Редактирование: Алгоритм Флойда — Уоршалла

== Алгоритм ==

Пусть вершины графа <tex>G=(V,\; E),\; |V| = n</tex> пронумерованы от 1 до <tex>n</tex> и введено обозначение <tex>d_{i j}^{k}</tex> для длины кратчайшего пути от <tex>i</tex> до <tex>j</tex>, который кроме самих вершин <tex>i,\; j</tex> проходит только через вершины <tex>1 \ldots k</tex>(с номерами <tex> \le k </tex>). Очевидно, что <tex>d_{i j}^{0}</tex> — длина (вес) ребра <tex>(i,\;j)</tex>, если таковое существует (в противном случае его длина может быть обозначена как <tex>\infty</tex>)

Существует два варианта значения <tex>d_{i j}^{k},\;k \in \mathbb (1,\;\ldots,\;n)</tex>:

# Кратчайший путь между <tex>i,\;j</tex> не проходит через вершину <tex>k</tex>, тогда <tex>d_{i j}^{k}=d_{i j}^{k-1}</tex>
# Существует более короткий путь между <tex>i,\;j</tex>, проходящий через <tex>k</tex>, тогда он сначала идёт от <tex>i</tex> до <tex>k</tex>, а потом от <tex>k</tex> до <tex>j</tex>. В этом случае, очевидно, <tex>d_{i j}^{k}=d_{i k}^{k-1} + d_{k j}^{k-1}</tex>

Таким образом, для нахождения значения функции достаточно выбрать минимум из двух обозначенных значений.

Тогда рекуррентная формула для <tex>d_{i j}^k</tex> имеет вид:

<tex>d_{i j}^0</tex> — длина ребра <tex>(i,\;j)</tex>

<tex>d_{i j}^{k} = \min (d_{i j}^{k-1},\; d_{i k}^{k-1} + d_{k j}^{k-1})</tex>

Алгоритм Флойда — Уоршелла последовательно вычисляет все значения <tex>d_{i j}^{k}</tex>, <tex>\forall i,\; j</tex> для <tex>k</tex> от 1 до <tex>n</tex>. Полученные значения <tex>d_{i j}^{n}</tex> являются длинами кратчайших путей между вершинами <tex>i,\; j</tex>.

=== Псевдокод ===

На каждом шаге алгоритм генерирует двумерную матрицу <tex>W</tex>, <tex>w_{ij}=d_{i j}^n</tex>. Матрица <tex>W</tex> содержит длины кратчайших путей между всеми вершинами графа. Перед работой алгоритма матрица <tex>W</tex> заполняется длинами рёбер графа.

 for k = 1 to n
   for i = 1 to n
     for j = 1 to n
       W[i][j] = min(W[i][j], W[i][k] + W[k][j])

=== Сложность алгоритма ===
Три вложенных цикла содержат операцию, исполняемую за константное время.
<tex>\sum_{n,\;n,\;n}O(1) = O(n^3),</tex>
то есть алгоритм имеет кубическую сложность, при этом простым расширением можно получить также информацию о кратчайших путях — помимо расстояния между двумя узлами записывать матрицу идентификатор первого узла в пути.

== Применение вариаций алгоритма ==

=== Построение матрицы достижимости ===

Алгоритм Флойда — Уоршелла может быть использован для нахождения замыкания отношения <tex>E</tex> по транзитивности. Для этого в качестве <code>W[0]</code> используется бинарная матрица смежности графа, <tex>({w^0}_{i j})_{n \times n} = 1 \Leftrightarrow (i,\; j) \in E</tex>; оператор <code>min</code> заменяется дизъюнкцией, сложение заменяется конъюнкцией:

 for k = 1 to n
   for i = 1 to n
     for j = 1 to n
       W[i][j] = W[i][j] or (W[i][k] and W[k][j])


После выполнения алгоритма матрица <code>W</code> является матрицей достижимости.

Использование битовых масок при реализации алгоритма позволяет существенно ускорить алгоритм. При этом сложность алгоритма снижается до <tex>O(n^3 / k)</tex>, где <tex>k</tex> - длина битовой маски (в модели вычислений RAM).

== Ссылки ==
* [http://e-maxx.ru/algo/floyd_warshall_algorithm Реализация алгоритма Флойда на С++]
* [http://plagiata.net.ru/?p=57 Реализация алгоритма Флойда на Delphi]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/vis/graph-paths/floyd-warshall-2004/code.jar Визуализатор]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница Википедия — свободная энциклопедия]