Изменения

Рассмотрим неориентированный невзвешенный [[Основные определения теории графов|граф]] <tex> G =\langle V, E \rangle </tex>, где <tex>V </tex> {{---}} множество [[Основные определения теории графов| вершин]], <tex>E </tex> {{Определение---}} множество [[Основные определения теории графов|рёбер]]. Требуется найти в нём максимальное паросочетание. Приведём пример, на котором [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|definition= Соцветие алгоритм Куна]] работать не будет. Рассмотрим граф <tex>BG</tex> графа с множеством вершин <tex>GV=(V{1,2,3,E)4} </tex> , и множеством рёбер {{- цикл, состоящий из --}}<tex>2k + E={\langle 1,2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 1\rangle, \langle 2, 4 \rangle}</tex> ребери пусть ребро <tex>\langle 2, 3\rangle</tex> взято в паросочетание. Тогда при запуске из которых только вершины <tex>k1</tex> входят , если обход пойдёт сначала в соцветие вершину <tex>B2</tex>.}}{{Определение|definition= Cжатие соцветия - граф , то он зайдёт в тупик в вершине <tex>G'3</tex>, полученный из вместо того чтобы найти увеличивающую цепь <tex>G1-3-2-4</tex> сжатием соцветия . Как видно на этом примере, основная проблема заключается в том, что при попадании в одну псевдо-вершину.}}{{Определение|definition= База соцветия - вершина соцветияцикл нечётной длины, обход может пойти по циклу в которую входит ребро не из данного соцветиянеправильном направлении.}}

Пусть даны граф <tex>G</tex>, паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex> существует соцветие и цикл <tex>Z</tex> длины <tex>2k+1</tex>, содержащий <tex>k</tex> рёбер паросочетания <tex>M</tex> и вершинно непересекающийся с остальными рёбрами из <tex>BM</tex>.Построим новый граф <tex>G'<br /tex> из графа <tex>G</tex>, сжимая цикл <tex>Z</tex>до единичной вершины, при этом все ребра, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными вершине в новом графе. Тогда паросочетание <tex>M -E(Z)</tex>, где <tex>E(z)</tex> {{---}} ребра, инцидентные циклу, является наибольшим в <tex>G'</tex> существует удлиняющий путь тогда и только тогда, когда существует удлиняющий путь М {{---}} наибольшее паросочетание в <tex>G\setminus B</tex>

Пусть граф Предположим, что <tex>M</tex> не является наибольшим паросочетанием в <tex>G'</tex> - граф, полученный тогда в силу [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих_цепях|теоремы о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]] существует увеличивающая относительно <tex>M</tex> цепь <tex>P</tex>. Если <tex>P</tex> не пересекается с <tex>GZ</tex> сжатием соцветия , то цепь является увеличивающей относительно <tex>BM'</tex> и в псевдо-вершину графе <tex>G'</tex>, а значит, <tex>BM'</tex>не может быть наибольшим паросочетанием.Поэтому предположим, что цепь <tex>P</tex> пересекается с <tex>Z<br /tex>. Заметим, что достаточно рассматривать случайхотя бы одна концевая вершина цепи <tex>P</tex> не лежит на <tex>Z</tex>, когда база соцветия является свободной вершиной (не принадлежащей паросочетанию)обозначим её через <tex>u</tex>. ДействительноТогда пройдём по цепи <tex>P</tex>, в противном случае в базе соцветия оканчивается чередующийся путь чётной длиныначиная с <tex>u</tex> до первой встречной вершины на <tex>Z</tex>, начинающийся в свободной вершинеобозначим её через <tex>v</tex>. Прочередовав паросочетание вдоль этого путиТогда, при сжатии цикла <tex>Z</tex>, участок <tex>P[u, мощность паросочетания v]</tex> отобразится на увеличивающую цепь относительно <tex>M'</tex>, то есть <tex>M'</tex> не изменитсяявляется максимальным паросочетанием, а база соцветия станет свободной вершинойчто противоречит нашему предположению.

Теперь допустим, что <tex>\RightarrowM'</tex>не является наибольшим паросочетанием в графе <tex>G'</tex>. Обозначим через <tex>N'</tex> паросочетание в <tex>G'</tex>, мощности большей, чем <tex>M'</tex>. Восстановим граф <tex>G</tex>, тогда <tex>N'</tex> будет соответствовать некоторому паросочетанию в <tex>G</tex>, покрывающему не более одной вершины в <tex>Z</tex>. Следовательно паросочетание <tex>N'</tex> можно увеличить, используя <tex>k</tex> рёбер цикла <tex>Z</tex>, и получить паросочетание <tex>N</tex>, размера <tex>|N| = |N'|+k > |M'|+k = |M|</tex>, то есть <tex>M</tex> не является наибольшим паросочетанием в <tex>G</tex>, приходим к противоречию. Таким образом теорема доказана.}}

Пусть путь <tex>P</tex> является удлиняющим в графе <tex>G</tex>Для простоты описания алгоритма введём некоторые определения. Если <tex>P</tex> не проходит через <tex>B</tex>, то тогда он будет удлиняющим и в графе <tex>G{{Определение|definition= Будем называть '''соцветием'''</tex>. <br />Пусть проходит через <tex>B</tex>. Тогда что путь P представляет собой некоторый путь <tex>P_1</tex>, не проходящий по вершинам <tex>B</tex>, плюс некоторый путь <tex>P_2</tex>, проходящий по вершинам <tex>B</tex> и, возможно, другим вершинам. Но тогда путь <tex>P_1 + B'</tex> будет являться удлиняющим путём в графе графа <tex>G'</tex>, что и требовалось доказатьего цикл нечётной длины.

'''Cжатием соцветия''' назовём граф <tex>\LeftarrowG'</tex>, полученный из <tex>G</tex> сжатием всего нечётного цикла в одну псевдо-вершину. Все рёбра, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными псевдо-вершине в новом графе.

Пусть путь <tex>P</tex> является увеличивающим путём в графе <tex>G'</tex>. Если <tex>P</tex> не проходит через <tex>B'</tex>'База соцветия''' - вершина соцветия, то тогда он будет удлиняющим и в графе <tex>G</tex>которую входит ребро не из данного соцветия. <br />}}

Рассмотрим отдельно случай[[Файл:blossom1.jpg|300px|Рис. 1]][[Файл:blossom2.jpg|300px|Рис. 2]] ==Алгоритм вырезания соцветий==Опишем алгоритм, когда позволяющий находить максимальное паросочетание для произвольного графа <tex>G</tex>. Из теоремы Эдмондса понятно, что необходимо рассматривать паросочетание в сжатом графе, где его можно найти, к примеру, при помощи алгоритма [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|Куна]], а после восстанавливать паросочетание в исходном графе. Основную сложность представляют операции сжатия и восстановления цветков. Чтобы эффективно это делать, для каждой вершины необходимо хранить указатель на базу цветка, которому она принадлежит, или на себя в противном случае. Предположим, что для поиска паросочетаний в сжатом графе, мы используем обход в ширину. Тогда на каждой итерации алгоритма будет строиться дерево обхода в ширину, причём путь в нём до любой вершины будет являться чередующимся путём, начинающимся с корня этого дерева. Будем класть в очередь только те вершины, расстояние от корня до которых в дереве путей чётно. Также для каждой вершины, расстояние до которой нечётно, в массиве предков <tex>p[]</tex> необходимо хранить её предка {{---}} чётную вершину. Заметим, что если в процессе обхода в ширину мы из текущей вершины <tex>Pv</tex> начинается со сжатого соцветия приходим в такую вершину <tex>B'u</tex>, тчто она является корнем или принадлежит паросочетанию и дереву путей, то обе эти вершины принадлежат некоторому цветку.еДействительно, при выполнении этих условий эти вершины являются чётными вершинами, следовательно расстояние от них до их наименьшего общего предка имеет одну чётность. имеет вид Найдём наименьшего общего предка <tex>lca(B'u, c, ...v)</tex>. Тогда в соцветии вершин <tex>Bu</tex> найдётся соответствующая вершина , <tex>v</tex>, которая связана ребром с который является базой цветка. Для нахождения самого цикла необходимо пройтись от вершин <tex>u</tex>, <tex>cv</tex>до базы цветка. ЗаметимВ явном виде цветок сжимать не будем, просто положим в очередь обхода в ширину все вершины, что из принадлежащие цветку. Также для всех чётных вершин (за исключением базы соцветия всегда найдётся чередующийся путь чётной длины до вершины ) назначим предком соседнюю вершину в цикле, а для вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex>назначим предками друг друга. Учитывая всё вышесказанноеЭто позволит корректно восстановить цветок в случае, получаемкогда при восстановлении увеличивающего пути мы зайдем в нечётную вершину цикла. == Оценка сложности == Всего имеется <tex>V</tex> итераций, что путь на каждой из которых выполняется обход в ширину за <tex>P_1O(b,...vE)</tex>,...cкроме того,могут происходить операции сжатия цветков — их может быть <tex>O(V)</tex>..Сжатие соцветий работает за <tex>O(V)</tex> является увеличивающим путём в графе , то есть общая асимптотика алгоритма составит <tex>GO(V(E + V^2)) = O(V^3)</tex>.}}==Литература==*''Ловас, Пламмер'' '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике и физике'''*[http://e-maxx.ru/algo/matching_edmonds Алгоритм Эдмондса нахождения наибольшего паросочетания в произвольных графах]

==Алгоритм==Пусть дан произвольный граф <tex>G(V, E)</tex> [[Категория: Алгоритмы и требуется найти максимальное паросочетание в нём. <br>структуры данных]]Для построения алгоритма по [[Теорема Категория: Задача о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|теореме Бержа]] нужно уметь находить дополняющую цепь.