Изменения
→Оценка быстродействия
{{Теорема
|statement=Пусть для некоторой сети <tex>G(V,E)</tex> с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex> выполняется алгоритм Эдмондса-Карпа, тогда общее число итераций цикла '''<tex>\mathrm {while''' }</tex> составляет <tex>O(V E)</tex>.
|proof=
Рассмотрим множество ребер <tex>(u,v)</tex> остаточной сети <tex>G_f</tex>, принадлежащих увеличивающему пути <tex>p</tex>, таких что <tex>c_f(p) = c_f(u,v)</tex>. Назовем данные ребра критическими. Покажем, что каждое из <tex>|E|</tex> ребер может становиться критическим не более, чем <tex>|V| - 1</tex> раз. Заметим, что после увеличения потока вдоль пути <tex>p</tex> все критические ребра исчезают из остаточной сети, кроме того по определению остаточной пропускной способности пути хотя бы одно ребро увеличивающего пути {{---}} критическое.
Итак в промежуток времени между тем, когда ребро <tex>(u,v)</tex> становится критическим в первый раз, до момента, когда оно становится критическим в следующий раз, расстояние от <tex>s</tex> до <tex>u</tex> увеличивается минимум на <tex>2</tex>. Расстояние <tex>\delta(s,u)</tex> в начальный момент времени больше либо равно <tex>0</tex>. Среди промежуточных вершин на кратчайшем пути <tex>s \leadsto u</tex> не могут находиться <tex>s</tex>, <tex>u</tex> или <tex>t</tex>. Следовательно к тому моменту, когда вершина <tex>u</tex> станет недостижимой из источника расстояние до нее не превысит <tex>|V| - 2</tex>. Получаем, что ребро <tex>(u, v)</tex> могло стать критическим не более <tex>(|V| -2)/2 = |V|/2 - 1</tex> раз. Поскольку в графе не более <tex>O(E)</tex> пар вершин, между которыми могут существовать ребра в остаточной сети, то общее количество критических ребер в ходе выполнения алгоритма Эдмондса-Карпа равно <tex>O(V E)</tex>.
Так как каждый увеличивающий путь содержит по крайней мере одно критическое ребро, следовательно число кратчайших путей составляет <tex>O(V E)</tex>. На каждой итерации цикла '''<tex>\mathrm {while''' }</tex> рассматривается ровно один увеличивающий путь, а поскольку в случае отсутствия такого пути выполнение цикла прерывается, то число итераций цикла '''<tex>\mathrm {while''' }</tex> также составляет <tex>O(V E)</tex>.
}}
Если увеличивающий путь находить поиском в ширину, то каждую итерацию цикла '''<tex>\mathrm {while''' }</tex> можно выполнить за время <tex>O(E)</tex>. Инициализация в процедуре '''Edmonds_Karp''' производится за <tex>O(E)</tex>, следовательно время работы алгоритма алгоритма Эдмондса-Карпа составляет <tex>O(V E^2)</tex>. Заметим также, что сущетсвует сеть "грибок"<ref>[https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/maximum-flow-augmenting-path-algorithms-comparison/#! Cтатья на TopCoder.com ]</ref> на которой нижняя граница времени работы алгоритмы Эдмондса-Карпа также составляет <tex>\Omega(V E^2)</tex>.
==Примечания==
