Алгоритм отмены цикла минимального среднего веса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Продвинутый алгоритм)
(Описание)
Строка 5: Строка 5:
 
|definition='''Сильно полиномиальными''' в контексте данной задачи называются алгоритмы, чья сложность полиномиально зависит от <tex>V</tex> {{---}} числа вершин и <tex>E</tex> {{---}} числа ребер графа.}}
 
|definition='''Сильно полиномиальными''' в контексте данной задачи называются алгоритмы, чья сложность полиномиально зависит от <tex>V</tex> {{---}} числа вершин и <tex>E</tex> {{---}} числа ребер графа.}}
 
===Описание===
 
===Описание===
Обозначим как <tex>c_{f}(C)</tex> остаточную пропускную способность цикла <tex>C</tex> при протекании в сети потока <tex>f</tex>.
+
Обозначим как <tex>c_{f}(C)</tex> остаточную [[Определение сети, потока|пропускную способность]] цикла <tex>C</tex> при протекании в сети потока <tex>f</tex>.
 
Cтоимость цикла <tex>C</tex> обозначим за <tex>p(C)</tex>, а длину (число входящих в него ребер) {{---}} за <tex>\texttt{len}(C)</tex>.
 
Cтоимость цикла <tex>C</tex> обозначим за <tex>p(C)</tex>, а длину (число входящих в него ребер) {{---}} за <tex>\texttt{len}(C)</tex>.
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 12: Строка 12:
 
* '''Шаг2'''. Найдем цикл <tex>C</tex>, обладающий наименьшим средним весом. Если <tex>\mu (C) \geq 0</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} поток минимальной стоимости и алгоритм завершается.
 
* '''Шаг2'''. Найдем цикл <tex>C</tex>, обладающий наименьшим средним весом. Если <tex>\mu (C) \geq 0</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} поток минимальной стоимости и алгоритм завершается.
 
* '''Шаг3'''. Отменим цикл <tex>C</tex>, пустив по нему максимально возможный поток: <tex>f = f + c_{f}(C)\cdot f_{C}</tex>. Перейдем к '''шагу 1'''.
 
* '''Шаг3'''. Отменим цикл <tex>C</tex>, пустив по нему максимально возможный поток: <tex>f = f + c_{f}(C)\cdot f_{C}</tex>. Перейдем к '''шагу 1'''.
 +
 
===Сложность===
 
===Сложность===
 
<tex>O(VE\cdot VE^{2}\log{V})</tex>, при этом
 
<tex>O(VE\cdot VE^{2}\log{V})</tex>, при этом

Версия 22:52, 26 декабря 2016

В статье описывается один из сильно полиномиальных алгоритмов решения задачи о поиске потока минимальной стоимости.

Алгоритм

Приведенный алгоритм основан на идее алгоритма Клейна отмены цикла отрицательного веса. Выбор цикла минимального среднего веса вместо случайного делает алгоритм сильно полиномиальным.

Определение:
Сильно полиномиальными в контексте данной задачи называются алгоритмы, чья сложность полиномиально зависит от [math]V[/math] — числа вершин и [math]E[/math] — числа ребер графа.

Описание

Обозначим как [math]c_{f}(C)[/math] остаточную пропускную способность цикла [math]C[/math] при протекании в сети потока [math]f[/math]. Cтоимость цикла [math]C[/math] обозначим за [math]p(C)[/math], а длину (число входящих в него ребер) — за [math]\texttt{len}(C)[/math].

Определение:
Средним весом цикла будем называть отношение его стоимости к его длине [math]\mu (C)=\frac{p(C)}{\texttt{len}(C)}[/math]
  • Шаг1. Рассмотрим некоторый поток [math]f[/math].
  • Шаг2. Найдем цикл [math]C[/math], обладающий наименьшим средним весом. Если [math]\mu (C) \geq 0[/math], то [math]f[/math] — поток минимальной стоимости и алгоритм завершается.
  • Шаг3. Отменим цикл [math]C[/math], пустив по нему максимально возможный поток: [math]f = f + c_{f}(C)\cdot f_{C}[/math]. Перейдем к шагу 1.

Сложность

[math]O(VE\cdot VE^{2}\log{V})[/math], при этом [math]O(VE)[/math] времени тратится на поиск цикла минимального среднего веса.

Алгоритм поиска цикла минимального среднего веса

Наивный способ

Устроим двоичный поиск. Установим нижнюю и верхнюю границы величины среднего веса цикла [math]l[/math] и [math]r[/math] соответственно, вычислим серединное значение [math]m[/math] и отнимем полученную величину [math]m[/math] от всех ребер сети. Если теперь в нашей сети есть отрицательный цикл (этот факт можно проверить при помощи алгоритма Форда-Беллмана), значит существует цикл с меньшим средним весом, чем [math]m[/math]. Тогда продолжим поиск среди значений в диапазоне от [math]l[/math] до [math]m[/math], иначе — от [math]m[/math] до [math]r[/math]. Такой алгоритм будет работать за [math]O(\texttt{log} \frac{1}{\varepsilon} \cdot EV)[/math], где [math]\varepsilon[/math] — точность выбора величины среднего веса цикла.

Продвинутый алгоритм

Добавим к нашему графу вершину [math]s[/math] и ребра из нее во все остальные вершины. Рассмотрим алгоритм Форда-Беллмана и попросим его построить нам квадратную матрицу со следующим условием: [math]d[i][u][/math] — длина минимального пути от [math]s[/math] до [math]u[/math] ровно из [math]i[/math] ребер. Тогда длина оптимального цикла [math]\mu^{*}[/math] минимального среднего веса вычисляется как [math]\min\limits_{u} {\max\limits_{k} {\frac{d[n][u]-d[k][u]}{n-k}}}[/math]. Достаточно будет доказать это правило для [math]\mu^{*}=0[/math], так как для других [math]\mu^{*}[/math] можно просто отнять эту величину от всех ребер и получить снова случай с [math]\mu^{*}=0[/math].

Чтобы найти цикл после построения матрицы [math]d[k][u][/math], запомним, при каких [math]u[/math] и [math]k[/math] достигается оптимальное значение [math]\mu^{*}[/math], и, используя [math]d[n][u][/math], поднимемся по указателям предков. Как только мы попадем в уже посещенную вершину — мы нашли цикл минимального среднего веса.

Этот алогоритм работает за [math]O(VE)[/math].