3622
правки
Изменения
м
→Источники информации
=== Условные обозначения ===
* <tex> \mathtt{answer } </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> и <tex> \mathtt{answer } </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} левая и правая границы диапазона ответов в суффиксном массиве <tex> array </tex>,
* <tex> L </tex> {{---}} левая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex>0</tex>),
* <tex> R </tex> {{---}} правая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>),
Если диапазон ответов не пустой, то у любого суффикса в пределах диапазона ответов есть префикс, который полностью совпадает с образцом.
В самом начале просто посчитаем <tex> l</tex> и <tex> r </tex> за линейное времяс помощью [[Алгоритм Касаи и др.|алгоритма Касаи, Арикавы, Аримуры, Ли и Парка]], а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за <tex> O(1) </tex>.
Подсчет <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex> можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex> совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах.
=== Поиск границ диапазона ответов ===
Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов <tex> \mathtt{answer } </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex>.
Сразу проверим образец с суффиксами по краям исходного диапазона поиска <tex> L </tex> и <tex> R </tex>: если образец лексикографически больше последнего суффикса <tex> array </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе и поиск можно прекратить.
<tex> \mathtt{answer } </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву <tex> array </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, на каком отрезке <tex> [L, M] </tex> или <tex> [M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> L_p \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex>. Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> l </tex> и <tex> r </tex>. Если <tex> l \geqslant r </tex>, то возможно одно из трех:
# <tex> m_l > l </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [M, R] </tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>.
# <tex> m_r = r </tex>. Считаем <tex>\mathtt {lcp} </tex> для образца и суффикса, стоящего в позиции <tex> M </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>.
# <tex> m_r < r </tex>. Сдвигаем <tex> L </tex> в <tex> M </tex>, <tex> l = m_r </tex>.
Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> L_p \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left} = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> R_p \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex>.
Рассуждения при поиске <tex> R_p \mathtt{answer} </tex> _<tex>\mathtt{right}</tex> аналогичны, только нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> и <tex> R = |s| - 1 </tex>.
Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex>\mathtt {lcp} </tex> между собой(каждое за <tex> O(1) </tex>), а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex>\mathtt {max}</tex><tex>(l, r) </tex>, а значит никогда не возвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(p + log(s)) </tex>. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex>\mathtt {lcp} </tex> для двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1) </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>.
Черная вертикальная линия на рисунке обозначает <tex>\mathtt {lcp} </tex> от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца <tex> p </tex>. Чем линия длиннее, тем совпадений символов больше.
<tex> L </tex>, <tex> M </tex> и <tex> R </tex> {{---}} то же самое, что в алгоритме. Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> l </tex>, аналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> r</tex>. Переменная <tex> m_l </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [L, M] </tex>. Переменная <tex> m_r </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [M, R] </tex>.
Серым цветом выделен <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на рассматриваемом промежутке.
[[Файл:Right2.png]]
===Псевдокод===
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Структуры данных]]
[[Категория:Суффиксный массив]]
