390
правок
Изменения
м
==Определения==
'''Ситуации хранятся в множествах <tex>jD_0, \ldots ,D_{n-1}</tex>-м списком , называемых '''списками ситуаций''' <tex>I_j</tex> для входной цепочки <tex>\omega = a_1 a_2 ... a_n</tex>, где Причем наличие ситуации <tex>0 \leqslant j \leqslant n</tex>, называется множество ситуаций <tex>\lbrace [A \rightarrow \alpha \cdot \beta , i] \mid \alpha \Rightarrow^* a_{i+1} ... a_j; \exists \gamma, \delta : S \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_i \rbrace</tex>. То есть в <tex>\gamma \alpha j</tex> выводит часть -м списке ситуаций <tex>\omegaD_j</tex> c первого по <tex>j</tex>-й символ.}} {{Леммаравносильно тому, что |statement = <tex>(\exists \alpha : [S \rightarrow \alpha \cdot, 0] delta \in I_n) \Leftrightarrow Sigma \omega \in Lcup N : ((G)</tex>.|proof = Поскольку <tex>S ' \Rightarrow^* w_0 \gamma S \delta</tex> (при <tex>\gamma = ldots w_{i-1} A \delta = \varepsilon</tex>), из определения <tex>I_n</tex> получаем, что <tex>([S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in I_n) \Leftrightarrow (S \Rightarrow \alpha wedge A \Rightarrow^* a_1 ... a_n = w_i \omegaldots w_{j-1})</tex>.
Построим Чтобы воспользоваться леммой, необходимо найти <tex>D_n</tex> для <tex>w</tex>. Алгоритм Эрли является [[Динамическое программирование|динамическим алгоритмом]]: он последовательно строит список разбора для , причём при построении <tex>D_j</tex> используются <tex>D_0, \omegaldots, D_{j}</tex> (то есть элементы списков с помощью данного алгоритма меньшими номерами и воспользуемся леммойситуации, доказанной вышесодержащиеся в текущем списке на данный момент).<br>
Для простоты добавим новый стартовый вспомогательный нетерминал Алгоритм основывается на следующих трёх правилах:# Если <tex>S'[A \rightarrow \alpha \cdot w_{j} \beta, i] \in D_{j-1}</tex> (где <tex>w_j</tex> — <tex>j</tex>-ый символ строки), то <tex>[A \rightarrow \alpha w_{j} \cdot \beta, i] \in D_j</tex>.# Если <tex>[B \rightarrow \eta \ \cdot, i] \in D_j</tex> и <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, k] \in D_i</tex>, то <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k] \in D_j</tex>.# Если <tex>[A \rightarrow \alpha \ \cdot B \beta, i] \in D_{j} </tex> и правило <tex>S' (B \rightarrow S\eta) \in P </tex>, то <tex>[B \rightarrow \cdot \ \eta, j] \in D_{j}</tex>.
=== Псевдокод ===Для простоты добавим новый стартовый вспомогательный нетерминал <tex>I_0S'</tex> ∪= и правило <tex>[(S' \rightarrow \cdot S, 0])</tex> useful_loop(0).
<tex>\Leftarrow</tex><br>
Для всех наборов <tex>\tau = {\alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j} </tex> нужно доказать, что если <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, A \rightarrow \alpha \beta \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>, то <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_{j}</tex>.<br>
*<i>Рангом набора </i> <tex> \tau </tex> называется <tex> \tau_{1}(\tau) + 2(j + \tau_{2}(\tau) + \tau_{3}(\tau))</tex>, где <tex>\tau_{1}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>S' \Rightarrow^* \gamma A \delta </tex>, <tex>\tau_{2}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}</tex>, <tex>\tau_{3}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>.
Докажем утверждение по индукции:<br>
База: если ранг <tex>\tau</tex> равен 0, то <tex>\tau_{1} = \tau_{2} = \tau_{3} = j = i = 0</tex>. Значит <tex>\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon </tex>, <tex>A = S', \beta = S </tex>. Значит по инициализации <tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0] \in I_0</tex>. <br>
Индукционный переход:
Пусть ранг <tex>\tau</tex> равен <tex>r > 0</tex>, пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора <tex>\tau</tex>. Для этого рассмотрим три случая:<br> <br>
<b>1. <tex>\alpha</tex> оканчивается терминалом </b> <br>
<tex>\alpha = \alpha' a</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>a = a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \mathcal {g} </tex>. <tex>(A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta) \in P</tex>, следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 2</tex>, так как <tex>\tau_{1}(\tau) = \tau_1(\tau'), \tau_2(\tau) = \tau_2(\tau'), \tau_{3}(\tau) = \tau_3(\tau')</tex>. Значит по и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>, по правилу 1 получаем, что <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>. <br> <br>
<b> 2. <tex>\alpha</tex> оканчивается нетерминалом </b><br>
<tex>\alpha = \alpha' B</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>\mathcal {9} k</tex> такое, что <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>.<br> Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \mathcal {g} </tex>, его ранг меньше <tex>r</tex>. По и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex>. <br>Пусть <tex>B \Rightarrow \eta</tex> — первый шаг в кратчайшем выводе <tex>B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau'' = \mathcal {f} \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \mathcal {g} </tex>. <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta</tex>, следовательно <tex>\tau_1(\tau'') \leqslant \tau_1(\tau) + 1</tex>.<br> Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. Тогда <tex>\tau_3(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Так как <tex> B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>, то <tex>\tau_3(\tau'') = n_2 - 1</tex>. Очевидно, что <tex>\tau_2(\tau'') = \tau_2(\tau) + n_1</tex>. Тогда ранг <tex>\tau''</tex> равен <tex>\tau_1(\tau'') + 2(\tau_2(\tau'') + \tau_3(\tau'') + j) \leqslant \tau_1(\tau) + 1 + 2(\tau_2(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)</tex> <tex>= \tau_1(\tau) - 1 + 2(\tau_2(\tau) + \tau_3(\tau) + j) < r</tex>. Значит по и.п. для <tex>\tau''</tex>, <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex>. Из того, что <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex> и <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex> по правилу 1 или 2 <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>. <br> <br>
<b>3. <tex>\alpha</tex> является пустой </b><br>
<tex>\alpha = \varepsilon</tex>, значит <tex>i = j, \tau_3(\tau) = 0</tex>.<br> Если <tex> \tau_1(\tau) = 0</tex>, то <tex> \gamma = \varepsilon</tex>, следовательно <tex> \tau_2(\tau) = 0, i = 0 </tex>, откуда <tex> r = 0</tex>, а по и.п. <tex>r > 0</tex>. Значит <tex> \tau_1(\tau) \neq 0</tex>. Тогда <tex> \mathcal {9} B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta''</tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''</tex>, где <tex>B = \gamma'' A \delta'' \in P</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \mathcal {g} </tex>, где <tex>k</tex> такое, что <tex>\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. <br>Найдем ранг <tex>\tau'</tex>. <tex>\tau_1(\tau') = \tau_1(\tau) - 1, \tau_2(\tau') = n_1, \tau_3(\tau') = n_2, \tau_3(\tau) = 0, \tau_2(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 1</tex>. Значит по и.п. <tex>[B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}</tex>, следовательно по правилу 3 <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.
Рассмотрим грамматику Построим список разбора для строки <tex>Gw = (a + a)</tex> с в грамматике со следующими правилами: <br>* <tex>S \rightarrow T + S</tex> <br>* <tex>S \rightarrow T </tex> <br>* <tex>T \rightarrow F * T</tex> * <brtex>T \rightarrow F</tex>* <tex>T F \rightarrow ( S )</tex>* <tex>F\rightarrow a</tex> {||-| {| class="wikitable"|-!<tex>D_0</tex>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0]<br/tex>|| 0|-|<tex>F [S \rightarrow ( \cdot T + S ), 0]</tex> || 3|-|<tex>[S \rightarrow \cdot T, 0]<br/tex>|| 3|-|<tex>F [T \rightarrow a\cdot F * T, 0]</tex> || 3|-|<brtex>[T \rightarrow \cdot F, 0]</tex> || 3Построим для строки |-|<tex>[F \omega = rightarrow \cdot (a + aS ), 0]</tex> список разбора.|| 3|-|<tex>[F \rightarrow \cdot a, 0]<br/tex>|| 3|}|}
<b>{| class="wikitable"|-!<tex>I_0D_1</tex></b> <br>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[S' F \rightarrow ( \cdot S), 0]</tex> — из инициализации <br>|| 1|-|<tex>[S \rightarrow \cdot T + S, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[S \rightarrow \cdot T, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[T \rightarrow \cdot F * T, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[T \rightarrow \cdot F, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[F \rightarrow \cdot ( S ), 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[F \rightarrow \cdot a, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|}|}
<b>{| class="wikitable"|-!<tex>I_1D_2</tex></b> <br>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[F \rightarrow ( a \cdot S ), 01]</tex> — из правила || 1 <br>|-|<tex>[S T \rightarrow F \cdot * T + S, 1]</tex> — из правила 3 <br>|| 2<tex>[S \rightarrow \cdot T, 1]</tex> — из правила 3 <br>|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot F * T, 1]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[T S \rightarrow T \cdot F, 1]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[F S \rightarrow T \cdot ( + S ), 1]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[F \rightarrow ( S \cdot a), 10]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|}|}
<b>{| class="wikitable"|-!<tex>I_3D_4</tex></b> <br>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[S F \rightarrow T + a \cdot S, 13]</tex> — из правила || 1 <br>|-|<tex>[S T \rightarrow F \cdot * T + S, 3]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[S T \rightarrow F \cdot T, 3]</tex> — из правила 3<br>|| 2|-|<tex>[T S \rightarrow T \cdot F * T+ S, 3]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[T S \rightarrow T \cdot F, 3]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[F S \rightarrow T + S \cdot ( S ), 31]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[F \rightarrow ( S \cdot a), 30]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|}|}
<b>{| class="wikitable"|-!<tex>I_4D_5</tex></b> <br>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[F \rightarrow a ( S )\cdot , 30]</tex> — из правила || 1 <br>|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot * T, 30]</tex> — из правила || 2 <br>|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot , 30]</tex> — из правила || 2<br>|-|<tex>[S \rightarrow T \cdot + S, 30]</tex> — из правила || 2 <br>|-|<tex>[S \rightarrow T \cdot , 30]</tex> — из правила || 2 <br>|-|<tex>[S ' \rightarrow T + S \cdot , 10]</tex> — из правила || 2 <br><tex>[F \rightarrow ( S \cdot ), 0]</tex> — из правила 2 <br>|}|}
<b><tex>I_5</tex></b> <br>Так как <tex>[F S' \rightarrow ( S )\cdot , 0]</tex> — из правила 1 <br><tex>[T \rightarrow F \cdot * T, 0]in D_5</tex> — из правила 2 <br><tex>[T \rightarrow F \cdot , 0]то </tex> — из правила 2<br><tex>[S w \rightarrow T \cdot + S, 0]</tex> — из правила 2 <br><tex>[S \rightarrow T \cdot , 0]</tex> — из правила 2 <br><tex>[S' \rightarrow S \cdot , 0]in L(G) </tex> — из правила 2 .<br>
Так как <tex>==Источники информации==*[S' \rightarrow S \cdot http://lpcs.math.msu.su/~sk/lehre/fivt2013/Earley.pdf Алексей Сорокин {{---}} Алгоритм Эрли]* Ахо А., 0] \in I_5</tex>Ульман Д.{{---}} Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. {{---}} М.:«Мир», то <tex>\omega \in L(G) </tex>1978. С. 358 — 364.<br>
==Литература==[[Категория: Теория формальных языков]]''Ахо А., Ульман Д.'' Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. — М.[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]][[Категория:«Мир», 1978. С. 358 — 364.Алгоритмы разбора]]
Исправил многоточия ещё
__TOC__'''Алгоритм Эрли''' позволяет определить, выводится ли данное слово <tex>\omegaw</tex> в данной [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободной]] грамматике <tex>G</tex>.
'''Вход:''' КС грамматика <tex> G=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex> и слово <tex>\omegaw</tex>.<br/>'''Выход:''' <tex>true</tex>, если <tex>\omegaw</tex> выводится в <tex>G</tex>; <tex>false</tex> — иначе.
{{Определение
|definition =
Пусть <tex>G = (\langle N, \Sigma, P, S)\rangle</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная]] грамматика и <tex>w = w_0 w_1 \omega = a_1 a_2 ... a_nldots w_{n-1}</tex> {{---}} входная цепочка из <tex>\Sigma^*</tex>.Объект вида <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex>, где <tex>A \rightarrow \alpha \beta </tex> — правило из <tex>P</tex> и <tex>0 \leqslant i \leqslant n</tex> — позиция в <tex>\omegaw</tex>, называется '''ситуацией''', относящейся к цепочке <tex>w</tex>, где '''<tex> \cdot </tex>''' {{---}} вспомогательный символ, который не явлется терминалом или нетерминалом ( <tex>\omegacdot \notin \Sigma \cup N</tex>).
}}
{{Определение
|definition =
}}
{{Определение
|definition =
Последовательность списков ситуаций <tex>I_0D_0, I_1D_1, ..\ldots, I_nD_{n-1} \ </tex> называется <b>списком разбора</b> для входной цепочки <tex>\omegaw</tex>.
}}
== Алгоритм Эрли ==
'''function''' <tex>\mathtt{earley}(G, w)</tex>: <font color=green>// Инициализация </font> <tex> D_{0} = \lbrace [S' \rightarrow \cdot \ S, 0] \rbrace </tex> '''for ''' <tex>i = 1..n</tex> '''to''' <tex>len(w)</tex> <tex>D_i</tex> = <tex>\varnothing </tex> <font color=green>// Вычисление ситуаций </font> '''for ''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>len(w)</tex> <tex>[B \rightarrow \alpha \cdot a_mathtt{scan}(D, j} \beta, i] G, w)</tex> '''while''' <tex>D_j</tex> изменяется <tex>\in I_mathtt{complete}(D, j-1}, G, w)</tex> <tex>I_j\mathtt{predict}(D, j, G, w)</tex> ∪ <font color= green>// Результат </font> '''if''' <tex>[B S' \rightarrow S \alpha a_{j} \cdot \beta, i0]\in D_{len(w)} </tex> # Правило (1) useful_loop(j)'''return''' ''true'' '''else''' '''return''' ''false''
'''function useful_loop''' <tex>\mathtt{scan}(D, j, G, w)</tex>: '''if''' <tex>j</tex> == <tex>0</tex> '''return''' '''for ''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot a \beta, i] \in I_jD_{j - 1} </tex> '''if''' <tex>a</tex> == <tex>w_{j - 1}</tex> <tex>D_{j}</tex> <tex> \cup</tex>= <tex>[A \rightarrow \alpha a \cdot \beta, i]</tex> '''function''' <tex>\mathtt{complete}(D, j, G, w)</tex>: '''for ''' <tex>[B \rightarrow \gamma eta \ \cdot , i] \in D_{j} </tex> '''for''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, kj] \in I_D_{i}</tex> <tex>I_jD_{j}</tex> &<tex> \cup;</tex>= <tex>[B A \rightarrow \gamma A alpha B \cdot \beta, kj]</tex> # Правило '''function''' <tex>\mathtt{predict}(2D, j, G, w)</tex>: '''for ''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in I_jD_{j} </tex> '''for ''' <tex>\gamma : (B \rightarrow \gammaeta) \in P</tex> <tex>I_jD_{j}</tex> &<tex>\cup;</tex>= <tex>[B \rightarrow \cdot \gamma\eta, j]</tex> # Правило (3)
==Корректность алгоритма==
{{Теорема
|statement = Приведенный алгоритм правильно строит все списки ситуаций. То есть алгоритм поддерживает инвариант <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_D_{j} \Leftrightarrow Longleftrightarrow \alpha exists \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex> и <tex> delta \mathcal {9} in \gamma </tex> и <tex> Sigma \delta</tex> такие, что <tex>cup N : ((S' \Rightarrow^* w_0 \gamma ldots w_{i-1} A \delta</tex> и <tex> ) \gamma wedge A \Rightarrow^* a_1...a_w_i \ldots w_{ij-1})</tex>.
|proof =
<tex>\Rightarrow</tex> <br>Докажем по индукции.<br>База: для любой ситуации из <texb>I_0</tex> <tex>\alpha \Rightarrow^* \varepsilon Longrightarrow</tex> и <tex>S' \Rightarrow^* \gamma A \delta </texb> при <tex>\gamma = \varepsilon <br/tex>.<br>Индукционный переход (иДокажем индукцией по исполнению алгоритма.п.): пусть верно для всех ситуаций из списков <tex> I_{i}, i \leqslant j </tex>. Пусть включаем <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> в <tex>I_{j}</tex>. Рассмотрим три случая:<br><br><b>1. Пусть включаем по правилу 1</b><br>Тогда <texu>\alpha = \alpha' a_{j} , [A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>. По и.п. <tex>\alphaБаза индукции:' \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j-1} </tex> и существуют <tex>\gamma'</texu> и <tex>\delta' <br/tex> такие, что <tex>[S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{i} </tex>. Значит <tex> \alpha = \alpha' a_{j} \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} </tex> и при <tex>\gamma = \gamma', \delta = \delta' </tex> для <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \betaS, i0]\in D_0 \ </tex> утверждение верно. <br><br><b>2. Пусть включаем по правилу 2</b><br>Тогда <texu>\alpha = \alpha' B , [A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, k] \in I_{i}</tex> и <tex> [B \rightarrow \eta \cdot, i] \in I_{j} </tex>. По и.п. <tex>\alphaИндукционный переход:' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}, \eta \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} </tex>, откуда <tex>\alpha = \alpha' B \Rightarrow^*a_{k+1}...a_{j} </tex>. Также по и.п. существуют <texu>\gamma'<br/tex> и Пусть предположение верно для всех списков ситуаций с номерами меньше <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{k} j </tex>. Значит при <tex>\gamma = \gamma'Разберемся, \delta = \delta' </tex> для в результате применения какого правила ситуация <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> утверждение верно.<br><br><b>3. Пусть включаем по правилу 3</b><br>Тогда попала в <tex>\alpha = \varepsilon, i = j, [B \rightarrow \alpha' \cdot A \beta, k] \in I_D_{j}</tex>. По и.п. <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}<br/tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k} </tex>. Значит при <tex>\gamma = \gamma' \alpha', \delta = \beta \delta' </tex> выполнено <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta</tex>, значит для <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> утверждение верно. <br>
1. Включаем по правилу <tex> \mathtt{scan} \ </tex>.<br/>
Это произошло, если <tex> \alpha = \alpha ' a</tex>, <tex>a = w_{j-1}</tex> и <tex> [A \rightarrow \alpha ' \cdot a \beta, i] \in D_{j-1}</tex>.<br/>
По предположению индукции <tex>S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i-1} A \delta</tex> и <tex>\alpha' \Rightarrow^* w_i \ldots w_{j-2}</tex>,<br/>
тогда в силу <tex>a = w_{j-1}</tex> получаем <tex>\alpha = \alpha ' a \Rightarrow^* w_i \ldots w_{j-2}w_{j-1} = w_i \ldots w_{j-1} \ </tex>.<br/>
Таким образом условия: <tex>S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i-1} A \delta</tex> и <tex>\alpha \Rightarrow^* w_i \ldots w_{j-1}</tex> выполняются.
2. Включаем по правилу <tex> \mathtt{predict} \ </tex>.<br/>
По построению: <tex> \alpha = \varepsilon </tex> и <tex>i=j</tex>, что автоматически влечет второй пункт утверждения.<br/>
Кроме того <tex>\exists i' \le i</tex> и ситуация <tex>[A' \rightarrow \alpha ' \cdot A \delta ', i'] \in D_i</tex>, из чего по предположению индукции следует <tex>S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i'-1} A' \delta ''</tex>
и <tex> \alpha ' \Rightarrow^* w_{i'} \ldots w_{i-1}</tex>.<br/>
Получаем, что <tex>S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i'-1} A' \delta ''</tex>, значит <tex>S \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i'-1} \alpha' A \delta' \delta '' </tex>, следовательно <tex> S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i'-1} w_{i'} \ldots w_{i-1} A \delta' \delta ''
</tex>, в итоге <tex> S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i-1} A \delta</tex>, что нам и требовалось.
3. Включаем по правилу <tex> \mathtt{complete} \ </tex>.<br/>
По построению: <tex> \alpha = \alpha ' A' </tex> и <tex>\exists i', \delta : [A \rightarrow \alpha ' \cdot A' \beta, i] \in D_{i'} \wedge [A' \rightarrow \eta \cdot, i'] \in D_j</tex>.<br/>
Cледовательно <tex>\alpha = \alpha ' A' \Rightarrow^* w_i \ldots w_{i'-1} w_{i'} \ldots w_{j} = w_i \ldots w_{j-1}</tex>, что дает нам второй пункт утверждения, а так как первый пункт следует из индукционного предположения, все хорошо.
<b><tex>\Longleftarrow</tex></b><br/>
В обратную сторону будем доказывать индукцией по суммарной длине вывода <tex>w_0 \ldots w_{i-1} A \delta \ </tex> из <tex>S'</tex> и <tex>w_i \ldots w_{j-1}</tex> из <tex>\alpha</tex>. После чего применим
индукцию по длине вывода <tex>w_i \ldots w_{j-1}</tex> из <tex>\alpha</tex>.<br/>
Рассмотрим три случая последнего символа <tex>\alpha</tex>:
1. <tex>\alpha = \alpha ' a</tex>, тогда <tex>a = w_{j-1}</tex> и <tex>\alpha ' \Rightarrow^* w_i \ldots w_{j-2}</tex>.<br/>
По предположению индукции: <tex>[A \rightarrow \alpha ' \cdot a \beta, i] \in D_{j-1}</tex>, а отсюда по правилу <tex> \mathtt{scan}</tex> получаем <tex>[A \rightarrow \alpha ' a \cdot \beta, i] \in D_{j}</tex>.
2. <tex>\alpha = \alpha ' B</tex>, тогда <tex>\exists i' : \alpha ' \Rightarrow^* w_i \ldots w_{i'-1} \wedge B ' \Rightarrow^* w_{i'} \ldots w_{j-1}</tex>.<br/>
Тогда имеем <tex>[A \rightarrow \alpha ' a \cdot \beta, i] \in D_{j}</tex>. Также можно записать <tex>S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i-1} A \delta</tex>, как <tex>S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i-1} w_i \ldots w_{i'-1}B \beta \delta</tex>,
а также <tex>B \rightarrow \eta \wedge \eta \rightarrow w_{i'} \ldots w_{j-1}</tex>.<br/>
Применяя индукцию по второму параметру получим <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, i'] \in D_j \ </tex>, откуда по правилу <tex> \mathtt{complete}</tex> получаем <tex>[A \rightarrow \alpha ' B \cdot \beta, i] \in D_{j}</tex>.
3. <tex>\alpha = \varepsilon </tex>, тогда <tex>i=j</tex>.<br/>
Тогда либо <tex>i = 0 \wedge A = S \wedge \delta = \varepsilon</tex>, что доказывает базу индукции,<br/>
либо вывод можно записать в виде <tex>S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w{i'-1}w_{i'} \ldots w{i-1} A \delta ' \delta '' = w_0 \ldots w_{i-1} A \delta \ </tex> для некоторого правила <tex>(A' \rightarrow w_{i'} \ldots w_{i-1} A \delta ') \in P</tex>. <br/>
Отсюда по предположению индукции <tex>[A' \rightarrow \cdot w_{i'} \ldots w_{i-1} A \delta ', i'] \in D_{i'} \ </tex>,
что после нескольких применений правила <tex> \mathtt{scan}</tex> приводит к <tex>[A' \rightarrow w_{i'} \ldots w_{i-1} \cdot A \delta ', i'] \in D_{i} \ </tex>,
после чего по правилу <tex> \mathtt{predict} \ </tex> получим <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, i] \in D_{j} \ </tex>, что и требовалось.
}}
==Пример==
||
||
|-
|
{| class="wikitable"|-!<btex>D_3</tex>I_2|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|</tex>[S \rightarrow T + \cdot S, 1]</b> <brtex>|| 1|-|<tex>[F S \rightarrow a \cdotT + S, 13]</tex> — из правила 1 <br>|| 3|-|<tex>[T S \rightarrow F \cdot * T, 13]</tex> — из правила 2 <br>|| 3|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot F * T, 13]</tex> — из правила 2<br>|| 3|-|<tex>[S T \rightarrow T \cdot F, 13]</tex> — из правила 2 <br>|| 3|-|<tex>[S F \rightarrow T \cdot + ( S), 13]</tex> — из правила 2 <br>|| 3|-|<tex>[F \rightarrow ( S \cdot )a, 03]</tex> — из правила 2 <br>|| 3|}|}
||
||
|}
==См. также==
* [[Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ]]
* [[Алгоритм Кока-Янгера-Касами, модификация для произвольной грамматики]]
