105
правок
Изменения
м
Алгоритм масштабирования Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0D1.BF81.D0.BEB5.D1.82.D0.BE.D0.BA.D0.B0B8|потокасеть]] {{---}} алгоритм поиска максимального потока, основывающийся на предположении<tex> G </tex>, что все рёбра которой имеют целочисленную [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|пропускные способностипропускную способность]] всех ребер выражаются целыми числами. Время работы алгоритма составляет Обозначим за <tex> OU </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E^2 \log U} c(u, v) </tex>, что может быть много меньше времени работы [[Дискретная_математика,_алгоритмы_и_структуры_данных#.D0.97.D0.B0.D0.B4.D0.B0.D1.87.D0.B0_.D0.BE_.D0.BC.D0.B0.D0.BA.D1.81.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D0.BC_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.BE.D0.BA.D0.B5|аналогичных алгоритмов]] поиска максимального потока.
Пусть дана Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1D0.81BF.D0.B5BE.D1.82.D0.B8BE.D0.BA.D0.B0|сетьпоток]] <tex> G </tex>по ним, все ребра которой имеют целочисленную пропускную способностьа затем по всем остальным. Обозначим за Для этого воспользуемся масштабом <tex> U \Delta </tex> максимальную пропускную способность: . Изначально положим <tex> U \Delta = 2^{\maxlfloor \limits_{(u, v) log_2 U \in Erfloor} c(u, v) </tex>.
Идея алгоритма заключается На каждой итерации в нахождении путей [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющей сети]] алгоритм находит [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющие пути]] с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся масштабом не меньшей <tex> \Delta </tex>и увеличивает поток вдоль них. Изначально положим Уменьшив масштаб <tex> \Delta = </tex> в <tex> 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} </tex>раза, переходит к следующей итерации.
На каждой итерации в [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющей сети]] находим [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющие пути]] с пропускной способностью не меньшей <tex> \Delta </tex>, увеличиваем поток вдоль них.Уменьшив масштаб <tex> \Delta </tex> в <tex> 2 </tex> раза, переходим к следующей итерации. ЗаметимОчевидно, что при <tex> \Delta = 1 </tex> алгоритм вырождается в алгоритм [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Эдмондса-Карпа]], вследствие чего является корректным.
{{Утверждение
|statement=
Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
|proof=
В ходе выполнения алгоритма масштаб <tex> \Delta </tex> принимает следующие значения: <tex> S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0\} </tex>. Тогда <tex> |S| = O(\log U) </tex> {{---}} количество итераций алгоритма.
Количество дополняющих Суммарное количество увеличивающих путей с масштабом {{---}} <tex> 2^k </tex> не превосходит <tex> 2E O(E \log U) </tex>.
Каждый На некоторой итерации алгоритма каждый дополняющий путь имеет пропускную способность не меньше <tex> 2^k </tex>.На предыдущей итерации дополняющий Дополняющий поток на предыдущем шаге ограничен значением <tex> 2^{k + 1} E </tex> по предыдущей лемме. Следовательно, на каждой итерации количество дополняющих путей не превосходит <tex> 2E </tex>.}} {{Лемма|about=3Утверждение
Общее количество увеличивающих путей не превышает Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E ^2 \log U) </tex>.
Следует из предыдущей леммы и фактаВ ходе выполнения алгоритма масштаб <tex> \Delta </tex> принимает следующие значения: <tex> S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, что \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0\} </tex>. Тогда <tex> |S| = O(\log U) </tex> {{---}} количество итераций алгоритма. Количество итераций алгоритма {{---}} <tex> O(\log U) </tex>., значит, суммарное количество увеличивающих путей {{---}}<tex> O(E \log U) </tex>.
С помощью Алгоритм [[Обход_в_ширину|обхода в ширину]] находит каждый дополняющий путь можно найти за время <tex> O(E) </tex>. Следовательно, суммарное время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.}}
Нет описания правки
== Алгоритм ==
Количество необходимых увеличений путей, основанных на кратчайших путях, может быть много больше количества увеличений, основанных на путях с высокой пропускной способностью.
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл: augmentations1Flow_scale_1.png|250px550px|thumb|center|Выбор дополняющих путей в порядке длины]]|[[Файл: augmentations2Flow_scale_2.png|250px550px|thumb|center|Выбор пути с высокой пропускной способностью в первую очередь]]
|}
== Оценка времени работы ==
{{Лемма
|about=
Максимальный поток в сети <tex> G </tex> ограничен сверху значением <tex> |f_k| + 2^k E </tex>, где <tex> |f_k| </tex> {{---}} значение потока при масштабе <tex> \Delta = 2^k </tex>.
|proof=
[[Файл: scalingFlow_scale_3.jpgpng|250px530px|thumb|right|Разрез <tex> C_k </tex>]]
В конце итерации с масштабом <tex> \Delta = 2^k </tex>, сеть <tex> G_{f_k} </tex> может быть разбита на два непересекающихся множества <tex> A_k </tex> и <tex> \overline{A_k} </tex> так, что остаточная пропускная способность каждого ребра, идущего из <tex> A_k </tex> в <tex> \overline{A_k} </tex>, не превосходит масштаба <tex> \Delta </tex>. То есть образуется [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]] <tex> C_k = \langle A_k, \overline{A_k} \rangle </tex>.
При этом, количество таких ребер рёбер не превосходит <tex> E </tex>.
Значит, значение остаточного потока не может превосходить <tex> \Delta E = 2^k E </tex>.
}}
2
|statement=
|proof=
|statement=
|proof=
== Псевдокод ==
'''Max_Flow_By_Scalingfunction''' maxFlowByScaling(G: '''graph''',s: '''int''',t: '''int'''): '''int''' '''int''' flow = 0 <texfont color=darkgreen> f \leftarrow 0 // поток в сети </texfont> '''int''' scale = <tex> \Delta \leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} </tex> <font color=darkgreen> // текущий минимальный размер потока, который пытаемся пустить </font> '''while''' scale <tex> \Delta \geq 1 geqslant </tex>1 '''do while''' в <tex> G_f </tex> существует увеличивающий путь <tex> p </tex> с пропускной способностью не меньшей <tex> \Delta </tex>меньше, чем scale '''doint''' minCapacity = <tex> \delta \leftarrow \min\{c(u, v) \colon(u, v) \in p\} </tex> <font color=darkgreen> // минимальная пропускная способность в увеличивающем пути </font> увеличить поток по рёбрам <tex> p </tex> на <tex> \delta </tex>minCapacity обновить <tex> G_f </tex> <tex> f \leftarrow f flow = flow + \delta </tex>minCapacity <tex> \Delta \leftarrow \Delta scale = scale / 2 </tex> '''return''' <tex> f </tex>flow == См. также ==* [[Определение_сети,_потока|Определение сети, потока]]* [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Алоритм Эдмондса-Карпа]]* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона]]
== Литература Источники информации ==
* [http://www.csd.uwo.ca/~yuri/Papers/iccv07_cap_scaling.pdf ''Olivier Juan, Yuri Boikov'': Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision]
* [http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=maxFlowRevisited Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison]
* [http://wwwlogic.cs-seminarpdmi.spbras.ru/reportsics/34talks/21stream.pdf ''Андрей Станкевич'': Задача о максимальном потоке]* [https://youtu.be/sEwp5ZAJJps?t=18m9s ''Андрей Станкевич'': Лекториум, дополнительные главы алгоритмов, лекция 12]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о максимальном потоке]]
