Изменения

== Алгоритм масштабирования потока — алгоритм поиска максимального потока путём регулирования пропускной способности рёбер==Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.Этот алгоритм работает в предположенииD0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, что все пропускные способности рёбер целыерёбра которой имеют целочисленную [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|пропускную способность]]. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) </tex>.

== Суть ==Пусть существует граф <tex>G</tex> и <tex>\forall (u,v)\in E\colon c_{(u,v)}\in\mathbb N</tex>. Суть Идея алгоритма заключается в нахождении сперва путей с высокой пропускной способностьюв первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.BE.D0.BA.D0.B0|поток ]] по этим путямним, а затем по всем остальным. Пусть Для этого воспользуемся масштабом <tex>U\Delta </tex> - максимальная пропускная способность. Введём параметр Изначально положим <tex>\Delta = 2^{\lfloor\log_2Ulog_2 U \rfloor}</tex>. На каждом шаге будем искать в остаточном графе увеличивающие пути с пропускной способностью не меньше, чем <tex>\Delta</tex>, и увеличивать поток вдоль этих путей. В конце шага будем уменьшать <tex>\Delta</tex> в два раза, и на следующем шаге будем искать увеличивающий путь с новым значением параметра. При значении <tex>\Delta</tex>, равном единице, данный алгоритм становится идентичен [[Алоритм_Эдмондса-Карпа | алгоритму Эдмондса — Карпа]]. Из этого следует, что алгоритм корректен.

На каждой итерации в [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющей сети]] алгоритм находит [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющие пути]] с пропускной способностью не меньшей <tex> \Delta </tex> и увеличивает поток вдоль них.Уменьшив масштаб <tex> \Delta </tex> в <tex> 2 </tex> раза, переходит к следующей итерации. Очевидно, что при <tex> \Delta = 1 </tex> алгоритм вырождается в алгоритм [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Эдмондса-Карпа]], вследствие чего является корректным. Количество необходимых увеличений путей, основанных на кратчайших путях, может быть много больше количества увеличений, основанных на путях с высокой пропускной способностью.{|border="0" cellpadding= Оценка сложности "5" width=30% align=center|[[Файл:Flow_scale_1.png|550px|thumb|center|Выбор дополняющих путей в порядке длины]]|[[Файл:ScalingFlow_scale_2.jpgpng|right550px|thumb|center|Выбор пути с высокой пропускной способностью в первую очередь]]На каждом шаге алгоритм выполняет |} == Оценка времени работы =={{Лемма|about=1|statement=Максимальный поток в худшем случае сети <tex>O(G </tex> ограничен сверху значением <tex> |f_k| + 2^k E)</tex> увеличений , где <tex> |f_k| </tex> {{---}} значение потока. Докажем это. Пусть при масштабе <tex>\Delta = 2^k</tex>. |proof=[[Файл:Flow_scale_3.png|530px|thumb|right|Разрез <tex> C_k </tex>]] В конце шага множество вершин графа можно разбить итерации с масштабом <tex> \Delta = 2^k </tex>, сеть <tex> G_{f_k} </tex> может быть разбита на две части: два непересекающихся множества <tex>A_k</tex> и <tex>\overline{A_k}</tex>. Все рёбратак, что остаточная пропускная способность каждого ребра, выходящие идущего из <tex>A_k</tex>, имеют остаточную пропускную способность менее в <tex>2^k\overline{A_k} </tex>. Наибольшее количество рёбер между , не превосходит масштаба <tex>A_k\Delta </tex> и . То есть образуется [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]] <tex>C_k = \langle A_k, \overline{A_k}\rangle </tex> равно . При этом, количество таких рёбер не превосходит <tex>E</tex>. СледовательноЗначит, остаточный поток (поток, который значение остаточного потока не может быть получен на оставшихся шагах) на фазе с текущим значением превосходить <tex>\Delta E = 2^kE </tex> максимально составляет .}} {{Лемма|about=2|statement=Суммарное количество увеличивающих путей {{---}} <tex>2^kEO(E \log U) </tex>. Каждый увеличивающий |proof=На некоторой итерации алгоритма каждый дополняющий путь при данном имеет пропускную способность не меньше <tex>2^k</tex> имеет пропускную способность как минимум .Дополняющий поток на предыдущем шаге ограничен значением <tex>2^{k+ 1} E </tex>. На предыдущем шагеСледовательно, с масштабом на каждой итерации количество дополняющих путей не превосходит <tex> 2E </tex>.}}{{Утверждение|statement=Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.|proof=В ходе выполнения алгоритма масштаб <tex>k+1\Delta </tex>, остаточный поток ограничен принимает следующие значения: <tex>S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k+, \ldots, 2, 1, 0\}E</tex>. Значит максимальное число появившихся увеличивающих путей равно Тогда <tex>2E|S| = O(\log U) </tex>{{---}} количество итераций алгоритма. Увеличивающий путь можно найти за  Количество итераций алгоритма {{---}} <tex> O(\log U) </tex>, значит, суммарное количество увеличивающих путей {{---}} <tex>O(E\log U)</tex>, используя . Алгоритм [[Обход_в_ширину | BFSобхода в ширину]]. Количество шагов находит каждый дополняющий путь за время <tex>O(\log_2UE)</tex>. Итоговая сложность Следовательно, суммарное время работы алгоритма {{---}} <tex>O(E^2\log_2Ulog U)</tex>.}}

'''Capacity-Scalingfunction''' maxFlowByScaling(G: '''graph''', s: '''int''', t: '''int'''): '''int''' '''int''' flow = 0 <texfont color=darkgreen>f\leftarrow 0// поток в сети </texfont> '''int''' scale = <tex>\Delta\leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor}</tex> <font color=darkgreen> // текущий минимальный размер потока, который пытаемся пустить </font> '''while''' scale <tex>\Delta>0geqslant </tex>1 '''do''' '''while''' в <tex>G_f</tex> существует увеличивающий путь <tex>s-tp </tex> путь с пропускной способностью большей <tex>\Delta</tex>не меньше, чем scale '''doint''' <tex>P\leftarrow</tex> путь с пропускной способностью большей minCapacity = <tex>\Delta</tex> <tex>\delta\leftarrow\min\{c_{ij}c(u, v) \colon(iu,jv)\in Pp\}</tex> <font color=darkgreen> // минимальная пропускная способность в увеличивающем пути </font> увеличить поток по рёбрам <tex>Pp </tex> на <tex>\delta</tex>minCapacity обновить <tex>G_f</tex> <tex>f\leftarrow f flow = flow +\delta</tex>minCapacity <tex>\Delta\leftarrow\Delta scale = scale /2</tex> '''return''' flow

== Литература См. также ==* [[Определение_сети,_потока|Определение сети, потока]]* [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Алоритм Эдмондса-Карпа]]* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона]] == Источники информации ==