Изменения

{{Определение|definition== Алгоритм =='''Алгоритм масштабирования потока''' — алгоритм поиска максимального потокаПусть дана [[Определение_сети, работающий в предположении_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, что все пропускные способности рёбер целыерёбра которой имеют целочисленную [[Определение_сети, так как они легко представимы в двоичном виде_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.}B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|пропускную способность]]. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E}c(u, v) </tex>.

== Идея ==Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.BE.D0.BA.D0.B0|поток ]] по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся масштабом <tex> \Delta </tex>. Изначально положим <tex> \Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} </tex>.

Пусть дан граф <tex> G </tex> На каждой итерации в [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющей сети]] алгоритм находит [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющие пути]] с целыми пропускными способностями: пропускной способностью не меньшей <tex> \forall(u, v) \in EG \colon c(u,v) \in \mathbb{Z_+} Delta </tex>и увеличивает поток вдоль них.Уменьшив масштаб <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in EG} c(u, v) Delta </tex> — максимальная пропускная способность. Запишем пропускную способность каждого ребра в двоичном виде. Тогда каждое число будет занимать <tex> \lfloor \log_2 U \rfloor + 1 = n + 1 2 </tex> битраза, переходит к следующей итерации.

Очевидно, что при <tex> c(u, v) = \sum\limits_{i Delta = 0}^n a_i(u, v) \times 2^n, a_i(u, v) \in \{0, 1\} </tex>алгоритм вырождается в алгоритм [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Эдмондса-Карпа]], вследствие чего является корректным.

Методом Количество необходимых увеличений путей, основанных на кратчайших путях, может быть много больше количества увеличений, основанных на путях с высокой пропускной способностью.{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center|[[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубинуФайл:Flow_scale_1.png|550px|thumb|center|Форда-ФалкерсонаВыбор дополняющих путей в порядке длины]] находим поток <tex> f_0 </tex> для графа <tex> G_0 </tex> |[[Файл:Flow_scale_2.png|550px|thumb|center|Выбор пути с урезанными пропускными способностями <tex> c_0(u, v) = a_n(u, v) </tex>.высокой пропускной способностью в первую очередь]]Добавим следующий бит и находим следующее приближение для графа <tex> G_1 </tex> с новыми пропускными способностями <tex> c_1(u, v) = 2 a_n(u, v) + a_{n - 1|}(u, v) - 2 f_0(u, v) </tex>.

После <tex> n + 1 </tex> итерации получим ответ к задаче. == Оценка сложности времени работы =={{УтверждениеЛемма|about=1

Сложность алгоритма — Максимальный поток в сети <tex> O(G </tex> ограничен сверху значением <tex> |f_k| + 2^k E</tex>, где <tex> |f_k| </tex> {{---}} значение потока при масштабе <tex> \Delta = 2^2 \log U) k </tex>.

Докажем[[Файл:Flow_scale_3.png|530px|thumb|right|Разрез <tex> C_k </tex>]] В конце итерации с масштабом <tex> \Delta = 2^k </tex>, сеть <tex> G_{f_k} </tex> может быть разбита на два непересекающихся множества <tex> A_k </tex> и <tex> \overline{A_k} </tex> так, что сложность каждой итерации — остаточная пропускная способность каждого ребра, идущего из <tex> A_k </tex> в <tex> \overline{A_k} </tex>, не превосходит масштаба <tex> \Delta </tex>. То есть образуется [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]] <tex> C_k = \langle A_k, \overline{A_k} \rangle </tex>. При этом, количество таких рёбер не превосходит <tex> E </tex>.Значит, значение остаточного потока не может превосходить <tex> O(\Delta E= 2^2) k E </tex>.}}

Сложность первой итерации алгоритма — Суммарное количество увеличивающих путей {{---}} <tex> O(E^2\log U) </tex>.

На первом шаге ребра имеют некоторой итерации алгоритма каждый дополняющий путь имеет пропускную способность не меньше <tex> 2^k </tex>.Дополняющий поток на предыдущем шаге ограничен значением <tex> 2^{k + 1 } E </tex>. ЗначитСледовательно, на каждой итерации количество дополняющих путей не превосходит <tex> |f_0| \leq V 2E </tex>. Поиск каждого дополнительного пути требует }}{{Утверждение|statement=Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex> времени, а их количество не больше .|proof=В ходе выполнения алгоритма масштаб <tex> \Delta </tex> принимает следующие значения: <tex> V S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0\} </tex>. Итоговая сложность первой итерации — Тогда <tex> |S| = O(VE) \leq O(E^2log U) </tex>.{{---}}количество итераций алгоритма.

Количество итераций алгоритма {{Лемма|statement=Сложность второй итерации алгоритма — ---}} <tex> O(E^2\log U) </tex>.|proof='''Полужирное начертание'''[[Файл:Scaling.jpg|250px|thumb|right|Разрез <tex> \langle A, \overlineзначит, суммарное количество увеличивающих путей {A} \rangle </tex>.]]Докажем оценку для второго шага (для остальных доказательство аналогично).Граф <tex> G_{f_0---} </tex> — несвязен. Пусть <tex> A </tex> — компонента связности, <tex> s \in A, t \in \overline{A} </tex>. Тогда <tex> c_{0_{f_0}}O(A, E \overline{A}log U) = 0 </tex>.

Значит, Алгоритм [[Обход_в_ширину|обхода в графе с пропускными способностями ширину]] находит каждый дополняющий путь за время <tex> c_1 O(E) </tex>:. Следовательно, суммарное время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \forall u \in A, v \in \overline{A} \colon c_1(u, vlog U) \leq 1 </tex>.}}

Рассмотрим максимальный == Псевдокод == '''function''' maxFlowByScaling(G: '''graph''', s: '''int''', t: '''int'''): '''int''' '''int''' flow = 0 <font color=darkgreen> // поток в сети </font> '''int''' scale = <tex>2^{\lfloor\log_2U\rfloor}</tex> f <font color=darkgreen> // текущий минимальный размер потока, который пытаемся пустить </font> '''while''_1 ' scale <tex> \geqslant </tex> 1 '''while''' в графе <tex> G_1 G_f </tex>.существует увеличивающий путь <tex> \langle A, \overline{A} \rangle p </tex> — [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]]с пропускной способностью не меньше, значит:чем scale '''int''' minCapacity = <tex> |f'_1| = f'_1\min\{c(Au, \overline{A}v) \leq ccolon(Au, v) \in p\overline{A}) \leq E, f_1 = f_0 + f'_1 </tex>.Пропускная <font color=darkgreen> // минимальная пропускная способность каждого дополняющего в увеличивающем пути не меньше <tex> 1 </texfont>, а поиск каждого занимает увеличить поток по рёбрам <tex> O(E) p </tex> времени. Значит, итоговое время работы — на minCapacity обновить <tex> O(E^2) G_f </tex>.}} flow = flow + minCapacity scale = scale / 2 '''return''' flow

Оценка сложности остальных итераций доказывается аналогично второму случаю== См. Количество итераций — <tex> O(\log U) </tex>. Значиттакже ==* [[Определение_сети,_потока|Определение сети, общая сложность алгоритма — <tex> O(E^2 \log U) </tex>. потока]]* [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Алоритм Эдмондса-Карпа]]}}* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона]]

== Литература Источники информации ==

* [http://wwwlogic.cs-seminarpdmi.spbras.ru/reportsics/34talks/21stream.pdf ''Андрей Станкевич'': Задача о максимальном потоке]* [https://youtu.be/sEwp5ZAJJps?t=18m9s ''Андрей Станкевич'': Лекториум, дополнительные главы алгоритмов, лекция 12]