой меткой , используя столько же памяти, так как для ответа на запрос о существовании перехода по текущему символу за <tex>t_i ... t_jO(1)</tex>необходимо хранить линейное количество информации от размера алфавита в каждой вершине. Перейдем к следущему шагу текущей фазыПоэтому, если алфавит очень большой требуется чрезмерный объём памяти. Можно сэкономить на котором памяти, храня в дерево каждой вершине только те символы, по которым из неё есть переходы, но тогда поиск перехода будет добавлен суффикс занимать <tex>O(\log |\Sigma|)</tex>t_времени.# Константное время на одну итерацию {i + 1{---}} это амортизированная оценка, в худшем случае одна фаза может выполняться за <tex>O(n)</tex> времени. Например, алгоритм Дэни Бреслауера и Джузеппе Итальяно<ref>[https://books.google.ru/books?id=sGDXz53FwM4C&lpg=PP11&ots=utJ8jnql5h&dq=Dany%20Breslauer%2C%20Giuseppe%20F.%20Italiano%3A%20Near%20Real-Time%20Suffix%20Tree%20Construction%20via%20the%20Fringe%20Marked%20Ancestor%20Problem.&hl=ru&pg=PA156#v=onepage&q&f=false Dany Breslauer, Giuseppe F.Italiano {{---}} Near Real-Time Suffix Tree Construction via the Fringe Marked Ancestor Problem. t_j]</texref> соответствующий вершине , хоть и строит дерево за <tex>uO(n \log \log n)</tex> (возможно до продления суффикс оканчивался на ребре, но на одну итерацию в этом худшем случае по рассуждениям аналогичным Лемме 1 будет создана новая внутрення вершинатратит <tex>O(\log \log n)</tex> времени. По определению суффиксная ссылка из вершины # На сегодняшний день существуют кэш-эффективные алгоритмы, превосходящие алгоритм Укконена на современных процессорах<texref>v[https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CFMQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fprofile%2FYuanyuan_Tian%2Fpublication%2F30848628_Practical_methods_for_constructing_suffix_trees%2Flinks%2F0046352b38e5dc849e000000.pdf&ei=Bh4sVZL8EIausAHujoDoBg&usg=AFQjCNEAr63t7zZnWZPKYIZLjQQInbelSg&sig2=jAPs1IULJvJZt8xwx5PYtA&bvm=bv.90491159,d.bGg&cad=rja Yuanyuan Tian, Sandeep Tata, Richard A. Hankins, Jignesh M. Patel {{---}} Practical methods for constructing suffix trees.]</texref> ведет .# Также алгоритм предполагает, что дерево полностью должно быть загружено в оперативную память. Если же требуется работать с большими размерами данных, то становится не так тривиально модифицировать алгоритм, чтобы он не хранил всё дерево в ней<texref>u[http://arxiv.org/pdf/1012.4074.pdf Woong-Kee Loh, Yang-Sae Moon, Wookey Lee {{---}} A fast divide-and-conquer algorithm for indexing human genome sequences.]</texref>.

=== Использование суффиксных ссылок =См. также==* [[Алгоритм МакКрейта]]* [[Алгоритм Фарача| Алгоритм Фараx-Колтона]]* [[Суффиксный бор]]

== Источник Источники информации ==''* Дэн Гасфилд'' — '''Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология''' — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.* [http://yury.name/internet/01ianote.pdf Юрий Лифшиц {{---}} Построение суффиксного дерева за линейное время.]* [http://e-maxx.ru/algo/ukkonen MAXimal :: algo :: Суффиксное дерево. Алгоритм Укконена]* [http://habrahabr.ru/post/111675/ Habrahabr {{---}} Построение суффиксного дерева: алгоритм Укконена]