Алгоритм Эрли — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Корректность алгоритма)
(Добил доказательство, уф.)
Строка 62: Строка 62:
  
 
1. Включаем по правилу 1.<br/>
 
1. Включаем по правилу 1.<br/>
Тогда <tex>\alpha = \alpha' a_{j} , [A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>. По предположению, <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j-1} </tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{i} </tex>. Значит, <tex> \alpha = \alpha' a_{j} \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} </tex> и при <tex>\gamma = \gamma', \delta = \delta'</tex> <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j</tex>.
+
Тогда <tex>\alpha = \alpha' a_{j} , [A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>. По предположению, <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j-1} </tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{i} </tex>. Значит, <tex> \alpha = \alpha' a_{j} \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} </tex> и при <tex>\gamma = \gamma', \delta = \delta'</tex> <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j</tex>.
  
 
2. Включаем по правилу 2.<br/>
 
2. Включаем по правилу 2.<br/>
Тогда <tex>\alpha = \alpha' B , [A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, k] \in I_{i}</tex> и <tex> [B \rightarrow \eta \cdot, i] \in I_{j} </tex>. По предположению, <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}, \eta \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} </tex>, откуда <tex>\alpha = \alpha' B \Rightarrow^*a_{k+1}...a_{j} </tex>. Кроме того, существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{k} </tex>. Значит, при <tex>\gamma = \gamma', \delta = \delta'</tex> <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j</tex>.
+
Тогда <tex>\alpha = \alpha' B , [A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, k] \in I_{i}</tex> и <tex> [B \rightarrow \eta \cdot, i] \in I_{j} </tex>. По предположению, <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}, \eta \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} </tex>, откуда <tex>\alpha = \alpha' B \Rightarrow^*a_{k+1}...a_{j} </tex>. Кроме того, существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{k} </tex>. Значит, при <tex>\gamma = \gamma', \delta = \delta'</tex> <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j</tex>.
  
 
3. Включаем по правилу 3.<br/>
 
3. Включаем по правилу 3.<br/>
Тогда <tex>\alpha = \varepsilon, i = j, [B \rightarrow \alpha' \cdot A \eta, k] \in I_{j}, A \Rightarrow \beta</tex>. По предположению <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}</tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k} </tex>. Значит, при <tex>\gamma = \gamma' \alpha', \delta = \eta \delta' </tex>  выполнено <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta</tex>, следовательно <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j</tex>.
+
Тогда <tex>\alpha = \varepsilon, i = j, [B \rightarrow \alpha' \cdot A \eta, k] \in I_{j}, A \Rightarrow \beta</tex>. По предположению <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}</tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k} </tex>. Значит, при <tex>\gamma = \gamma' \alpha', \delta = \eta \delta' </tex>  выполнено <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta</tex>, следовательно <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j</tex>.
  
 
=====В каждый список попадут все ситуации, которые ему принадлежат:=====
 
=====В каждый список попадут все ситуации, которые ему принадлежат:=====
Для всех наборов <tex>\tau = {\alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j} </tex> нужно доказать, что если <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, A \rightarrow \alpha \beta \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>, то <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_{j}</tex>.
+
Для всех наборов <tex>\tau = \langle \alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j \rangle</tex> нужно доказать, что, если <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, (A \rightarrow \alpha \beta) \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>, то алгоритм добавит <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> в <tex> I_{j}</tex>.
  
''Рангом набора'' <tex> \tau </tex> называется <tex> \tau_{1}(\tau) + 2(j + \tau_{2}(\tau) + \tau_{3}(\tau))</tex>, где <tex>\tau_{1}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>S' \Rightarrow^* \gamma A \delta </tex>, <tex>\tau_{2}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}</tex>, <tex>\tau_{3}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>.
+
''Рангом набора'' <tex> \tau </tex> называется <tex> \tau_{S'}(\tau) + 2(j + \tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau))</tex>, где <tex>\tau_{S'}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>S' \Rightarrow^* \gamma A \delta </tex>, <tex>\tau_{\gamma}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}</tex>, <tex>\tau_{\alpha}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>.
  
Докажем утверждение по индукции.<br/>
+
Докажем утверждение индукцией по рангу набора.<br/>
База: если ранг <tex>\tau</tex> равен 0, то <tex>\tau_{1} = \tau_{2} = \tau_{3} = j = i = 0</tex>. Значит <tex>\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon </tex>, <tex>A = S', \beta = S </tex>. Значит по инициализации <tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0] \in I_0</tex>.<br/>
+
База: если ранг <tex>\tau</tex> равен 0, то <tex>\tau_{S'} = \tau_{\gamma} = \tau_{\alpha} = j = i = 0</tex>. Значит, <tex>A = S'</tex>, <tex>\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon </tex>, <tex>\beta = S </tex>. При инициализации такая ситуация <tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0]</tex> будет добавлена в <tex>I_0</tex>.<br/>
 
Индукционный переход:
 
Индукционный переход:
 
пусть ранг <tex>\tau</tex> равен <tex>r > 0</tex>, пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора <tex>\tau</tex>. Для этого рассмотрим три случая:
 
пусть ранг <tex>\tau</tex> равен <tex>r > 0</tex>, пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора <tex>\tau</tex>. Для этого рассмотрим три случая:
  
 
1. <tex>\alpha</tex> оканчивается терминалом.<br/>
 
1. <tex>\alpha</tex> оканчивается терминалом.<br/>
<tex>\alpha = \alpha' a</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>a = a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \mathcal {g} </tex>. <tex>(A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta) \in P</tex>, следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 2</tex>, так как <tex>\tau_{1}(\tau) = \tau_1(\tau'), \tau_2(\tau) = \tau_2(\tau'), \tau_{3}(\tau) = \tau_3(\tau')</tex>. Значит по и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>, по правилу 1 получаем, что <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.
+
<tex>\alpha = \alpha' c</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>c = a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \langle \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \rangle </tex>. <tex>(A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta) \in P</tex>, следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 2</tex>, так как <tex>\tau_{S'}(\tau) = \tau_{S'}(\tau'), \tau_{\gamma}(\tau) = \tau_{\gamma}(\tau'), \tau_{\alpha}(\tau) = \tau_{\alpha}(\tau')</tex>. Значит, по предположению <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex> и <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex> по правилу 1.
  
 
2. <tex>\alpha</tex> оканчивается нетерминалом.<br/>  
 
2. <tex>\alpha</tex> оканчивается нетерминалом.<br/>  
<tex>\alpha = \alpha' B</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>\mathcal {9} k</tex> такое, что <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>.<br> Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \mathcal {g} </tex>, его ранг меньше <tex>r</tex>. По и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex>. <br>Пусть <tex>B \Rightarrow \eta</tex> — первый шаг в кратчайшем выводе <tex>B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau'' = \mathcal {f} \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \mathcal {g} </tex>. <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta</tex>, следовательно <tex>\tau_1(\tau'') \leqslant \tau_1(\tau) + 1</tex>.<br> Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. Тогда <tex>\tau_3(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Так как <tex> B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>, то <tex>\tau_3(\tau'') = n_2 - 1</tex>. Очевидно, что <tex>\tau_2(\tau'') = \tau_2(\tau) + n_1</tex>. Тогда ранг <tex>\tau''</tex> равен <tex>\tau_1(\tau'') + 2(\tau_2(\tau'') + \tau_3(\tau'') + j) \leqslant \tau_1(\tau) + 1 + 2(\tau_2(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)</tex> <tex>= \tau_1(\tau) - 1 + 2(\tau_2(\tau) + \tau_3(\tau) + j) < r</tex>. Значит по и.п. для <tex>\tau''</tex>, <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex>. Из того, что <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex> и <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex> по правилу 1 или 2 <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.
+
<tex>\alpha = \alpha' B</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>\mathcal {9} k</tex> такое, что <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>.<br/>
 +
Рассмотрим набор <tex>\tau' = \langle \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \rangle</tex>, его ранг меньше <tex>r</tex>, следовательно <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex> по предположению.<br/>
 +
Пусть <tex>B \Rightarrow \eta</tex> — первый шаг в кратчайшем выводе <tex>B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau'' = \langle \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \rangle</tex>. <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta</tex>, следовательно <tex>\tau_{S'}(\tau'') \leqslant \tau_{S'}(\tau) + 1</tex>.<br> Пусть длина кратчайшего вывода <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}</tex> равна <tex>n_1</tex>, а длина кратчайшего вывода <tex> B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> равна <tex>n_2</tex>. Тогда <tex>\tau_{\alpha}(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Так как <tex> B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>, то <tex>\tau_{\alpha}(\tau'') = n_2 - 1</tex>. Очевидно, что <tex>\tau_{\gamma}(\tau'') = \tau_{\gamma}(\tau) + n_1</tex>. Тогда ранг <tex>\tau''</tex> равен <tex>\tau_{S'}(\tau'') + 2(\tau_{\gamma}(\tau'') + \tau_{\alpha}(\tau'') + j) \leqslant \tau_{S'}(\tau) + 1 + 2(\tau_{\gamma}(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)</tex> <tex>= \tau_{S'}(\tau) - 1 + 2(\tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau) + j) < r</tex>. Значит, по предположению для <tex>\tau''</tex>, <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex>. Из того, что <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex> и <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex>, по правилу 2 <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.
  
3. <tex>\alpha</tex> является пустой.<br/>
+
3. <tex>\alpha = \varepsilon</tex>.<br/>
<tex>\alpha = \varepsilon</tex>, значит <tex>i = j, \tau_3(\tau) = 0, A \rightarrow \beta \in P</tex>.<br> Если <tex> \tau_1(\tau) = 0</tex>, то <tex> \gamma = \varepsilon</tex>, следовательно <tex> \tau_2(\tau) = 0, i = 0 </tex>, откуда <tex> r = 0</tex>, а по и.п. <tex>r > 0</tex>. Значит <tex> \tau_1(\tau) \neq 0</tex>. Тогда <tex> \mathcal {9} B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta''</tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''</tex>, где <tex>B = \gamma'' A \delta'' \in P</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \mathcal {g} </tex>, где <tex>k</tex> такое, что <tex>\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. <br>Найдем ранг <tex>\tau'</tex>. <tex>\tau_1(\tau') = \tau_1(\tau) - 1, \tau_2(\tau') = n_1, \tau_3(\tau') = n_2, \tau_3(\tau) = 0, \tau_2(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 1</tex>. Значит по и.п. <tex>[B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}</tex>, следовательно по правилу 3 <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.
+
В этом случае <tex>i = j, \tau_{\alpha}(\tau) = 0, (A \rightarrow \beta) \in P</tex>.<br/>
 +
<tex>\tau_{S'}(\tau) \neq 0</tex> т.к. иначе <tex> \gamma = \varepsilon</tex>, следовательно <tex> \tau_{\gamma}(\tau) = 0, i = 0 </tex>, откуда <tex> r = 0</tex>, но <tex>r > 0</tex>.
 +
Т.к. <tex>\tau_{S'}(\tau) > 0</tex>, <tex> \exists B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta'' : S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''</tex>, где <tex>(B \rightarrow \gamma'' A \delta'') \in P</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \langle \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \rangle</tex>, где <tex>k</tex> такое, что <tex>\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>.
 +
Пусть длина кратчайшего вывода <tex>\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}</tex> равна <tex>n_1</tex>, а длина кратчайшего вывода <tex> \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> равна <tex>n_2</tex>.<br/>
 +
Найдем ранг <tex>\tau'</tex>. <tex>\tau_{S'}(\tau') = \tau_{S'}(\tau) - 1, \tau_{\gamma}(\tau') = n_1, \tau_{\alpha}(\tau') = n_2</tex>. <tex>\tau_{\alpha}(\tau) = 0, \tau_{\gamma}(\tau) = n_1 + n_2</tex>, следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 1</tex>. Значит, по предположению <tex>[B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}</tex>, следовательно по правилу 3 <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 22:02, 18 января 2012

Алгоритм Эрли позволяет определить, выводится ли данное слово [math]\omega[/math] в данной контекстно-свободной грамматике [math]G[/math].

Вход: КС грамматика [math] G=\langle N,\Sigma, P, S \rangle[/math] и слово [math]\omega[/math].
Выход: [math]true[/math], если [math]\omega[/math] выводится в [math]G[/math]; [math]false[/math] — иначе.

Определения

Определение:
Пусть [math]G = (N, \Sigma, P, S)[/math]контекстно-свободная грамматика и [math]\omega = a_1 a_2 ... a_n[/math] — входная цепочка из [math]\Sigma^*[/math]. Объект вида [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math], где [math]A \rightarrow \alpha \beta [/math] — правило из [math]P[/math] и [math]0 \leqslant i \leqslant n[/math] — позиция в [math]\omega[/math], называется ситуацией, относящейся к цепочке [math]\omega[/math].


Определение:
[math]j[/math]-м списком ситуаций [math]I_j[/math] для входной цепочки [math]\omega = a_1 a_2 ... a_n[/math], где [math]0 \leqslant j \leqslant n[/math], называется множество ситуаций [math]\lbrace [A \rightarrow \alpha \cdot \beta , i] \mid \alpha \Rightarrow^* a_{i+1} ... a_j; \exists \gamma, \delta : S \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_i \rbrace[/math]. То есть [math]\gamma \alpha [/math] выводит часть [math]\omega[/math] c первого по [math]j[/math]-й символ.


Лемма:
[math](\exists \alpha : [S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in I_n) \Leftrightarrow \omega \in L(G)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Поскольку [math]S \Rightarrow^* \gamma S \delta[/math] (при [math]\gamma = \delta = \varepsilon[/math]), из определения [math]I_n[/math] получаем, что [math]([S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in I_n) \Leftrightarrow (S \Rightarrow \alpha \Rightarrow^* a_1 ... a_n = \omega)[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Последовательность списков ситуаций [math]I_0, I_1, .., I_n[/math] называется списком разбора для входной цепочки [math]\omega[/math].


Алгоритм Эрли

Построим список разбора для [math]\omega[/math] с помощью данного алгоритма и воспользуемся леммой, доказанной выше.

Для простоты добавим новый стартовый вспомогательный нетерминал [math]S'[/math] и правило [math]S' \rightarrow S[/math].

[math]I_0[/math] ∪= [math][S' \rightarrow \cdot S, 0][/math] # Правило (0) — инициализация
useful_loop(0)

for i = 1..n
    for [math][A \rightarrow \alpha \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}[/math]
        [math]I_j[/math] ∪= [math][A \rightarrow \alpha a_{j} \cdot \beta, i][/math] # Правило (1)
    useful_loop(j)
function useful_loop(j):
    do
        for [math][B \rightarrow \eta \cdot , i] \in I_j[/math]
            for [math][A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, k] \in I_{i}[/math]
                [math]I_j[/math] ∪= [math][A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k][/math] # Правило (2)
            
        for [math][B \rightarrow \alpha \cdot A \eta, k] \in I_j[/math]
            for [math]\beta : (A \rightarrow \beta) \in P[/math]
                [math]I_j[/math] ∪= [math][A \rightarrow \cdot \beta, j][/math] # Правило (3)
    while на данной итерации какое-то множество изменилось

Корректность алгоритма

Теорема:
Приведенный алгоритм правильно строит все списки ситуаций.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Алгоритм не добавит в список ситуацию, которая ему не принадлежит:

Докажем индукцией по исполнению алгоритма.
База (инициализация): [math]\alpha = \varepsilon \Rightarrow^* \varepsilon [/math] и [math]S' \Rightarrow^* \gamma S \delta [/math] при [math]\gamma = \delta = \varepsilon [/math].
Индукционный переход: пусть в [math] I_{0},...,I_{j} [/math] нет лишних ситуаций. Пусть включаем [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] в [math]I_{j}[/math]. Рассмотрим три случая:

1. Включаем по правилу 1.
Тогда [math]\alpha = \alpha' a_{j} , [A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}[/math]. По предположению, [math]\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j-1} [/math] и существуют [math]\gamma'[/math] и [math]\delta' [/math] такие, что [math]S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{i} [/math]. Значит, [math] \alpha = \alpha' a_{j} \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} [/math] и при [math]\gamma = \gamma', \delta = \delta'[/math] [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j[/math].

2. Включаем по правилу 2.
Тогда [math]\alpha = \alpha' B , [A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, k] \in I_{i}[/math] и [math] [B \rightarrow \eta \cdot, i] \in I_{j} [/math]. По предположению, [math]\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}, \eta \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} [/math], откуда [math]\alpha = \alpha' B \Rightarrow^*a_{k+1}...a_{j} [/math]. Кроме того, существуют [math]\gamma'[/math] и [math]\delta' [/math] такие, что [math]S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{k} [/math]. Значит, при [math]\gamma = \gamma', \delta = \delta'[/math] [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j[/math].

3. Включаем по правилу 3.
Тогда [math]\alpha = \varepsilon, i = j, [B \rightarrow \alpha' \cdot A \eta, k] \in I_{j}, A \Rightarrow \beta[/math]. По предположению [math]\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}[/math] и существуют [math]\gamma'[/math] и [math]\delta' [/math] такие, что [math]S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k} [/math]. Значит, при [math]\gamma = \gamma' \alpha', \delta = \eta \delta' [/math] выполнено [math] S' \Rightarrow^* \gamma A \delta[/math], следовательно [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_j[/math].

В каждый список попадут все ситуации, которые ему принадлежат:

Для всех наборов [math]\tau = \langle \alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j \rangle[/math] нужно доказать, что, если [math] S' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, (A \rightarrow \alpha \beta) \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}[/math], то алгоритм добавит [math] [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] в [math] I_{j}[/math].

Рангом набора [math] \tau [/math] называется [math] \tau_{S'}(\tau) + 2(j + \tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau))[/math], где [math]\tau_{S'}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]S' \Rightarrow^* \gamma A \delta [/math], [math]\tau_{\gamma}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}[/math], [math]\tau_{\alpha}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}[/math].

Докажем утверждение индукцией по рангу набора.
База: если ранг [math]\tau[/math] равен 0, то [math]\tau_{S'} = \tau_{\gamma} = \tau_{\alpha} = j = i = 0[/math]. Значит, [math]A = S'[/math], [math]\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon [/math], [math]\beta = S [/math]. При инициализации такая ситуация [math][S' \rightarrow \cdot S, 0][/math] будет добавлена в [math]I_0[/math].
Индукционный переход: пусть ранг [math]\tau[/math] равен [math]r \gt 0[/math], пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора [math]\tau[/math]. Для этого рассмотрим три случая:

1. [math]\alpha[/math] оканчивается терминалом.
[math]\alpha = \alpha' c[/math]. [math]\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}[/math], значит [math]c = a_{j}[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau' = \langle \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \rangle [/math]. [math](A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta) \in P[/math], следовательно ранг [math]\tau'[/math] равен [math]r - 2[/math], так как [math]\tau_{S'}(\tau) = \tau_{S'}(\tau'), \tau_{\gamma}(\tau) = \tau_{\gamma}(\tau'), \tau_{\alpha}(\tau) = \tau_{\alpha}(\tau')[/math]. Значит, по предположению [math][A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}[/math] и [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math] по правилу 1.

2. [math]\alpha[/math] оканчивается нетерминалом.
[math]\alpha = \alpha' B[/math]. [math]\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}[/math], значит [math]\mathcal {9} k[/math] такое, что [math]\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math].
Рассмотрим набор [math]\tau' = \langle \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \rangle[/math], его ранг меньше [math]r[/math], следовательно [math][A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}[/math] по предположению.
Пусть [math]B \Rightarrow \eta[/math] — первый шаг в кратчайшем выводе [math]B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau'' = \langle \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \rangle[/math]. [math]S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta[/math], следовательно [math]\tau_{S'}(\tau'') \leqslant \tau_{S'}(\tau) + 1[/math].
Пусть длина кратчайшего вывода [math]\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}[/math] равна [math]n_1[/math], а длина кратчайшего вывода [math] B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math] равна [math]n_2[/math]. Тогда [math]\tau_{\alpha}(\tau) = n_1 + n_2[/math]. Так как [math] B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math], то [math]\tau_{\alpha}(\tau'') = n_2 - 1[/math]. Очевидно, что [math]\tau_{\gamma}(\tau'') = \tau_{\gamma}(\tau) + n_1[/math]. Тогда ранг [math]\tau''[/math] равен [math]\tau_{S'}(\tau'') + 2(\tau_{\gamma}(\tau'') + \tau_{\alpha}(\tau'') + j) \leqslant \tau_{S'}(\tau) + 1 + 2(\tau_{\gamma}(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)[/math] [math]= \tau_{S'}(\tau) - 1 + 2(\tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau) + j) \lt r[/math]. Значит, по предположению для [math]\tau''[/math], [math][B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}[/math]. Из того, что [math][A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}[/math] и [math][B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}[/math], по правилу 2 [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math].

3. [math]\alpha = \varepsilon[/math].
В этом случае [math]i = j, \tau_{\alpha}(\tau) = 0, (A \rightarrow \beta) \in P[/math].
[math]\tau_{S'}(\tau) \neq 0[/math] т.к. иначе [math] \gamma = \varepsilon[/math], следовательно [math] \tau_{\gamma}(\tau) = 0, i = 0 [/math], откуда [math] r = 0[/math], но [math]r \gt 0[/math]. Т.к. [math]\tau_{S'}(\tau) \gt 0[/math], [math] \exists B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta'' : S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''[/math], где [math](B \rightarrow \gamma'' A \delta'') \in P[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau' = \langle \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \rangle[/math], где [math]k[/math] такое, что [math]\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math]. Пусть длина кратчайшего вывода [math]\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}[/math] равна [math]n_1[/math], а длина кратчайшего вывода [math] \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math] равна [math]n_2[/math].

Найдем ранг [math]\tau'[/math]. [math]\tau_{S'}(\tau') = \tau_{S'}(\tau) - 1, \tau_{\gamma}(\tau') = n_1, \tau_{\alpha}(\tau') = n_2[/math]. [math]\tau_{\alpha}(\tau) = 0, \tau_{\gamma}(\tau) = n_1 + n_2[/math], следовательно ранг [math]\tau'[/math] равен [math]r - 1[/math]. Значит, по предположению [math][B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}[/math], следовательно по правилу 3 [math][A \rightarrow \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Пример

Рассмотрим грамматику [math]G[/math] с правилами:
[math]S \rightarrow T + S[/math]
[math]S \rightarrow T [/math]
[math]T \rightarrow F * T[/math]
[math]T \rightarrow F[/math]
[math]F \rightarrow ( S )[/math]
[math]F \rightarrow a[/math]
Построим для строки [math]\omega = (a + a)[/math] список разбора.


[math]I_0[/math]
[math][S' \rightarrow \cdot S, 0][/math] — из инициализации
[math][S \rightarrow \cdot T + S, 0][/math] — из правила 3
[math][S \rightarrow \cdot T, 0][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F * T, 0][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F, 0][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot ( S ), 0][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot a, 0][/math] — из правила 3


[math]I_1[/math]
[math][F \rightarrow ( \cdot S ), 0][/math] — из правила 1
[math][S \rightarrow \cdot T + S, 1][/math] — из правила 3
[math][S \rightarrow \cdot T, 1][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F * T, 1][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F, 1][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot ( S ), 1][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot a, 1][/math] — из правила 3


[math]I_2[/math]
[math][F \rightarrow a \cdot, 1][/math] — из правила 1
[math][T \rightarrow F \cdot * T, 1][/math] — из правила 2
[math][T \rightarrow F \cdot , 1][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot , 1][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot + S, 1][/math] — из правила 2
[math][F \rightarrow ( S \cdot ), 0][/math] — из правила 2


[math]I_3[/math]
[math][S \rightarrow T + \cdot S, 1][/math] — из правила 1
[math][S \rightarrow \cdot T + S, 3][/math] — из правила 3
[math][S \rightarrow \cdot T, 3][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F * T, 3][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F, 3][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot ( S ), 3][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot a, 3][/math] — из правила 3


[math]I_4[/math]
[math][F \rightarrow a \cdot , 3][/math] — из правила 1
[math][T \rightarrow F \cdot * T, 3][/math] — из правила 2
[math][T \rightarrow F \cdot , 3][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot + S, 3][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot , 3][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T + S \cdot , 1][/math] — из правила 2
[math][F \rightarrow ( S \cdot ), 0][/math] — из правила 2


[math]I_5[/math]
[math][F \rightarrow ( S )\cdot , 0][/math] — из правила 1
[math][T \rightarrow F \cdot * T, 0][/math] — из правила 2
[math][T \rightarrow F \cdot , 0][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot + S, 0][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot , 0][/math] — из правила 2
[math][S' \rightarrow S \cdot , 0][/math] — из правила 2


Так как [math][S' \rightarrow S \cdot , 0] \in I_5[/math], то [math]\omega \in L(G) [/math].

Литература

Ахо А., Ульман Д. Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. — М.:«Мир», 1978. С. 358 — 364.