Изменения
→Запрос
<tex>T</tex> {{---}} входное дерево с <tex>n</tex> вершинами. Для него нужно отвечать на запросы <tex>LCA</tex>.<br>
<tex>B</tex> {{---}} полное [[Дерево поиска, наивная реализация|двоичное дерево]] с не менее, чем <tex>n</tex> вершинами. Будет введено и объяснено дальше.<br>
<tex>u \in S(v)</tex> {{---}} вершина <tex>u</tex> находится в поддереве поддерево вершины <tex>v</tex>. Здесь и далее считаем, что вершина является и своим предком, и своим потомком.<br>
<tex>v</tex> ''выше'' <tex>u</tex> {{---}} то же самое, что <tex>u \in S(v)</tex>. Корень выше любой вершины.
Перенумеруем вершины в порядке [[Дерево поиска, наивная реализация|префиксного обхода дерева: сначала обрабатывается текущая вершина, затем {{---}} поддеревья.Пусть <tex>\operatorname{preOrder} : V \to \mathbb{N}</tex> {{---}} такой порядок обхода]]. Обозначим за <tex>\operatorname{size} v</tex> количество вершин в поддереве вершины <tex>v</tex>.
{{Утверждение
<tex>\operatorname{preOrder} u \in [\operatorname{preOrder} v; \operatorname{preOrder}v + \operatorname{size} v - 1]</tex>
|proof=
По определению <tex>\operatorname{preOrder}</tex>, : <tex>\operatorname{preOrder} u</tex> вершин из поддерева <tex>v</tex> образуют
отрезок натуральных чисел длиной <tex>\operatorname{size} v - 1</tex>. Так как этот отрезок начинается с
<tex>\operatorname{preOrder}v + 1</tex>, то <tex>\operatorname{preOrder} u</tex> лежит в отрезке <tex>[\operatorname{preOrder} v; \operatorname{preOrder} v + \operatorname{size} v - 1]</tex>.
|proof=
Посмотрим на <tex>A = (\operatorname{preOrder} v - 1) \oplus (\operatorname{preOrder} v + \operatorname{size} v - 1)</tex>.
Посмотрим на позицию самго самого значимого единичного бита <tex>l</tex> в <tex>A</tex>.
Так как в <tex>\operatorname{preOrder} v - 1</tex> там еще <tex>0</tex>, а в <tex>\operatorname{preOrder} v + \operatorname{size} v - 1</tex> {{---}} уже единица, то в отрезке <tex>[\operatorname{preOrder} v; \operatorname{preOrder} v + \operatorname{size} v]</tex> есть число, кратное <tex>2^l</tex>.
==Обработка запроса==
Пусть <tex>x</tex>, <tex>y</tex> {{---}} вершины в исходном дереве <tex>LCA</tex> которых необходимо найти. Если <tex>\operatorname{inlabel} x = \operatorname{inlabel} y</tex>, то они принадлежат одному простому пути, а следовательно ответом на запрос является <tex>x</tex>, если <tex>\operatorname{level} x \le leqslant \operatorname{level} y</tex>, и <tex>y</tex>, в противном случае. Теперь рассмотрим случай, когда <tex>\operatorname{inlabel} x \ne \operatorname{inlabel} y</tex>, то есть <tex>x</tex> и <tex>y</tex> принадлежат разным простым путям.
{{Утверждение
|statement=Следующие вычисления позволяют найти <tex>\operatorname{inlabel} LCA(x,y)</tex>:
#<tex>i \leftarrow = \lfloor\log_2 (\operatorname{inlabel} x \oplus \operatorname{inlabel} y)\rfloor</tex>#<tex>path \leftarrow = 2^i \lfloor\dfrac{(\operatorname{ascendant} x) \wedge (\operatorname{ascendant} y)}{2^i}\rfloor</tex>#<tex>\operatorname{inlabel} LCA(x, y) \leftarrow = \lfloor\dfrac12(path \oplus (path - 1))\rfloor + 1</tex>
|proof=<tex>\operatorname{inlabel} x</tex> и <tex>\operatorname{inlabel} y</tex> {{---}} вершины в <tex>B</tex>. Биты в их записи задают задают их местоположение в дереве.
Ноль {{---}} спуститься влево, единица {{---}} спуститься вправо или остаться здесь. Значит, наиболее значимый бит побитового исключающего или их номеров даст глубину, на которой пути до этих вершин начинают расходиться. Это и хранится в <tex>i</tex>.
==Оценка сложности==
===Построение===
Подсчет каждого из массивов <tex> \operatorname{inlabel} </tex> и <tex> \operatorname{preOrder}</tex> занимает <tex>O(n)</tex>. Это : <tex> \operatorname{preOrder}</tex> можно сделатьпосчитать, например, [[Обход в глубину, цвета вершин|обходом в глубину]], а <tex> \operatorname{inlabel} </tex> выражается через <tex> \operatorname{preOrder}</tex>, как описано выше.
===Запрос===
== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
== Источники информации ==
* [http://ia600208.us.archive.org/12/items/onfindinglowe00schi/onfindinglowe00schi.pdf Оригинальная статьяBaruch Schieber, Uzi Vishkin, "On Finding Lowest Common Ancestors: Simplification and Parallelization"]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]
