Алгоритм Хаффмана для n ичной системы счисления — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
 
Для построения <tex>n</tex>-ичного кода Хаффмана надо использовать операцию сжатия алфавита, при которой каждый раз сливаются не две, а <tex>n</tex> букв исходного алфавита, имеющих наименьшие вероятности.Сжатие алфавита, при котором <tex>n</tex>  букв заменяются на одну, приводит к уменьшению числа букв на <tex>n-1</tex>; так как для построения <tex>n</tex>-ичного кода, очевидно, требуется, чтобы последовательность сжатий в конце концов привела нас к алфавиту из <tex>n</tex>  букв (сопоставляемых <tex>n</tex>  сигналам кода), то необходимо, чтобы число <tex>m</tex>  букв первоначального алфавита было представимо в виде <tex>m = n + k(n - 1)</tex> ,<tex>k \in \mathbb{Z}</tex>. Этого, однако, всегда можно добиться, добавив, если нужно, к первоначальному алфавиту еще несколько фиктивных букв, вероятности которых считаются равными нулю. После этого построение <tex>n</tex>-ичного кода Хаффмана проводится уже точно так же, как и в случае двоичного кода.
 
Для построения <tex>n</tex>-ичного кода Хаффмана надо использовать операцию сжатия алфавита, при которой каждый раз сливаются не две, а <tex>n</tex> букв исходного алфавита, имеющих наименьшие вероятности.Сжатие алфавита, при котором <tex>n</tex>  букв заменяются на одну, приводит к уменьшению числа букв на <tex>n-1</tex>; так как для построения <tex>n</tex>-ичного кода, очевидно, требуется, чтобы последовательность сжатий в конце концов привела нас к алфавиту из <tex>n</tex>  букв (сопоставляемых <tex>n</tex>  сигналам кода), то необходимо, чтобы число <tex>m</tex>  букв первоначального алфавита было представимо в виде <tex>m = n + k(n - 1)</tex> ,<tex>k \in \mathbb{Z}</tex>. Этого, однако, всегда можно добиться, добавив, если нужно, к первоначальному алфавиту еще несколько фиктивных букв, вероятности которых считаются равными нулю. После этого построение <tex>n</tex>-ичного кода Хаффмана проводится уже точно так же, как и в случае двоичного кода.

Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022

Алгоритм

Для построения [math]n[/math]-ичного кода Хаффмана надо использовать операцию сжатия алфавита, при которой каждый раз сливаются не две, а [math]n[/math] букв исходного алфавита, имеющих наименьшие вероятности.Сжатие алфавита, при котором [math]n[/math] букв заменяются на одну, приводит к уменьшению числа букв на [math]n-1[/math]; так как для построения [math]n[/math]-ичного кода, очевидно, требуется, чтобы последовательность сжатий в конце концов привела нас к алфавиту из [math]n[/math] букв (сопоставляемых [math]n[/math] сигналам кода), то необходимо, чтобы число [math]m[/math] букв первоначального алфавита было представимо в виде [math]m = n + k(n - 1)[/math] ,[math]k \in \mathbb{Z}[/math]. Этого, однако, всегда можно добиться, добавив, если нужно, к первоначальному алфавиту еще несколько фиктивных букв, вероятности которых считаются равными нулю. После этого построение [math]n[/math]-ичного кода Хаффмана проводится уже точно так же, как и в случае двоичного кода.

Пример

Для примера возьмём слово "кириллица".Возьмем [math]n=3[/math] (троичная система счисления).Алфавит будет [math]A= \{[/math] к, и, р, л, ц, а [math]\} [/math], а набор весов [math]W=\{1, 3, 1, 2, 1, 1\}[/math]. Будем действовать согласно алгоритму выше;у нас число букв первоначального алфавита [math]m[/math] равно 6.Если подставить значения [math]n[/math] и [math]m[/math] в формулу для оптимального кодирования [math]m = n + k(n - 1)[/math] ,то получится что [math]k[/math] не является целым.Но если увеличить число [math]m[/math] на 1 (добавлением фиктивной буквы "я" с весом 0) , то можно подобрать целое [math]k[/math] равное 2. Таким образом можно записать:

Узел к и р л ц а я
Вес 1 3 1 2 1 1 0

По алгоритму возьмем три символа с наименьшей частотой — это я,к,р. Сформируем из них новый узел якр весом 2 и добавим его к списку узлов:

Узел якр и л ц а
Вес 2 3 2 1 1

Затем объединим в один узел узлы л,ц,а:

Узел якр и лца
Вес 2 3 4

И, наконец, объединяем три узла якр,и,лца. Итак, мы получили дерево Хаффмана и соответствующую ему таблицу кодов:

Символ к и р л ц а я
Код +- - +0 00 0+ 0- ++

Таким образом, закодированное слово "кириллица" будет выглядеть как "+--+0-0000-0+0-". Длина закодированного слова — 15 бит. Стоит заметить, что если бы мы использовали для кодирования каждого символа из шести по 2 бита, длина закодированного слова составила бы 18 бит.

Корректность алгоритма Хаффмана для [math]n[/math]-ичной системы счисления

Доказательство аналогично тому,что представлено в теме алгоритм Хаффмана.Только вместо двух символом с минимальными частотами надо брать [math]n[/math] символов с минимальными частотами (по алгоритму вес символа также может равняться 0).

Задача о подсчете числа бит

Имеются частоты символов,встречающихся в исходном тексте.Необходимо подсчитать суммарное число бит,необходимое для кодирования этого текста.

Возьмем [math]\mathrm{sum = 0}[/math]. На каждом шаге выбираем две наименьшие частоты,объединяем их сумму в одну частоту и добавляем в список вместо двух исходных.Новую частоту прибавляем к [math]\mathrm{sum}[/math] с присваиванием.Шаги заканчиваются тогда,когда в списке останется только одна частота.

В-итоге, [math]\mathrm{sum}[/math] - число бит необходимое для кодирования этого текста

Сложность алгоритма [math]O(n^2)[/math].

Псевдокод алгоритма:

     int [math]\mathrm{a[1..n]}[/math]      //исходный массив частот всех n символов,встречающихся в тексте"
     [math]\mathrm{sum}[/math] = 0
     do
       for [math]\mathrm{i}[/math] = 1..[math]\mathrm{n}[/math]
          find([math]\mathrm{min1}[/math],[math]\mathrm{min2}[/math])          //отыскиваем индексы двух минимальных элементов массива
       swap([math]\mathrm{a}[/math][1],[math]\mathrm{a}[/math][min1])         
       swap([math]\mathrm{a}[/math][2],[math]\mathrm{a}[/math][min2])         //теперь первые два элемента массива минимальные
       [math]\mathrm{a}[/math][2] = [math]\mathrm{a}[/math][1] + [math]\mathrm{a}[/math][2]
       [math]\mathrm{sum}[/math] += [math]\mathrm{a}[/math][2]
       [math]\mathrm{n}[/math]--
       delete([math]\mathrm{a}[/math][1])          //убираем из массива ненужный элемент и больше его не рассматриваем 
     while [math]\mathrm{n}[/math] != 1               //пока не останется одна частота в массиве
     return [math]\mathrm{sum}[/math]

Построение кода Хаффмана

€В приведенном ниже псевдокоде предполагается,что [math]C[/math] - множество,состоящее из [math]n[/math] символов,и что каждый из символов [math]c \in C[/math] - объект с определенной частотой [math]f(c)[/math].В алгоритме строится оптимальное дерево [math]T[/math],соответствующее оптимальному коду,причем построение идет в восходящем направлении.Процесс построения начинается с множества,состоящего из [math]|C|[/math] листьев,после чего последовательно выполняется [math]|C|-1[/math] операций "слияния",в результате,которых образуется конечное дерево.

  HUFFMAN([math]C[/math])
  struct Node //Звено дерева
       int  [math]\mathrm{key}[/math], char [math]\mathrm{value}[/math]   //пара ключ и значение   
       Node *left,*right
  [math]\mathrm{n}[/math] = [math]\mathrm{|C|}[/math]
  queue <char> [math]\mathrm{Q}[/math]
  char [math]\mathrm{c}[/math][[math]\mathrm{n}[/math]] , int [math]\mathrm{f}[/math][[math]\mathrm{n}[/math]]     //массив c содержит алфавит из n различных символов,массив f - соответствующий ему набор положительных целых весов.
  for [math]\mathrm{i}[/math] = 1 to [math]\mathrm{n}[/math]
           [math]\mathrm{Q}[/math].insert([math]\mathrm{f}[/math][[math]\mathrm{i}[/math]],[math]\mathrm{c}[/math][[math]\mathrm{i}[/math]])
  for [math]\mathrm{i}[/math] = 1 to [math]\mathrm{n}[/math] - 1   
           ([math]\mathrm{min1}[/math],[math]\mathrm{x}[/math]) = [math]\mathrm{Q}[/math].extract_min() 
            [math]\mathrm{z}[/math].left = [math]\mathrm{x}[/math]                     
           ([math]\mathrm{min2}[/math],[math]\mathrm{y}[/math]) = [math]\mathrm{Q}[/math].extract_min()
            [math]\mathrm{z}[/math].right = [math]\mathrm{y}[/math]
            [math]\mathrm{sum}[/math] = [math]\mathrm{min1}[/math] + [math]\mathrm{min2}[/math]
           [math]\mathrm{Q}[/math].insert([math]\mathrm{sum}[/math],[math]\mathrm{z}[/math])
  return [math]\mathrm{z}[/math]            


Алгоритм работает за [math] {O(n\log{n}}) [/math] для алфавита из [math]\mathrm{n}[/math] символов.