Изменения

<tex>E' =\{(s, u): u \in L\} \cup \{(u, v): u \in L, v \in R\ , (u, v) \in E\} \cup \{(v, t): v \in R\} </tex>.{|align=Алгоритм="center" |-valign="center" |[[Файл:GrafG.png|thumb|200px|Пример графа <tex>G</tex>.]]Пусть дан двудольный |[[Файл:GrafG2.png|thumb|200px|Соответствующий граф <tex>G(V'</tex>.]] |}Изначально текущее паросочетание пусто. На каждом шаге алгоритма будем поддерживать следующий инвариант: в текущее найденное паросочетание входят те и только те ребра, E)которые направлены из <tex>R</tex> и требуется найти максимальное паросочетание в нём<tex>L</tex>. Преобразуем его # Ищем в граф графе <tex>G'</tex> путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|поиском в глубину]]. # Если путь найден, перезаписываем текущее паросочетание. Далее инвертируем все рёбра на пути (ребро <tex>(u, v)</tex> становится ребром <tex>(V'v, u)</tex> ) и удаляем <tex>(s, L)</tex> и <tex>(R, E't)</tex> следующим образом ребра, покрывающие вершины, принадлежащие текущему паросочетанию.# Если путь не был найден, значит текущее паросочетание является максимальным, и алгоритм завершает работу. Иначе переходим к пункту 1.

<tex>V' = V \cup \{s, t\}</tex>=Корректность алгоритма==

Обазначим доли Обозначим как <tex>p'</tex> путь <tex>p</tex> из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> без первого и последнего ребра. Пусть онявляется дополняющей цепью для исходного графа как <tex>LG</tex> , и пусть также существование дополняющей цепи в графе <tex>RG</tex>. Тогда приводит к существованию пути <tex>Ep' = {(s,u)</tex>. Тогда из [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|теоремы]]: u \in L} \cup {(uесли мы на каком-то шаге можем найти новый путь, v): u \in Lт.е дополняющую цепь, v \in R} \cup {(vто мы увеличиваем текущее паросочетание. Если путь найти мы уже не можем, t): v \in R} </tex>значит дополняющих цепей в графе нет и текущее паросочетание — искомое. Осталось доказать что сделанное предположение действительно верно.

1Т. к. <tex>p'</tex> — путь в двудольном графе, начинающийся в <tex>L</tex> и заканчивающийся в <tex>R</tex>, то он нечетной длины. Вершины в нем не повторяются (т.к. это путь в дереве поиска в глубину) Будем искать . Рассмотрим текущее паросочетание. Согласно поддерживаемому инварианту <tex>(R,L)</tex>-ребра в паросочетании, а <tex>(L,R)</tex>-ребра {{---}} нет. В таком случае ребра пути <tex>p'</tex> можно пронумеровать так, чтобы нечетные ребра были свободными, а четные — покрытыми ребрами текущего паросочетания. Заметим, что путь может начинаться и заканчиваться только в свободной вершине, т. к. из <tex>s</tex> ведут ребра только в свободные вершины и только из свободных вершин ведут ребра в <tex>t</tex> поиском в глубину. Итак, теперь ясно, что <tex>p'</tex> — дополняющая цепь для графа <tex>G</tex>.

2Обратно, пусть существует дополняющая цепь в графе <tex>G</tex>. В одной из ориентаций она начинается в какой-то свободной вершине <tex>u \in L\</tex> и заканчивается в свободной вершине <tex>v \in R\</tex>, далее будем рассматривать именно эту ориентацию. Ребра поочередно то не лежат, то лежат в паросочетании, значит в нашей ориентации эти ребра поочередно ориентированы то <tex>(L, R) Если путь найден</tex>, то <tex>(R, инвертируем все ребра L)</tex>. Заметим что эта ориентация совпадает с ориентацией ребер на пути, а значит в нашем ориентированом графе существует путь из свободной вершины <tex>u \in L</tex> в свободную вершину <tex>v \in R</tex>. Нo каждая свободная вершина из <tex>L</tex> связана ребром с <tex>s</tex> в графе <tex>G'</tex>, аналогично каждая свободная вершина из <tex>R</tex> связана ребром с <tex>t</tex>. Не сложно заметить, что, в таком случае, <tex>t</tex> достижим из <tex>s</tex>, а значит в процессе поиска в глубину будет найден некий <tex>s \rightarrow t</tex> путь <tex>p</tex> и соответствующий ему <tex>p'</tex>.

3) Если путь не был найден, значит текущее паросочетание является максимальным и алгоритм завершает работуУтверждение доказано. Иначе переходим к пункту 1)

bool '''dfs'''(x) '''if''' vis* <tex>px[x] return false vis[x] = true '''for''' </tex> {{---}} массив вершин <tex>y \in R</tex>, инцидентные <tex>xy x_i \in EL</tex>в текущем паросочетании, '''if''' * <tex>py[y] = </tex> {{---1 py[y] = }} массив вершин <tex>x\in L</tex>, инцидентные <tex>y_i \in R</tex> в текущем паросочетании, px* <tex>vis[x] = y</tex> {{---}} массив, где помечаются посещенные вершины. return true '''else''' if dfsМаксимальное паросочетание {{---}} такие ребра <tex>(py4w[x, y]) py[</tex>, что <tex>x \in L, y] = x \in R, px[x] = y return true return false</tex>.

pxПоиск в глубину, одновременно инвертирующий ребра: '''bool''' dfs(x)''':''' '''if''' vis[x] '''return''' ''false'' vis[x] = ''true'' '''for''' <tex>(x, y) \in E</tex> '''if''' py[y] == -1 py[y] = x px[x] = y '''return''' ''true'' '''else''' '''if''' dfs(py[y]) py[y] = x px[x] = y '''return''' ''true'' '''return''' ''false'' Инициализация и внешний цикл: '''func''' fordFulkerson()''':''' fill(px, -1) fill(py, -1) isPath = ''true'' '''while''' (changed)isPath changed isPath = ''false'' fill(vis[] = , ''false'') '''for''' для каждой <tex>x \in L</tex> '''if''' (px[x] == -1) '''if''' dfs(x) changed isPath = ''true'' ==См. также==* [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях|Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]]* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину]] ==Источники информации==* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн {{---}} "Алгоритмы: построение и анализ", 2-е издание, стр. 758 - 761. [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Задача о паросочетании]]