Изменения

__TOC__'''Алгоритм Эрли''' позволяет определить, выводится ли данное слово <tex>\omegaw</tex> в данной [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободной]] грамматике <tex>G</tex>.

'''Вход:''' КС грамматика <tex> G=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex> и слово <tex>\omegaw</tex>.<br/>'''Выход:''' <tex>true</tex>, если <tex>\omegaw</tex> выводится в <tex>G</tex>; <tex>false</tex> — иначе.

Пусть <tex>G = (\langle N, \Sigma, P, S)\rangle</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная]] грамматика и <tex>w = w_0 w_1 \omega = a_1 a_2 ... a_nldots w_{n-1}</tex> {{---}} входная цепочка из <tex>\Sigma^*</tex>.Объект вида <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex>, где <tex>A \rightarrow \alpha \beta </tex> — правило из <tex>P</tex> и <tex>0 \leqslant i \leqslant n</tex> — позиция в <tex>\omegaw</tex>, называется '''ситуацией''', относящейся к цепочке <tex>w</tex>, где '''<tex> \cdot </tex>''' {{---}} вспомогательный символ, который не явлется терминалом или нетерминалом ( <tex>\omegacdot \notin \Sigma \cup N</tex>).

'''Ситуации хранятся в множествах <tex>jD_0, \ldots ,D_{n-1}</tex>-м списком , называемых '''списками ситуаций''' <tex>I_j</tex> для входной цепочки <tex>\omega = a_1 a_2 ... a_n</tex>, где Причем наличие ситуации <tex>0 \leqslant j \leqslant n</tex>, называется множество ситуаций <tex>\lbrace [A \rightarrow \alpha \cdot \beta , i] \mid \alpha \Rightarrow^* a_{i+1} ... a_j; \exists \gamma, \delta : S \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_i \rbrace</tex>. То есть в <tex>\gamma \alpha j</tex> выводит часть -м списке ситуаций <tex>\omegaD_j</tex> c первого по <tex>j</tex>-й символ.}} {{Леммаравносильно тому, что |statement = <tex>(\exists \alpha : [S \rightarrow \alpha \cdot, 0] delta \in I_n) \Leftrightarrow Sigma \omega \in Lcup N : ((G)</tex>.|proof = Поскольку <tex>S ' \Rightarrow^* w_0 \gamma S \delta</tex> (при <tex>\gamma = ldots w_{i-1} A \delta = \varepsilon</tex>), из определения <tex>I_n</tex> получаем, что <tex>([S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in I_n) \Leftrightarrow (S \Rightarrow \alpha wedge A \Rightarrow^* a_1 ... a_n = w_i \omegaldots w_{j-1})</tex>.

Последовательность списков ситуаций <tex>I_0D_0, I_1D_1, ..\ldots, I_nD_{n-1} \ </tex> называется <b>списком разбора</b> для входной цепочки <tex>\omegaw</tex>.

Построим Чтобы воспользоваться леммой, необходимо найти <tex>D_n</tex> для <tex>w</tex>. Алгоритм Эрли является [[Динамическое программирование|динамическим алгоритмом]]: он последовательно строит список разбора для , причём при построении <tex>D_j</tex> используются <tex>D_0, \omegaldots, D_{j}</tex> (то есть элементы списков с помощью данного алгоритма меньшими номерами и воспользуемся леммойситуации, доказанной вышесодержащиеся в текущем списке на данный момент).<br>

Для простоты добавим новый стартовый вспомогательный нетерминал Алгоритм основывается на следующих трёх правилах:# Если <tex>S'[A \rightarrow \alpha \cdot w_{j} \beta, i] \in D_{j-1}</tex> (где <tex>w_j</tex> — <tex>j</tex>-ый символ строки), то <tex>[A \rightarrow \alpha w_{j} \cdot \beta, i] \in D_j</tex>.# Если <tex>[B \rightarrow \eta \ \cdot, i] \in D_j</tex> и <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, k] \in D_i</tex>, то <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k] \in D_j</tex>.# Если <tex>[A \rightarrow \alpha \ \cdot B \beta, i] \in D_{j} </tex> и правило <tex>S' (B \rightarrow S\eta) \in P </tex>, то <tex>[B \rightarrow \cdot \ \eta, j] \in D_{j}</tex>.

=== Псевдокод ===Для простоты добавим новый стартовый вспомогательный нетерминал <tex>I_0S'</tex> &cup;= и правило <tex>[(S' \rightarrow \cdot S, 0])</tex> useful_loop(0).

'''function''' <tex>\mathtt{earley}(G, w)</tex>: <font color=green>// Инициализация </font> <tex> D_{0} = \lbrace [S' \rightarrow \cdot \ S, 0] \rbrace </tex> '''for ''' <tex>i = 1..n</tex> '''to''' <tex>len(w)</tex> <tex>D_i</tex> = <tex>\varnothing </tex> <font color=green>// Вычисление ситуаций </font> '''for ''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>len(w)</tex> <tex>\mathtt{scan}(D, j, G, w)</tex> '''while''' <tex>D_j</tex> изменяется <tex>\mathtt{complete}(D, j, G, w)</tex> <tex>\mathtt{predict}(D, j, G, w)</tex> <font color=green>// Результат </font> '''if''' <tex>[S' \rightarrow S \ \cdot, 0] \in D_{len(w)} </tex> '''return''' ''true'' '''else''' '''return''' ''false''    '''function''' <tex>\mathtt{scan}(D, j, G, w)</tex>: '''if''' <tex>j</tex> == <tex>0</tex> '''return''' '''for''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot a_{j} a \beta, i] \in I_D_{j-1}</tex> '''if''' <tex>I_ja</tex> &== <tex>w_{j - 1}</tex> <tex>D_{j}</tex> <tex> \cup;</tex>= <tex>[A \rightarrow \alpha a_{j} a \cdot \beta, i]</tex> # Правило   '''function''' <tex>\mathtt{complete}(1D, j, G, w)</tex>: '''for''' <tex>[B \rightarrow \eta \ \cdot, i] \in D_{j} </tex> useful_loop('''for''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, j] \in D_{i} </tex> <tex>D_{j}</tex> <tex> \cup</tex>= <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, j)]</tex>

'''function useful_loop(j): for ''' <tex>[B \rightarrow \eta \cdot mathtt{predict}(D, j, G, i] \in I_jw)</tex>: '''for ''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, ki] \in I_D_{ij}</tex> <tex>I_j</tex> &cup;= <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k]</tex> # Правило (2) '''for ''' <tex>[(B \rightarrow \alpha \cdot A \eta, i] ) \in I_jP </tex> for <tex>\beta : (A \rightarrow \beta) \in PD_{j}</tex> <tex>I_j\cup</tex> &cup;= <tex>[A B \rightarrow \cdot \beta\eta, j]</tex> # Правило (3)

|statement = Приведенный алгоритм включает в правильно строит все списки нужные ситуации и только ихситуаций.То есть алгоритм поддерживает инвариант <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in D_{j} \Longleftrightarrow \exists \delta \in \Sigma \cup N : ((S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i-1} A \delta) \wedge A \Rightarrow^* w_i \ldots w_{j-1})</tex>

=====Алгоритм не добавит в список ситуацию, которая ему не принадлежит:=====Докажем по индукции.<br/>База: для любой ситуации из <tex>I_0</texb> <tex>\alpha \Rightarrow^* \varepsilon Longrightarrow</tex> и <tex>S' \Rightarrow^* \gamma A \delta </texb> при <tex>\gamma = \varepsilon <br/tex>Докажем индукцией по исполнению алгоритма.<br/>Индукционный переход<u> ''База индукции: пусть верно для всех ситуаций из списков '' <tex/u> I_{i}, i \leqslant j <br/tex>. Пусть включаем <tex>[A S' \rightarrow \alpha \cdot \betaS, i0] \in D_0 \ </tex> в <tex>I_{j}</tex>. Рассмотрим три случая: 1. Пусть включаем по правилу 1.<br/>Тогда <texu>\alpha = \alpha' a_{j} , [A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>. По и.п. <tex>\alphaИндукционный переход:'' \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j-1} </texu> и существуют <tex>\gamma'<br/tex> и Пусть предположение верно для всех списков ситуаций с номерами меньше <tex>\delta' j </tex> такие. Разберемся, что в результате применения какого правила ситуация <tex>S' [A \Rightarrow^* rightarrow \gamma' A alpha \cdot \delta'beta, \gamma' = a_1...a_{i} ] </tex>. Значит попала в <tex> \alpha = \alpha' a_{j} \Rightarrow^* a_{i+1}...a_D_{j} </tex> и при <tex>\gamma = \gamma', \delta = \delta' <br/tex> для <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> утверждение верно.

21. Пусть включаем Включаем по правилу 2<tex> \mathtt{scan} \ </tex>.<br/>Тогда Это произошло, если <tex>\alpha = \alpha' B a</tex>, [A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, k] \in I_<tex>a = w_{ij-1}</tex> и <tex> [B A \rightarrow \eta alpha ' \cdota \beta, i] \in I_D_{j-1} </tex>. <br/>По и.п. предположению индукции <tex>\alphaS' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}, w_0 \eta \Rightarrow^* a_ldots w_{i+-1}...a_{j} A \delta</tex>, откуда и <tex>\alpha = \alpha' B \Rightarrow^*a_{k+1}...a_w_i \ldots w_{j-2} </tex>. Также по и.п. существуют <tex>\gamma',<br/tex> и тогда в силу <tex>\delta' a = w_{j-1}</tex> такие, что получаем <tex>S\alpha = \alpha ' a \Rightarrow^* w_i \gamma' A ldots w_{j-2}w_{j-1} = w_i \delta', \gamma' = a_1...a_ldots w_{kj-1} \ </tex>. Значит при <br/>Таким образом условия: <tex>S' \gamma = Rightarrow^* w_0 \gamma', \delta = ldots w_{i-1} A \delta' </tex> для и <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot Rightarrow^* w_i \beta, i]ldots w_{j-1}</tex> утверждение верновыполняются.

32. Пусть включаем Включаем по правилу 3<tex> \mathtt{predict} \ </tex>.<br/>Тогда По построению: <tex>\alpha = \varepsilon, </tex> и <tex>i = j</tex>, что автоматически влечет второй пункт утверждения.<br/>Кроме того <tex>\exists i' \le i</tex> и ситуация <tex>[B A' \rightarrow \alpha' \cdot A \betadelta ', ki'] \in I_{j}D_i</tex>. По и.п. , из чего по предположению индукции следует <tex>\alphaS' \Rightarrow^* a_w_0 \ldots w_{k+i'-1}...a_{i}A' \delta ''</tex> и существуют <tex>\gammaalpha '\Rightarrow^* w_{i'} \ldots w_{i-1}</tex> и <tex>\delta' .<br/tex> такиеПолучаем, что <tex>S' \Rightarrow^* w_0 \gammaldots w_{i'-1} A' B \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k} </tex>. Значит при , значит <tex>S \gamma = Rightarrow^* w_0 \gammaldots w_{i' -1} \alpha', A \delta = \beta ' \delta'' </tex> выполнено , следовательно <tex> S' \Rightarrow^* w_0 \ldots w_{i'-1} w_{i'} \gamma ldots w_{i-1} A \delta' \delta ''</tex>, значит для в итоге <tex>[A S' \rightarrow Rightarrow^* w_0 \alpha ldots w_{i-1} A \cdot \beta, i]delta</tex> утверждение верно, что нам и требовалось.

=====В каждый список попадут все ситуации, которые ему принадлежат3. Включаем по правилу <tex> \mathtt{complete} \ </tex>.<br/>По построению:=====Для всех наборов <tex>\tau alpha = {\alpha, \beta, \gamma, \delta, ' A, i , j} ' </tex> нужно доказать, что если и <tex> S\exists i' , \Rightarrow^* delta : [A \rightarrow \alpha ' \gamma cdot A ' \deltabeta, i] \gamma \Rightarrow^* a_1...a_in D_{i'}, \wedge [A ' \rightarrow \alpha eta \beta cdot, i'] \in P, D_j</tex>.<br/>Cледовательно <tex>\alpha = \alpha ' A' \Rightarrow^* a_w_i \ldots w_{i+'-1}...a_w_{i'} \ldots w_{j}</tex>, то <tex> [A = w_i \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_ldots w_{j-1}</tex>, что дает нам второй пункт утверждения, а так как первый пункт следует из индукционного предположения, все хорошо.

''Рангом набора'' <b><tex> \tau Longleftarrow</tex> называется <tex/b> \tau_{1}(\tau) + 2(j + \tau_{2}(\tau) + \tau_{3}(\tau))<br/tex>, где В обратную сторону будем доказывать индукцией по суммарной длине вывода <tex>w_0 \tau_ldots w_{i-1}(A \delta \tau)</tex> — длина кратчайшего вывода из <tex>S' \Rightarrow^* \gamma A \delta </tex>, и <tex>w_i \tau_ldots w_{2j-1}(</tex> из <tex>\tau)alpha</tex> — длина кратчайшего . После чего примениминдукцию по длине вывода <tex>w_i \gamma \Rightarrow^* a_1...a_ldots w_{ij-1}</tex>, из <tex>\tau_{3}(\tau)alpha</tex> — длина кратчайшего вывода .<br/>Рассмотрим три случая последнего символа <tex>\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>.:

Докажем утверждение по индукции1.<br/>База: если ранг <tex>\taualpha = \alpha ' a</tex> равен 0, то тогда <tex>\tau_a = w_{j-1} = \tau_{2} = \tau_{3} = j = i = 0</tex>. Значит и <tex>\alpha = \gamma = ' \delta = Rightarrow^* w_i \varepsilon ldots w_{j-2}</tex>, <tex>A = S', \beta = S .<br/tex>. Значит по инициализации По предположению индукции: <tex>[S' A \rightarrow \alpha ' \cdot Sa \beta, 0i] \in I_0D_{j-1}</tex>.<br/>Индукционный переход:пусть ранг , а отсюда по правилу <tex>\taumathtt{scan}</tex> равен получаем <tex>r > 0</tex>[A \rightarrow \alpha ' a \cdot \beta, пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора <tex>i] \tauin D_{j}</tex>. Для этого рассмотрим три случая:

12. <tex>\alpha</tex> оканчивается терминалом.<br/><tex>\alpha = \alpha' aB</tex>. , тогда <tex>\exists i' : \alpha ' \Rightarrow^*a_w_i \ldots w_{i+'-1}...a_\wedge B ' \Rightarrow^* w_{i'} \ldots w_{j-1}</tex>, значит <tex>a = a_{j}.<br/tex>. Рассмотрим набор Тогда имеем <tex>[A \tau' = \mathcal {f} rightarrow \alpha', a_{j} a \cdot \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 ] \mathcal in D_{gj} </tex>. Также можно записать <tex>(A S' \rightarrow Rightarrow^* w_0 \alpha' a_ldots w_{ji-1} A \beta) \in Pdelta</tex>, следовательно ранг как <tex>S' \tauRightarrow^* w_0 \ldots w_{i-1} w_i \ldots w_{i'</tex> равен <tex>r - 21}B \beta \delta</tex>, так как а также <tex>B \tau_{1}(rightarrow \tau) = eta \tau_1(wedge \tau'), eta \tau_2(\tau) = \tau_2(\taurightarrow w_{i'), } \tau_ldots w_{3j-1}(\tau) = \tau_3(\tau')</tex>. Значит <br/>Применяя индукцию по и.п. второму параметру получим <tex>[A B \rightarrow \alpha' eta \cdot a_{j} \beta, i'] \in I_{j-1}D_j \ </tex>, откуда по правилу 1 <tex> \mathtt{complete}</tex> получаем, что <tex>[A \rightarrow \alpha ' B \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_\in D_{j}</tex>.

23. <tex>\alpha</tex> оканчивается нетерминалом.<br/> <tex>\alpha = \alpha' B</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>\mathcal {9} kvarepsilon </tex> такое, что тогда <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{=j}</tex>.<br/> Рассмотрим набор Тогда либо <tex>i = 0 \tau' wedge A = S \mathcal {f} \alpha', B \beta, \gamma, wedge \delta, A, i, k = \mathcal {g} varepsilon</tex>, его ранг меньше <tex>r</tex>. По и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \betaчто доказывает базу индукции, i] \in I_{k}</tex>. <br>Пусть <tex>B \Rightarrow \eta</tex> — первый шаг либо вывод можно записать в кратчайшем выводе виде <tex>B S' \Rightarrow^* a_w_0 \ldots w{k+i'-1}...a_w_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\taui'' = \mathcal {f} \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \mathcal ldots w{gi-1} </tex>. <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta</tex>, следовательно <tex>\tau_1(\tau'') \leqslant \tau_1(\tau) + 1</tex>.<br> Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>= w_0 \alpha' \Rightarrow^*a_ldots w_{i+-1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> B A \delta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. Тогда для некоторого правила <tex>\tau_3(A' \tau) = n_1 + n_2</tex>. Так как <tex> B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_rightarrow w_{k+1i'}...a_\ldots w_{j}</tex>, то <tex>\tau_3(\tau'') = n_2 i- 1</tex>. Очевидно, что <tex>} A \tau_2(\tau'delta ') = \tau_2(\tau) + n_1in P</tex>. Тогда ранг <tex>\tau''<br/tex> равен Отсюда по предположению индукции <tex>[A' \tau_1(rightarrow \taucdot w_{i'') + 2(} \tau_2(ldots w_{i-1} A \taudelta ', i') + ] \tau_3(\tauin D_{i'') + j) \leqslant \tau_1(\tau) + 1 + 2(\tau_2(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)</tex> <tex>= \tau_1(\tau) - 1 + 2(\tau_2(\tau) + \tau_3(\tau) + j) < r</tex>. Значит по и.п. для <tex>} \tau''</tex>, что после нескольких применений правила <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_mathtt{jscan}</tex>. Из того, что приводит к <tex>[A ' \rightarrow w_{i'} \alpha' ldots w_{i-1} \cdot B A \betadelta ', i'] \in I_D_{ki}\ </tex> и ,после чего по правилу <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_mathtt{jpredict}\ </tex> по правилу 1 или 2 получим <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_\in D_{j}\ </tex>, что и требовалось.

Рассмотрим грамматику Построим список разбора для строки <tex>Gw = (a + a)</tex> с в грамматике со следующими правилами: <br>* <tex>S \rightarrow T + S</tex> <br>* <tex>S \rightarrow T </tex> <br>* <tex>T \rightarrow F * T</tex> * <brtex>T \rightarrow F</tex>* <tex>T F \rightarrow ( S )</tex>* <tex>F\rightarrow a</tex>  {||-| {| class="wikitable"|-!<tex>D_0</tex>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0]<br/tex>|| 0|-|<tex>F [S \rightarrow ( \cdot T + S ), 0]</tex> || 3|-|<tex>[S \rightarrow \cdot T, 0]<br/tex>|| 3|-|<tex>F [T \rightarrow a\cdot F * T, 0]</tex> || 3|-|<brtex>[T \rightarrow \cdot F, 0]</tex> || 3Построим для строки |-|<tex>[F \omega = rightarrow \cdot (a + aS ), 0]</tex> список разбора.|| 3|-|<tex>[F \rightarrow \cdot a, 0]<br/tex>|| 3|}|}

<b>{| class="wikitable"|-!<tex>I_0D_1</tex></b> <br>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[S' F \rightarrow ( \cdot S), 0]</tex> — из инициализации <br>|| 1|-|<tex>[S \rightarrow \cdot T + S, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[S \rightarrow \cdot T, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[T \rightarrow \cdot F * T, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[T \rightarrow \cdot F, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[F \rightarrow \cdot ( S ), 01]</tex> — из правила || 3 <br>|-|<tex>[F \rightarrow \cdot a, 01]</tex> — из правила || 3 <br>|}|}

<b>{| class="wikitable"|-!<tex>I_1D_2</tex></b> <br>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[F \rightarrow ( a \cdot S ), 01]</tex> — из правила || 1 <br>|-|<tex>[S T \rightarrow F \cdot * T + S, 1]</tex> — из правила 3 <br>|| 2<tex>[S \rightarrow \cdot T, 1]</tex> — из правила 3 <br>|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot F * T, 1]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[T S \rightarrow T \cdot F, 1]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[F S \rightarrow T \cdot ( + S ), 1]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[F \rightarrow ( S \cdot a), 10]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|}|}

{| class="wikitable"|-!<btex>D_3</tex>I_2|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|</tex>[S \rightarrow T + \cdot S, 1]</b> <brtex>|| 1|-|<tex>[F S \rightarrow a \cdotT + S, 13]</tex> — из правила 1 <br>|| 3|-|<tex>[T S \rightarrow F \cdot * T, 13]</tex> — из правила 2 <br>|| 3|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot F * T, 13]</tex> — из правила 2<br>|| 3|-|<tex>[S T \rightarrow T \cdot F, 13]</tex> — из правила 2 <br>|| 3|-|<tex>[S F \rightarrow T \cdot + ( S), 13]</tex> — из правила 2 <br>|| 3|-|<tex>[F \rightarrow ( S \cdot )a, 03]</tex> — из правила 2 <br>|| 3|}|}

<b>{| class="wikitable"|-!<tex>I_3D_4</tex></b> <br>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[S F \rightarrow T + a \cdot S, 13]</tex> — из правила || 1 <br>|-|<tex>[S T \rightarrow F \cdot * T + S, 3]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[S T \rightarrow F \cdot T, 3]</tex> — из правила 3<br>|| 2|-|<tex>[T S \rightarrow T \cdot F * T+ S, 3]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[T S \rightarrow T \cdot F, 3]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[F S \rightarrow T + S \cdot ( S ), 31]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|-|<tex>[F \rightarrow ( S \cdot a), 30]</tex> — из правила 3 <br>|| 2|}|}

<b>{| class="wikitable"|-!<tex>I_4D_5</tex></b> <br>|-|{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[F \rightarrow a ( S )\cdot , 30]</tex> — из правила || 1 <br>|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot * T, 30]</tex> — из правила || 2 <br>|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot , 30]</tex> — из правила || 2<br>|-|<tex>[S \rightarrow T \cdot + S, 30]</tex> — из правила || 2 <br>|-|<tex>[S \rightarrow T \cdot , 30]</tex> — из правила || 2 <br>|-|<tex>[S ' \rightarrow T + S \cdot , 10]</tex> — из правила || 2 <br><tex>[F \rightarrow ( S \cdot ), 0]</tex> — из правила 2 <br>|}|}

<b><tex>I_5</tex></b> <br>Так как <tex>[F S' \rightarrow ( S )\cdot , 0]</tex> — из правила 1 <br><tex>[T \rightarrow F \cdot * T, 0]in D_5</tex> — из правила 2 <br><tex>[T \rightarrow F \cdot , 0]то </tex> — из правила 2<br><tex>[S w \rightarrow T \cdot + S, 0]</tex> — из правила 2 <br><tex>[S \rightarrow T \cdot , 0]</tex> — из правила 2 <br><tex>[S' \rightarrow S \cdot , 0]in L(G) </tex> — из правила 2 .<br>

Так как <tex>==Источники информации==*[S' \rightarrow S \cdot http://lpcs.math.msu.su/~sk/lehre/fivt2013/Earley.pdf Алексей Сорокин {{---}} Алгоритм Эрли]* Ахо А., 0] \in I_5</tex>Ульман Д.{{---}} Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. {{---}} М.:«Мир», то <tex>\omega \in L(G) </tex>1978. С. 358 — 364.<br>

==Литература==[[Категория: Теория формальных языков]]''Ахо А., Ульман Д.'' Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. — М.[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]][[Категория:«Мир», 1978. С. 358 — 364.Алгоритмы разбора]]