Изменения

{{В разработке}}Задача|definition==Алгоритм==:Для заданного взвешенного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа ]] <tex>G = (V, E)</tex> алгоритм находит найти кратчайшие пути из заданной вершины <tex> s </tex> до всех остальных вершин.<br>:В, случае, когда в графе <tex> G </tex> содержатся отрицательные [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|циклы]], достижимые из <tex> s</tex>, алгоритм сообщаетсообщить, что кратчайших путей не существует.}}

:Сначала стоит вспомнить формулу для количества Количество путей длины <tex>k</tex>рёбер можно найти с помощью метода [[Динамическое_программирование|динамического программирования]].<br>::Пусть <tex> d[k][u] = \sum\limits_</tex> {{v : vu \; \in E---}} d[количество путей длины <tex>k-1][v] </tex>:Теперь перепишем ее для пути кратчайшей длины. рёбер, заканчивающихся в вершине <tex>su</tex> {{---}} стартовая вершина.::Тогда <tex> d[k][u] = \minsum\limits_{v : vu \; \in E}( d[k-1][v] \: + \: \omega[uv])</tex>, при этом <tex>d[0][s] = 0</tex>, а <tex>d[0][u] = +\infty </tex>.

|statement=Если существует кратчайший путь от <tex>s</tex> до <tex>t</tex>,<br> то <tex> \rho(s, \, t) \: = \: \min\limits_{k = 0..n-1} d[k][t]</tex>|proof=:Пусть кратчайший путь состоит из <tex>k</tex> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.<br>

:Используя приведенные формулы, алгоритм можно реализовать методом динамического программирования.

'''for''' k = 0 '''to''' <tex>(k = 0 \; .. \; n|V| -2)</tex> <font color="green">// вершины нумеруются с единицы</font> '''for''' <tex>(v \in V)</tex> '''for''' <tex>(u : vu \; , v) \in E)</tex> <tex> d[k+1][uv] \gets \= min(d[k + 1][uv], \; d[k][vu] + <tex>\omega(uvu, v)</tex>) <font color="green">// <tex>\omega(u, v)</tex> {{---}} вес ребра uv</font>

:Также релаксацию можно свести к одномерному случаю (одномерный , если не хранить длину пути в рёбрах. Одномерный массив будем обозначать <tex>d'</tex>)::, тогда <tex>d'[u] \gets = \min(d'[u], \; d'[v] + \omega(vu))</tex>

|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> — взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — стартовая вершина.<br>Тогда после завершения <tex>k</tex> итераций цикла <tex>\mathrm{for(k)}</tex> выполняется неравенство <tex> \rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex>.|proof=: Воспользуемся индукцией по <tex>k</tex>:

: '''База индукции.''' :При <tex>k = 0</tex> выполнено: <tex>\rho(s, u) \leqslant +\infty \leqslant +\infty </tex>: '''Индукционный переход.'''::Сначала докажем, что <tex> \rho(s, u) \leqslant d'[u]</tex>.::Пусть после <tex>k - 1 </tex> итерации выполняется <tex>\rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i=0..n-1} d[i][u]</tex> для всех <tex>u</tex>.::Тогда после <tex>k</tex> итераций <tex> \rho(s, v) = \min\limits_{u \in V} (\rho(s, u) + \omega(uv)) \leqslant \min\limits_{u \in V} (d'[u] + \omega(uv)) = d'[v]</tex>.

:Таким образом переход выполнен и <tex>\rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex> выполняется.<br>

'''Bellman_Ford(G, s)''' '''for''' для каждой <tex>v \in V</tex> <tex> d[v] \leftarrow \mathcal {1} </tex> <tex>d[s] \leftarrow 0 </tex> '''for''' <tex> i \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> \mid V \mid - 1 </tex> '''for''' для каждого ребра <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' <tex>d[v] > d[u] + \omega(u, v) </tex> '''then''' <tex>d[v] \leftarrow d[u] + \omega(u, v)</tex> '''for''' для каждого ребра <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' <tex>d[v] > d[u] + \omega(u, v) </tex> '''then''' '''return''' <tex> \mathit false</tex> '''return''' <tex> \mathit true </tex>  :В этом алгоритме используется релаксация, в результате которой <tex>d[v]</tex> уменьшается до тех пор, пока не станет равным <tex>\delta(s, v)</tex>. <br>:<tex>d[v]</tex> {{--- }} оценка веса кратчайшего пути из вершины <tex>s</tex> в каждую вершину <tex>v \in V</tex>.<br>:<tex>\delta(s, v)</tex> {{--- }} фактический вес кратчайшего пути из <tex>s</tex> в вершину <tex>v</tex>.

|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> — {{---}} взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — {{---}} стартовая вершина.<br>Тогда после завершения <tex> \mid |V \mid | - 1 </tex> итераций цикла для всех вершин, достижимых из <tex>s</tex>, выполняется равенство <tex> d[v] = \delta (s, v) </tex>.|proof=:Рассмотрим произвольную вершину <tex>v</tex>, достижимую из <tex>s</tex>.Пусть <tex>p = \langle v_0,..., v_{k} \rangle </tex>, где <tex>v_0 = s</tex>, <tex>v_{k} = v</tex> {{---}} кратчайший ациклический путь из <tex> s </tex> в <tex> v </tex>. Путь <tex> p </tex> содержит не более <tex> |V| - 1 </tex> ребер. Поэтому <tex>k \leqslant |V| - 1</tex>.

'''База индукции''':Перед первой итерацией утверждение очевидно выполнено:Пусть <tex>p d[v_0] = d[s] = \langle v_0delta(s,..., v_{s) = 0</tex>'''Индукционный переход''':Пусть после <tex>n : (n < k} \rangle )</tex>итераций, где верно что <tex>v_0 d[v_n] = \delta(s, v_n)</tex>, . Так как <tex>(v_n, v_{kn + 1} = v)</tex> — кратчайший ациклический путь из принадлежит кратчайшему пути от <tex> s </tex> в до <tex> v </tex>, то <tex>\delta(s, v_{n+1}) = \delta(s, v_n) + \omega(v_n, v_{n + 1})</tex>.Во время <brtex>:Путь l + 1</tex> итерации релаксируется ребро <tex> p (v_n,v_{n+1})</tex> содержит не более , следовательно по завершению итерации будет выполнено::<tex> d[v_{n+1}] \leqslant d[v_n] + \omega(v_n, v_{n+1}) = \mid V delta(s, v_n) + \mid - omega(v_n, v_{n+1 }) = \delta(s, v_{n+1})</tex> ребер. Поэтому :Ясно, что <tex>k d[v_{n+1}] \le geqslant \mid V delta(s, v_{n+1}) </tex>, поэтому верно что после <tex>l + 1</tex> итерации <tex>d[v_{n+1}] = \mid - delta(s, v_{n + 1})</tex>. :Индукционный переход доказан.

: Докажем следующее утверждение: {{Теорема:: После |statement=Пусть <tex>n : G = (n \le kV, E)</tex> итераций первого цикла алгоритма{{---}} взвешенный ориентированный граф, <tex>d[v_n] = \delta(s, v_n) </tex>: Воспользуемся индукцией по {{---}} стартовая вершина. Если граф <tex>nG </tex>:: '''База индукции.''' Перед первой итерацией утверждение очевидно выполнено: не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex>d[v_0] = d[s] = \delta(s, s) = 0</tex>: '''Индукционный переход.''' Пусть после , то алгоритм возвращает <tex>n : (n < k)true </tex> итераций, верно что и для всех <tex>v \in V \ d[v_nv] = \delta(s, v_nv)</tex>. Так как Если граф <tex>(v_n, v_{n + 1})G </tex> принадлежит кратчайшему пути от содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины <tex>s</tex> до <tex>v</tex>, то алгоритм возвращает <tex>\delta(s, v_{n+1}) = \delta(s, v_n) + \omega(v_n, v_{n + 1})false </tex>. Во время <tex>l + 1</tex> итерации релаксируется ребро <tex>(v_n,v_{n+1})</tex>, следовательно по завершению итерации будет выполнено::<tex>d[v_{n+1}] \le d[v_n] + \omega(v_n, v_{n+1}) |proof= \delta(s, v_n) + \omega(v_n, v_{n+1}) = \delta(s, v_{n+1})Пусть граф </tex>.: Ясно, что <tex>d[v_{n+1}] \ge \delta(s, v_{n+1}) G </tex>не содержит отрицательных циклов, поэтому верно что после <tex>l + 1</tex> итерации достижимых из вершины <tex>d[v_{n+1}] = \delta(s, v_{n + 1})</tex>. : Индукционный переход доказан.

: ИтакТеперь докажем, выполнены равенства <tex>d[v] = d[v_{k}] = \delta (s, v_{k}) = \delta (s, v)</tex>.<br>}}  {{Теорема|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> - взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — стартовая вершина.<br>Если граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>, то что алгоритм возвращает вернет значение <tex> true </tex> и для всех <tex> v \in V \ d[v] = \delta (s, v)</tex>.<br>Если граф <tex> G </tex> содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> false </tex>|proof=:Пусть граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>.<br>:Тогда если вершина <tex> v </tex> достижима из <tex> s </tex>, то по лемме <tex> d[v] = \delta (s, v)</tex>.<br>:Если вершина <tex> v </tex> не достижима из <tex> s </tex>, то <tex> d[v] = \delta (s, v) = \mathcal {1}</tex> из несуществования пути.

:Теперь докажем, что алгоритм вернет значение Пусть граф <tex> true G </tex>содержит отрицательный цикл <tex> c = {v_0,...,v_{k}} <br/tex>:После выполнения алгоритма верно, что для всех где <tex> v_0 = v_{k} </tex> (u, v) \in E, \ d[v] = \delta (достижимый из вершины <tex> s, v) </tex>. Тогда <tex>\leqslant sum\delta (s, u) + \omega (u,v) limits_{i= d[u] + 1}^{k} {\omega (uv_{i-1},vv_{i})} </tex>, значит ни одна из проверок не вернет значения <tex> false 0 </tex>.

:Пусть граф <tex> G </tex> содержит отрицательный цикл <tex> c = {v_0,...,v_{k}} </tex>, где <tex> v_0 = v_{k} </tex>, достижимый из вершины <tex> s </tex>.<br>:Тогда <tex>\sum\limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} < 0 </tex>.<br>:Предположим, что алгоритм возвращает <tex> true </tex>, тогда для <tex> i = 1,...,k </tex> выполняется <tex> d[v_{i}] \leqslant d[v_{i-1}] + \omega (v_{i-1}, v_{i}) </tex>.<br>:Просуммируем эти неравенства по всему циклу: <tex>\sum\limits_{i=1}^{k} {d[v_{i}]} \leqslant \sum\limits_{i=1}^{k} {d[v_{i-1}]} + \sum\limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} </tex>.<br>:Из того, что <tex> v_0 = v_{k} </tex> следует, что <tex> \sum\limits^{k}_{i=1} {d[v_{i}]} = \sum \limits_{i=1}^{k} {d[v_{i - 1}]} </tex>.

:Получили, что <tex> \sum \limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} \ge geqslant 0 </tex>, что противоречит отрицательности цикла <tex> c </tex>.

:Инициализация занимает <tex> \Theta (V) </tex> времени, каждый из <tex> \mid |V \mid | - 1 </tex> проходов требует <tex> \Theta (E) </tex> времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает <tex>O(E)</tex> времени.<br>Итого Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за <tex>O(V E)</tex> времени.

:Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно сохранять массив вершин хранить вершины, из которых производится релаксация. Тогда, если  Если после <tex> \mid |V \mid | - 1 </tex> итерации найдется вершина <tex> v </tex>, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно <tex>\mid |V \mid | - 1</tex> раз пройти назад по предкам из вершины <tex> v </tex>. Так как наибольшая длина пути в графе из <tex>\mid |V \mid|</tex> вершин равна <tex>\mid |V \mid | - 1</tex>, то полученная вершина <tex> u </tex> будет гарантированно лежать на отрицательном цикле. Теперь Зная, зная что вершина <tex> u </tex> лежит на цикле отрицательного веса, можно пройти из нее восстанавливать путь по предкамсохраненным вершинам до тех пор, пока не придем в эту встретится та же вершину вершина <tex> u </tex>, а это . Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.

'''Neg_Cycleint[]''' negativeCycle(G, s)''':''' '''for''' для каждой <tex>v \in V</tex> <tex> d[v] \leftarrow = <tex>\mathcal {1} </tex> <tex> p[v] \leftarrow = -1 </tex> <tex> d[s] \leftarrow = 0 </tex> '''for''' <tex> i \leftarrow = 1 </tex> '''to''' <tex> \mid |V \mid | - 1 </tex> '''for''' для каждого ребра <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' <tex>d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v) </tex> '''then''' <tex> d[v] \leftarrow = d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> <tex> p[v] \leftarrow p[= u]</tex> '''for''' для каждого ребра <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' <tex>d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> '''then''' '''for''' <tex> i \leftarrow 1 </tex> = 0 '''to''' <tex> \mid |V \mid | - 1 </tex> <tex> v \leftarrow = p[v]</tex> <tex> u \leftarrow = v</tex> '''while''' <tex> u \neq != p[v]</tex> <tex> ans.add(v) <font color="green">// добавим вершину к ответу</texfont> <tex> v \leftarrow = p[v]</tex> <tex> reverse(ans)</tex> '''break''' '''return''' <tex> ans </tex>

== Источники информации ==:* Томас Х. Кормен, ТЧарльз И., Лейзерсон, ЧРональд Л., Ривест, Р., Клиффорд Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ / пер. с англ. — изд. 2-е изд — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — с.672 — 676. — ISBN 978-5-8459-0857-5.:* [http://e-maxx.ru/algo/export_ford_bellman ford_bellman MAXimal :: algo :: Алгоритм Форда-Беллмана]