Изменения

Перейти к: навигация, поиск
м
ё
== Необходимые определения ==
<tex>G</tex> - неориентированный взвешенный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрамирёбрами.
{{Определение |definition=
'''Разрезом''' называется такое разбиение множества <tex>V</tex> на два подмножества <tex>A</tex> и <tex>B</tex>, что:
Эту задачу называют "глобальным минимальным разрезом". Глобальный минимальный разрез равен минимуму среди разрезов минимальной стоимости по всевозможным парам исток-сток. Хотя эту задачу можно решить с помощью любого алгоритма нахождения максимального потока (запуская его <tex>O(n^2)</tex> раз для всевозможных пар истока и стока), однако ниже описан гораздо более простой и быстрый алгоритм, предложенный Матильдой Штор (Mechthild Stoer) и Франком Вагнером (Frank Wagner) в 1994 г.
В общем случае допускаются петли и кратные рёбра, все кратные рёбра можно заменить одним ребром с их суммарным весом а петли не влияют на решение. Поэтому будем считать, что кратных ребер рёбер и петель во входном графе нет.
== Алгоритм ==
minCut(граф G): v[i] - список вершин, которые были сжаты в i-тую(сначала заполняется i);
for i = 1..n-1
обнуляем мн-во A= Ø; обнуляем fill(w(связности всех вершин, 0);
for j = 1..n-1
s = вершина не из {s <tex>\in</tex> V | s <tex>\notin</tex> A, для которой w[s] - максимальнаmax};
if (j != n-1)
добавляем A += s в A;
пересчитываем связность w[i] для остальных вершин;
prev = s;
minCost = w[s];
minCut = v[s];
s и ' = s <tex>\cup</tex> prev объединяются ; return minCut - список вершин в одну вершинуминимальном разрезе;
== Корректность алгоритма ==
Рассмотрим произвольный <tex>s</tex>-<tex>t</tex> разрез <tex>C</tex> и покажем, что его вес не может быть меньше веса разреза, состоящего из единственной вершины <tex>t</tex>:
: <tex dpi = '130'>w(\{t\}) \le w(C)</tex>.
Пусть <tex>v</tex> - вершина, которую мы хотим добавить в <tex>A</tex>, тогда <tex>A_v</tex> - состояние множества <tex>A</tex> в этот момент. Пусть <tex>C_v</tex> - разрез множества <tex>A_v \cup v</tex>, индуцированный разрезом <tex>C</tex>. Вершина <tex>v</tex> - активная, если она и предыдущая добавленная вершина в <tex>A</tex> принадлежат разным частям разреза <tex>C</tex>, тогда для любой такой вершины:
: <tex dpi = '130'>w(v, A_v) \le w(C_v)</tex>.
<tex>t</tex> - активная вершина, для нее неё выполняется:
: <tex dpi = '130'>w(t,A_t) \le w(C_t)</tex> : <tex dpi = '130'>w(t,A_t) = w(\{t\}), w(C_t) = w(C)</tex>
Получили утверждение теоремы.
Для первой активной вершины <tex>v</tex> это неравенство верно, так как все вершины <tex>A_v</tex> принадлежат одной части разреза, а <tex>v</tex> - другой. Пусть неравенство выполнено для всех активных вершин до <tex>v</tex>, включая <tex>v</tex>, докажем его для следующей активной вершины <tex>u</tex>.
: <tex dpi = '130'> w(u,A_u) \equiv w(u,A_v) + w(u,A_u \setminus A_v)</tex> (*)
Заметим, что
: <tex dpi = '130'>w(u,A_v) \le w(v,A_v)</tex> (**)
вершина <tex>v</tex> имела большее значение <tex>w</tex>, чем <tex>u</tex>, так как была добавлена в <tex>A</tex> раньше.
По предположению индукции:
: <tex dpi = '130'>w(v,A_v) \le w(C_v)</tex>
Следовательно из (**):
: <tex dpi = '130'>w(u,A_v) \le w(C_v)</tex>
А из (*) имеем:
: <tex dpi = '130'>w(u,A_u) \le w(C_v) + w(u,A_u \setminus A_v)</tex>
Вершина <tex>u</tex> и <tex>A_u \setminus A_v</tex> находятся в разных частях разреза <tex>C</tex>, значит <tex>w(u,A_u \setminus A_v)</tex> равна сумме весов реберрёбер, которые не входят в <tex>C_v</tex>, но входят в <tex>C_u</tex>.
: <tex dpi = '130'>w(u,A_u) \le w(C_v) + w(u,A_u \setminus A_v) \le w(C_u)</tex>
Что и требовалось доказать.
== Асимптотика ==
1) #Нахождение вершины с наибольшей <tex>w</tex> за <tex>O(n)</tex>, <tex>n-1</tex> фаза по <tex>n-1</tex> итерации в каждой. В итоге имеем <tex>O(n^3)</tex>#Если использовать фибоначчиевы кучи для нахождения вершины с наибольшей <tex>w</tex>, то асимптотика составит <tex>O (nm + n^2 \log n)</tex>#Если использовать двоичные кучи, то асимптотика составит <tex>O (nm \log n + n^2)</tex>
2) Если использовать Фибоначчиевы кучи для нахождения вершины с наибольшей <tex>w</tex>== Применение ==Нахождение разреза минимальной стоимости является основой в одном из методов сегментации изображений (сегментацией изображения называется разбиение его на некоторые области, то асимптотика составит <tex>O(nm + n^2lognнепохожие по некоторому признаку)</tex>.
3Изображение представляется в виде взвешенного графа, вершинами которого являются точки изображения (как правило, пиксели, но, возможно, и большие области, от этого зависит качество сегментации, а также скорость её построения) Если использовать Двоичные кучи. Вес ребра представляет отражает "разницу" между точками (расстояние в некоторой метрике). Разбиение изображения на однородные области сводится к задаче поиска минимального разреза в графе. Специально для такого рода задач был предложен метод нахождения разреза минимальной стоимости [https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.cs.berkeley.edu%2F~malik%2Fpapers%2FSM-ncut.pdf&ei=cP2-UuqhAuSJ4gTnhYCwAg&usg=AFQjCNFn9GZPlFjDUgDofCScu6Wm47qMWQ&sig2=Yufd8LreEQKHe3NGnFVm7A&bvm=bv.58187178, то асимптотика составит <tex>Od.bGE&cad=rjt Normalized Cut (nmlogn + n^2J. Shi, J. Malik (1997))</tex>]
== Источники ==
* [http://e-maxx.ru/bookz/files/stoer_wagner_mincut.pdf Mechthild Stoer, Frank Wagner. A Simple Min-Cut Algorithm]
* [http://e-maxx.ru/algo/stoer_wagner_mincut Алгоритм Штор-Вагнера]
* [http://cgm.computergraphics.ru/content/view/147 Методы сегментации изображения]
== Ссылки ==
*[http[Алгоритм Каргера для нахождения минимального разреза]]*[https://neercwww.ifmogoogle.ru/wiki/indexurl?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.cs.berkeley.edu%2F~malik%2Fpapers%2FSM-ncut.pdf&ei=cP2-UuqhAuSJ4gTnhYCwAg&usg=AFQjCNFn9GZPlFjDUgDofCScu6Wm47qMWQ&sig2=Yufd8LreEQKHe3NGnFVm7A&bvm=bv.58187178,d.php?titlebGE&cad=Алгоритм_Каргера_для_нахождения_минимального_разреза Алгоритм Каргера нахождения минимального разрезаrjt Метод Normalized Cut]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о максимальном потоке]]

Навигация