Изменения

Пусть дан [[Основные определения теории графов|неориентированный двудольный граф ]] <tex>G(V, E)</tex> и требуется найти [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]] в нём. Обозначим доли исходного графа как [[Файл:GrafG.png|thumb|200px|right|пример графа G]][[Файл:GrafG2.png|thumb|200px|right|соответствующий граф G']]

{|align="center" |-valign="center" |[[Файл:GrafG.png|thumb|200px|Пример графа <tex>G</tex>.]] |[[Файл:GrafG2.png|thumb|200px|Соответствующий граф <tex>G'</tex>.]] |}Изначально максимальное текущее паросочетание пусто. На каждом шаге алгоритма будем поддерживать следующий инвариант: в него текущее найденное паросочетание входят те и только те ребра, ведущие которые направлены из <tex>LR</tex> в <tex>RL</tex>.# Ищем в графе <tex>G'</tex> путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|поиском в глубину]]. # Если путь найден, перезаписываем текущее паросочетание. Теперь Далее инвертируем все рёбра на пути (ребро <tex>(u, v)</tex> становится ребром <tex>(v, u)</tex> ) и удаляем <tex>(s, L)</tex> и <tex>(R, t)</tex> ребра, покрывающие вершины, принадлежащие текущему паросочетанию.

Обозначим как <tex>p'</tex> путь <tex>p</tex> из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> без первого и последнего ребра. Пусть онявляется дополняющей цепью для исходного графа <tex>G</tex>, и пусть также существование дополняющей цепи в графе <tex>G</tex> приводит к существованию пути <tex>p'</tex>. Тогда из [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|теоремы]] - : если мы на каждом каком-то шаге можем найти новый путь, т.е. находим новую дополняющую цепь, то мы увеличиваем текущее паросочетание. Если путь найти мы уже не можем, то значит дополняющих цепей в графе нет и текущее паросочетание - — искомое. Осталось доказать, что путь <tex>p'</tex> сделанное предположение действительно является дополняющей цепьюверно.

Т.к. <tex>p'</tex> - — путь в двудольном графе, начинающийся в <tex>L</tex> и заканчивающийся в <tex>R</tex>, то он нечетной длины, . Вершины в котором вершины нем не повторяются (т.к. этот это путь строится с помощью в дереве поиска в глубину). Рассмотрим текущее паросочетание. Согласно поддерживаемому инварианту <tex>(R,L)</tex>-ребра в паросочетании, а <tex>(L,R)</tex>-ребра {{---}} нет. В таком случае его ребра пути <tex>p'</tex> можно пронумеровать так, чтобы нечетные ребра были свободными, а четные - — покрытымиребрами текущего паросочетания. Заметим, что путь может начинаться и заканчиваться только в свободной вершине, т.ек. из <tex>s</tex> ведут ребра только в свободные вершины и только из свободных вершин ведут ребра в <tex>t</tex>. Итак, теперь ясно, что <tex>p'</tex> — дополняющая цепь для графа <tex>G</tex>. Обратно, пусть существует дополняющая цепь в графе <tex>G</tex>. В одной из ориентаций она начинается в какой-то свободной вершине <tex>u \in L\</tex> и заканчивается в свободной вершине <tex>v \in R\</tex> включаем , далее будем рассматривать именно эту ориентацию. Ребра поочередно то не лежат, то лежат в паросочетании, значит в паросочетание нашей ориентации эти ребра поочередно ориентированы то <tex>(L, R)</tex>, то <tex>(что соответствует инварианту его построенияR,L)</tex>. Тогда этот Заметим что эта ориентация совпадает с ориентацией ребер на пути, а значит в нашем ориентированом графе существует путь - дополняющая цепь для графа из свободной вершины <tex>u \in L</tex> в свободную вершину <tex>v \in R</tex>. Нo каждая свободная вершина из <tex>L</tex> связана ребром с <tex>s</tex> в графе <tex>G'</tex>, алгоритм корректенаналогично каждая свободная вершина из <tex>R</tex> связана ребром с <tex>t</tex>. Не сложно заметить, что, в таком случае, <tex>t</tex> достижим из <tex>s</tex>, а значит в процессе поиска в глубину будет найден некий <tex>s \rightarrow t</tex> путь <tex>p</tex> и соответствующий ему <tex>p'</tex>. Утверждение доказано.

В массиве <tex>px</tex> хранятся вершины <tex>y \in R</tex>, инцидентные <tex>x_i \in L</tex> в текущем паросочетании, для <tex>py</tex> аналогично.Максимальное паросочетание - такие ребра <tex>(x, y)</tex>, что <tex>x \in L, y \in R, px[x] == y</tex>См. bool '''dfs'''(x) '''if''' vis[x] return false vis[x] также== true '''for''' <tex>xy \in E</tex> '''if''' py* [y] = -1 py[yТеорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях|Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях] = x px[x] = y return true '''else''' if dfs(py* [y]) py[yАлгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину] = x px[x] = y return true return false

px[] = -1 py[] = -1 is_path Источники информации= true; '''while''' (is_path) is_path = false vis[] = false '''for''' <tex>x \in L</tex> '''if''' (px[x] == * Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн {{---}} "Алгоритмы: построение и анализ", 2-е издание, стр. 758 -1) '''if''' dfs(x) is_path = true761.