Изменения

Рассмотрим такую задачу: у нас есть образец <tex> p </tex>, строка <tex> s </tex>, Далее будут рассмотрены некоторые способы нахождения всех вхождений образца в текст с помощью [[суффиксный массив|суффиксный массивсуффиксного массива]] <tex> array </tex>, построенный для строки <tex> s </tex>. Необходимо найти все вхождения образца <tex> p </tex> в строку <tex> s </tex>.

Простейший способ узнать, встречается ли образец в тексте, используя суффиксный массив, {{| border="1" |width="20"|# |width="150"|суффикс |width="100"|номер суффикса |- |1 |i |11 |- |2 |ippi |8 |- |3 |issippi |5 |- |4 |ississippi |2 |- |5 |mississippi |1 |- |6 |pi |10 |- |7 |ppi |9 |- |8 |sippi }} взять первый символ образца и [[Целочисленный двоичный поиск|7 бинарным поиском]] по [[суффиксный массив|- |9 |sissippi |4 |- |10 |ssippi |6 |- |11 |ssissippi |3 |}суффиксному массиву]] найти диапазон с суффиксами, начинающимися на такую же букву. Так как все элементы в полученном диапазоне отсортированы, а первые символы одинаковые, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значит, можно повторять процедуру сужения диапазона поиска уже по второму, затем третьему и так далее символу образца до получения либо пустого диапазона, либо успешного нахождения всех символов образца.

Простейший способ узнать=== Псевдокод === '''Поиск диапазона '''  <tex> \mathtt {cmp (k)}</tex> {{---}} функция, встречается ли образец сравнивающая строки по <tex>k</tex>-тому символу. <tex> \mathtt {lower}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex>, <tex> \mathtt {upper}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex> {{---}} функции бинарного поиска. Элементы строк нумеруются с единицы '''function''' elementary_search(p: '''String''', s: '''String'''): left = 0 <font color=darkgreen> // left, right {{---}} границы диапазона </font> right = n <font color=darkgreen> // n {{---}} длина образца </font> '''for''' i = 1 '''to''' n left = lower_bound(left, right, p[i], cmp (i) ) right = upper_bound(left, right, p[i], cmp (i) ) '''if''' (right - left > 0) print left print right '''else''' print "No matches" == Более быстрый поиск == Существует более быстрый алгоритм поиска образца в строке. Для этого используется <tex>\mathtt {lcp} </tex> ([[Суффиксный массив#Применения|longest common prefix]]). === Условные обозначения ===  * <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> и <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} левая и правая границы диапазона ответов в текстесуффиксном массиве <tex> array </tex>, используя суффиксный массив* <tex> L </tex> {{---}} левая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex>0</tex>),* <tex> R </tex> {{---}} правая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>),* <tex> M = (L + R) / 2 </tex> {{---}} середина текущего диапазона поиска,* <tex> l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и левого края текущего диапазона поиска,* <tex> r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[R], это взять первый символ p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и бинарным поиском по суффиксному массиву правого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], array[M])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и левого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(массив array[M], array[R])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и правого края текущего диапазона поиска. === Алгоритм === Если диапазон ответов не пустой, то у нас отсортированлюбого суффикса в пределах диапазона ответов есть префикс, который полностью совпадает с образцом. В самом начале просто посчитаем <tex> l</tex> и <tex> r </tex> за линейное время с помощью [[Алгоритм Касаи и др.|алгоритма Касаи, Арикавы, Аримуры, Ли и Парка]], а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за <tex> O(1) найти диапазон </tex>. Подсчет <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex> можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex> совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах. === Поиск границ диапазона ответов === Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex>. Сразу проверим образец с суффиксамипо краям исходного диапазона поиска <tex> L </tex> и <tex> R </tex>: если образец лексикографически больше последнего суффикса <tex> array </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе и поиск можно прекратить. <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву <tex> array </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, начинающимися на такую же буквукаком отрезке <tex> [L, M] </tex> или <tex> [M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> . Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> l </tex> и <tex> r </tex>. Если <tex> l \geqslant r </tex>, то возможно одно из трех: # <tex> m_l > l </tex>. Так как все элементы Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в полученном диапазоне отсортированы<tex> [M, R] </tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а первые символы одинаковые<tex> L = M </tex>. # <tex> m_l = l </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [L, M] </tex> есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> l </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k + 1 </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы<tex> R = M </tex> и <tex> r = l + k + 1</tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = l + k + 1</tex>.# <tex> m_l < l </tex>. А значитЭто означает, можно повторять процедуру сужения что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска уже по второмус образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, затем третьему что поиск надо продолжать между <tex> L </tex> и так далее символу <tex> M </tex>, то есть <tex> R = M </tex>, а новое значение <tex> r = m_l </tex>. Если <tex> l < r </tex>, то действия аналогичны. Также три случая:# <tex> m_r > r </tex>. Сдвигаем <tex> R </tex> в <tex> M </tex>. Значение <tex> r </tex> не изменяется.# <tex> m_r = r </tex>. Считаем <tex>\mathtt {lcp} </tex> для образца и суффикса, стоящего в позиции <tex> M </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>. # <tex> m_r < r </tex>. Сдвигаем <tex> L </tex> в <tex> M </tex>, <tex> l = m_r </tex>.Бинарный поиск будет работать до получения либо пустого тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left} = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазонаответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> . Рассуждения при поиске <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> аналогичны, либо успешного нахождения всех символов образцатолько нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> и <tex> R = |s| - 1 </tex>. Бинарный поиск работает  Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex>\mathtt {lcp} </tex> между собой(каждое за время равное <tex> O(log|s|1) </tex>), а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex>\mathtt {max}</tex><tex>(l, r) </tex>, а сравнение суффикса с образцом значит никогда не может превышать длины образцавозвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. Таким образом время работы алгоритмы В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(|p|+ log|(s|)) </tex>. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex>\mathtt {lcp} </tex> для двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1)</tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>.  ===Рисунки=== Черная вертикальная линия на рисунке обозначает <tex>\mathtt {lcp} </tex> от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца <tex> p <br/tex>. Чем линия длиннее, тем совпадений символов больше. В примере поиск будет выглядеть так:<tex> L </tex>, <tex> M </tex> и <tex> R </tex> {{---}} то же самое, что в алгоритме. Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> l </tex>, аналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> r</tex>.

{| border="1" |width="80"|образец |width="150"|''Переменная <span style="color:#FF00FF"tex>im_l </spantex>ss'' |width="150"|''<span style="color:#FF00FF">is</span>s'' |width="150"|''<span style="color:#FF00FF">iss</span>'' |{{- | |''<span style="color:#FF00FF">i</span>'' |i |i |- | |''<span style="color:#FF00FF">i</span>ppi'' |ippi |ippi |- | |''}} это <span style="color:#FF00FF"tex>i\mathtt {lcp} </spantex>ssippi'' |''в суффиксном массиве на промежутке <span style="color:#FF00FF"tex>is[L, M] </spantex>sippi'' |''. Переменная <span style="color:#FF00FF"tex>issm_r </spantex>ippi'' |- | |''<span style="color:#FF00FF">i</span>ssissippi'' |''<span style="color:#FF00FF">is</span>sissippi'' |''<span style="color:#FF00FF">iss</span>issippi'' |- | |mississippi |mississippi |mississippi |{{- | |pi |pi |pi |- | |ppi |ppi |ppi |- | |sippi |sippi |sippi |- | |sissippi |sissippi |sissippi |- | |ssippi |ssippi |ssippi |- | |ssissippi |ssissippi |ssissippi |}В примере показано, какие суффиксы на каждом шаге алгоритма удовлетворяют нашему образцу: на } это <tex> i \mathtt {lcp} </tex>-ом шаге суффикс является подходящим, если в суффиксном массиве на промежутке <tex> i [M, R] </tex> его первых символов совпадают с .Серым цветом выделен <tex> i \mathtt {lcp} </tex> первыми символами образца. Каждый шаг к рассмотрению добавляется лишь один новый символ образца. В графе "образец" розовым цветом выделен префикс образца, который ищется в суффиксном массиве на данном шаге, а под образцом располагаются суффиксы строки, префиксы которых выделены розовым цветом, если на данном шаге суффикс подходит. <br>Как видно из примера образцу удовлетворяют суффиксы 3 и 4, начинающиеся на 5 и 2 позициях в строке соответственно(позицию можно посмотреть в таблице повыше)рассматриваемом промежутке.

Иллюстраци возможных случаев при <tex> l \geqslant r </tex>: [[Файл:left.png]] Иллюстрации возможных случаев при <tex> l < r </tex>: [[Файл:Right2.png]] === Псевдокод ===Массивы и строки нумеруются с нуля.  Сравнения <tex><_z , >_z , =_z , \leqslant_z , \geqslant_z </tex> означают лексикографическое сравнение двух строк по их первым <tex>z</tex> символам. Сравнения <tex>< , > , == , \leqslant , \geqslant </tex> при применении к строкам означают полное лексикографическое сравнение строк. Функция <tex>\mathtt {common(z,s, p)}</tex> ищет количество совпадений символов строк <tex>s</tex> и <tex>p</tex> начиная с позиции <tex>z</tex>.

Поиск диапазона <tex>n</*p tex> {{-- образец n - }} длина образца left - левая граница диапазона строки <tex>s</tex>, <tex>w</ изначально равна единице right tex> {{- правая граница диапазона // изначально равна длине строки lh - вспомогательная переменная для определения левой границы диапазона rg - вспомогательная переменная для определения правой границы диапазона find - функция уточнения диапазона элементы строк и массивов нумеруются с единицы*/ for i = 1 to n { lh = n + 1 rh = 0 find(left, right, i) left = lh right = rh } if (left != 0 && right != n + 1) { // если диапазон не пуст yield left // вывод левой границы диапазона yield right // вывод правой границы диапазона } else yield "No matches" /длина строки <tex>p</ вывод информации об отсутствии вхожденийtex>.

Бинарный В алгоритме используются переменные, введенные выше в разделе "более быстрый поиск для уточнения диапазона - функция find(l, r, k) /*l - левая граница диапазона при поиске r - правая граница диапазона при поиске k - номер символа образца, с которым происходит проверка на данном шаге s - строка length - длина строки array - суффиксный массив x - индекс, стоящий по середине между l и r*/ if (l > r) return x = (l + r) / 2 if (array[x] + k - 1 <= length){ if (s[array[x] + k - 1] == p[k]){ if (x < lh) lh = x if (x > rh) rh = x find(l, x - 1, k) find(x + 1, r, k) } else { if (s[array[x] + k - 1] > p[k]) { find(l, x - 1, k) } else { if (s[array[x] + k - 1] < p[k]) { find(x + 1, r, k) } } else { find(l, x - 1, k) find(x + 1, r, k)". }

На <tex> i </tex>-ом шаге алгоритма мы определяем диапазон '''function''' find_answer_left(p: '''String''', s: '''String'''): '''int''' l = '''lcp'''(p, в котором <tex> i </tex> первых символов образца и суффиксов диапазона совпадают. На самом деле нам не обязательно на каждом шаге проверять лишь один новый символ. Воспользуемся <tex> s[array[0]]) r = '''lcp </tex>'''(longest common prefixp, s[array[n - 1]]). '''if''' (l == w or p <brs[array[0]]) answer_left = 0 '''else''' '''if''' (p >s[array[n - 1]) answer_left = n '''else''' L = 0Пусть левая и правая границы нашего диапазона на каком R = n -то шаге 1 '''while''' (R - это <texL > 1) '''do''' M = (L </tex> и <tex> + R <) /tex> соответственно. Допустим, что мы знаем длину общего префикса образца с суффиксами, лежащими на краях текущего диапазона: <tex> l </tex> - общий префикс образца и суффикса с левого края (<tex> l 2 m_l = '''lcp'''(parray[L], array[LM]) </tex>), а <tex> r </tex> - общий префикс образца и суффикса с правого края (<tex> r m_r = '''lcp'''(parray[M], array[R]) </tex>). Будем поддерживать '''if''' (l <tex> l \geqslant</tex> и r) '''if''' (m_l <tex> r \geqslant</tex> после каждого уточнения границ диапазона. <br>l)Для каждой пары суффиксов внутри текущего диапазона их lcp не меньше m = l + '''common'''(l, s[array[M]], чем минимум из p) '''else''' m = m_l '''else''' '''if''' (m_r <tex> l \geqslant</tex> и <tex> r </tex>, то есть)общий префикс образца и любого суффикса внутри диапазона не меньше <tex> m = minr + '''common'''(lr, s[array[M]],rp) </tex>. Значит '''else''' m = m_r '''if''' (m == w || p <tex> m \leqslant</tex> символов можно пропускать сразу, зная, что они совпадают в любом случае, и сравнивать уже <tex> m + 1 _m</tex> символ.s[array[M]]){ R = M r = m '''else''' L = M l = m answer_left = R

== См. также ==* [[Файл:picАлгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки]]* [[Алгоритм Касаи и др.png|450px]]* [[Построение суффиксного массива с помощью стандартных методов сортировки]]

В худшем случае, конечно, ничего мы от этого не выиграем==Источники информации==* [http: если искомый элемент находится на краю массива, но соседи совсем не похожи по <tex> lcp </tex>, то <tex> r </tex> (или <tex> l <habrahabr.ru/tex>) будет мало каждый раз, <tex> m <blogs/tex> будет тоже мало, что сведет оптимизацию на нет. Таким образом в наихудшем случае результат будет прежним <tex> O(|p|log|s|) <algorithm/tex>, но в среднем <tex> O(|p| + log|s|) <115346/tex>Habrahabr {{---}} Суффиксный массив {{---}} удобная замена суффиксного дерева] *U.Manber and G. Mayers. {{---}} "Suffix arrays: A new method for on-line string searches"

==Литература==[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Структуры данных]]* http[[Категория://habrahabr.ru/blogs/algorithm/115346/Суффиксный массив]]