Изменения

== Алгоритм масштабирования потока - алгоритм поиска максимального потока путем регулирования пропускной способности ребер==Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, все рёбра которой имеют целочисленную [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|пропускную способность]]. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) </tex>.

Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.BE.D0.BA.D0.B0|поток]] по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся масштабом <tex> \Delta </tex>. Изначально положим <tex> \Delta == Суть ==2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} </tex>.

Этот алгоритм работает На каждой итерации в предположении[[Дополняющая_сеть, что все пропускные способности ребер целые. Пусть есть граф <tex>G</tex>_дополняющий_путь|дополняющей сети]] алгоритм находит [[Дополняющая_сеть, <tex>\forall (u,v)\in E\colon u_{(u,v)}\in\mathbb N</tex>. Суть алгоритма в нахождении сначала путей с высокой пропускной способностью, чтобы сразу сильно увеличивать поток. Пусть <tex>U</tex> - максимальная пропускная способность. Введем параметр <tex>\Delta</tex>. Это большое число, к примеру, равное <tex>U</tex>. На каждом шаге будем искать в остаточном графе увеличивающие _дополняющий_путь|дополняющие пути ]] с пропускной способностью не меньше меньшей <tex>\Delta</tex> и увеличивать увеличивает поток вдоль этих путейних. В конце шага будем уменьшать Уменьшив масштаб <tex>\Delta</tex> в два раза, и на следующем шаге будем искать увеличивающий путь с новым <tex>\Delta2 </tex>. При <tex>\Delta == 1</tex> алгоритм масштабирования идентичен [[Алоритм_Эдмондса-Карпа | алгоритму Эдмондса - Карпа]]раза, поэтому алгоритм масштабирования корректенпереходит к следующей итерации.

Очевидно, что при <tex> \Delta = 1 </tex> алгоритм вырождается в алгоритм [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Эдмондса-Карпа]], вследствие чего является корректным. Количество необходимых увеличений путей, основанных на кратчайших путях, может быть много больше количества увеличений, основанных на путях с высокой пропускной способностью.{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center|[[Файл:Flow_scale_1.png|550px|thumb|center|Выбор дополняющих путей в порядке длины]]|[[Файл:Flow_scale_2.png|550px|thumb|center|Выбор пути с высокой пропускной способностью в первую очередь]]|} == Оценка сложности времени работы ==На каждом шаге алгоритм выполняет {{Лемма|about=1|statement=Максимальный поток в сети <tex> G </tex> ограничен сверху значением <tex>O(|f_k| + 2^k E)</tex> увеличений , где <tex> |f_k| </tex> {{---}} значение потока при масштабе <tex> \Delta = 2^k </tex>.|proof=[[Файл:Flow_scale_3.png|530px|thumb|right|Разрез <tex> C_k </tex>]] В конце итерации с масштабом <tex> \Delta = 2^k </tex>, сеть <tex> G_{f_k} </tex> может быть разбита на два непересекающихся множества <tex> A_k </tex> и <tex> \overline{A_k} </tex> так, что остаточная пропускная способность каждого ребра, идущего из <tex> A_k </tex> в худшем случае<tex> \overline{A_k} </tex>, не превосходит масштаба <tex> \Delta </tex>. Докажем этоТо есть образуется [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]] <tex> C_k = \langle A_k, \overline{A_k} \rangle </tex>.  При этом, количество таких рёбер не превосходит <tex> E </tex>.Значит, значение остаточного потока не может превосходить <tex>\Delta E = 2^kE </tex>. Каждый увеличивающий путь при данном }} {{Лемма|about=2|statement=Суммарное количество увеличивающих путей {{---}} <tex>kO(E \log U) </tex> .|proof=На некоторой итерации алгоритма каждый дополняющий путь имеет пропускную способность как минимум не меньше <tex>2^k</tex>. На Дополняющий поток на предыдущем шаге с масштабом ограничен значением <tex>2^{k+1} E </tex>. Следовательно, на каждой итерации количество дополняющих путей не превосходит <tex> 2E </tex>.}}{{Утверждение|statement=Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex> поток был ограничен .|proof=В ходе выполнения алгоритма масштаб <tex> \Delta </tex> принимает следующие значения: <tex>S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k+, \ldots, 2, 1, 0\}E</tex>. Значит максимальное число появившихся увеличивающих путей равно Тогда <tex>2E|S| = O(\log U) </tex>{{---}} количество итераций алгоритма. Дополняющий путь можно найти за  Количество итераций алгоритма {{---}} <tex> O(\log U) </tex>, значит, суммарное количество увеличивающих путей {{---}} <tex>O(E\log U)</tex>, используя . Алгоритм [[Обход_в_ширину | BFSобхода в ширину]]. Количество шагов находит каждый дополняющий путь за время <tex>O(log_2UE)</tex>. Итоговая сложность Следовательно, суммарное время работы алгоритма {{---}} <tex>O(E^2log_2U2 \log U)</tex>.}}

'''Capacity-Scalingfunction''' maxFlowByScaling(G: '''graph''', s: '''int''', t: '''int'''): '''int''' '''int''' flow = 0 <texfont color=darkgreen>f\leftarrow 0// поток в сети </texfont> '''int''' scale = <tex>\Delta\leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor}</tex> <font color=darkgreen> // текущий минимальный размер потока, который пытаемся пустить </font> '''while''' scale <tex>\Delta>0geqslant </tex>1 '''while''' в <tex>G_f</tex> существует <tex>s-t</tex> увеличивающий путь с пропускной способностью большей <tex>\Deltap </tex> <tex>P\leftarrow</tex> путь с пропускной способностью большей <tex>\Delta</tex>не меньше, чем scale '''int''' minCapacity = <tex>\delta\leftarrow\min\{c_{ij}c(u, v) \colon(iu,jv)\in Pp\}</tex> <font color=darkgreen> // минимальная пропускная способность в увеличивающем пути </font> увеличить поток по ребрам рёбрам <tex>Pp </tex> на <tex>\delta</tex>minCapacity обновить <tex>G_f</tex> <tex>f\leftarrow f flow = flow +\delta<minCapacity scale = scale /tex>2 <tex>\Delta\leftarrow\Delta'''return''' flow == См. также ==* [[Определение_сети,_потока|Определение сети, потока]]* [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Алоритм Эдмондса-Карпа]]* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона]] == Источники информации ==* [http://www.csd.uwo.ca/~yuri/Papers/iccv07_cap_scaling.pdf ''Olivier Juan, Yuri Boikov'': Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision]* [http://2<www.topcoder.com/tex>tc?module=Static&d1=tutorials&d2=maxFlowRevisited Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison] * [http://logic.pdmi.ras.ru/ics/talks/21stream.pdf ''Андрей Станкевич'': Задача о максимальном потоке]* [https://youtu.be/sEwp5ZAJJps?t=18m9s 'return'Андрей Станкевич'' f: Лекториум, дополнительные главы алгоритмов, лекция 12] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Задача о максимальном потоке]]