1632
правки
Изменения
м
Рассмотрим такую задачу: у нас есть образец <tex> p </tex>, строка <tex> s </tex>, Далее будут рассмотрены некоторые способы нахождения всех вхождений образца в текст с помощью [[суффиксный массив|суффиксный массивсуффиксного массива]] <tex> array </tex>, построенный для строки <tex> s </tex>. Необходимо найти все вхождения образца <tex> p </tex> в строку <tex> s </tex>.
Для наглядности рассмотрим такой пример: образец '''''iss''''' , строка '''''mississippi''''' . <br>Вот суффиксный массив для данной строки:== Наивный алгоритм поиска ==
== Способы поиска ==Бинарный поиск работает за время равное <tex> O(\log|s|) </tex>, а сравнение суффикса с образцом не может превышать длины образца.
=== Простейший поиск подстроки ===Таким образом время работы алгоритмы <tex> O(|p|\log|s|)</tex>, где <tex> s </tex> {{---}} текст, <tex> p </tex> {{---}} образец.
Простейший способ узнать, встречается ли образец в тексте, используя суффиксный массив, это взять первый символ образца и бинарным поиском по суффиксному массиву === Псевдокод === '''Поиск диапазона ''' <tex> \mathtt {cmp (массив у нас отсортированk) найти диапазон с суффиксами}</tex> {{---}} функция, начинающимися на такую же буквусравнивающая строки по <tex>k</tex>-тому символу. Так как все элементы в полученном диапазоне отсортированы <tex> \mathtt {lower}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, а первые символы одинаковыеright, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значитvalue, можно повторять процедуру сужения диапазона поиска уже по второмуcmp)}</tex>, затем третьему и так далее символу образца до получения либо пустого диапазона, либо успешного нахождения всех символов образца. Бинарный поиск работает за время равное <tex> O(log|s|) \mathtt {upper}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, а сравнение суффикса с образцом не может превышать длины образца. Таким образом время работы алгоритмы right, value, cmp)}</tex> O{{---}} функции бинарного поиска. Элементы строк нумеруются с единицы '''function''' elementary_search(|p|log|: '''String''', s|: '''String'''): left = 0 <font color=darkgreen> /tex/ left, right {{---}} границы диапазона </font> right = n <font color=darkgreen>. // n {{---}} длина образца <br/font>В примере '''for''' i = 1 '''to''' n left = lower_bound(left, right, p[i], cmp (i) ) right = upper_bound(left, right, p[i], cmp (i) ) '''if''' (right - left > 0) print left print right '''else''' print "No matches" == Более быстрый поиск будет выглядеть так:== Существует более быстрый алгоритм поиска образца в строке. Для этого используется <tex>\mathtt {lcp} </tex> ([[Суффиксный массив#Применения|longest common prefix]]).
{| border="1" |width="80"|образец |width="150"|''<span styleУсловные обозначения ="color:#FF00FF">i</span>ss'' |width="150"|''<span style="color:#FF00FF">is</span>s'' |width="150"|''<span style="color:#FF00FF">iss</span>'' |- | |''<span style="color:#FF00FF">i</span>'' |i |i |- | |''<span style="color:#FF00FF">i</span>ppi'' |ippi |ippi |- | |''<span style="color:#FF00FF">i</span>ssippi'' |''<span style="color:#FF00FF">is</span>sippi'' |''<span style="color:#FF00FF">iss</span>ippi'' |- | |''<span style="color:#FF00FF">i</span>ssissippi'' |''<span style="color:#FF00FF">is</span>sissippi'' |''<span style="color:#FF00FF">iss</span>issippi'' |- | |mississippi |mississippi |mississippi |- | |pi |pi |pi |- | |ppi |ppi |ppi |- | |sippi |sippi |sippi |- | |sissippi |sissippi |sissippi |- | |ssippi |ssippi |ssippi |- | |ssissippi |ssissippi |ssissippi |}В примере показано, какие суффиксы на каждом шаге алгоритма удовлетворяют нашему образцу: на <tex> i </tex>-ом шаге суффикс является подходящим, если <tex> i </tex> его первых символов совпадают с <tex> i </tex> первыми символами образца. Каждый шаг к рассмотрению добавляется лишь один новый символ образца. В графе "образец" розовым цветом выделен префикс образца, который ищется на данном шаге, а под образцом располагаются суффиксы строки, префиксы которых выделены розовым цветом, если на данном шаге суффикс подходит. <br>Как видно из примера образцу удовлетворяют суффиксы 3 и 4, начинающиеся на 5 и 2 позициях в строке соответственно(позицию можно посмотреть в таблице повыше).
Поиск диапазона Иллюстраци возможных случаев при <tex> l \geqslant r </*p - образец n - длина образца left - левая граница диапазона // изначально равна единице right - правая граница диапазона // изначально равна длине строки lh - вспомогательная переменная для определения левой границы диапазона rg - вспомогательная переменная для определения правой границы диапазона find - функция уточнения диапазона элементы строк и массивов нумеруются с единицы*/ for i = 1 to n { lh = n + 1 rh = 0 find(left, right, i) left = lh right = rh } if (left != 0 && right != n + 1) { // если диапазон не пуст yield left // вывод левой границы диапазона yield right // вывод правой границы диапазона } else yield "No matches" // вывод информации об отсутствии вхожденийtex>:
Бинарный поиск для уточнения диапазона - функция find(l, r, k) /*l - левая граница диапазона при поиске r - правая граница диапазона при поиске k - номер символа образца, с которым происходит проверка на данном шаге s - строка length - длина строки array - суффиксный массив x - индекс, стоящий по середине между l и r*/ if (l > r) return x = (l + r) / 2 if (array[x] + k - 1 <= length){ if (s[array[x] + k - 1] == p[k]){ if (x < lh) lh = x if (x > rh) rh = x find(l, x - 1, k) find(x + 1, r, k) } else { if (s[array[x] + k - 1] > p[k]) { find(l, x - 1, k) } else { if (s[array[x] + k - 1Файл:left.png] < p[k]) { find(x + 1, r, k) } } else { find(l, x - 1, k) find(x + 1, r, k) }
=== Более быстрый поиск ===Иллюстрации возможных случаев при <tex> l < r </tex>:
Существует более быстрый алгоритм поиска образца в строке. Для этого используется <tex> lcp </tex> (longest common prefix). <br>Пусть <tex> L_p </tex> и <tex> R_p </tex> - левая и правая границы диапазона ответов в суффиксном массиве <tex> array </tex>. У любого суффикса в пределах этого диапазона есть префикс, который полностью совпадает с образцом. <br>Пусть <tex> L </tex> - левая граница диапазона поиска (изначально равна 0), <tex> R </tex> - правая граница диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>), а <tex> M = (L + R) / 2 </tex>. <br>Пусть <tex> l = lcp(array[L], p) </tex>, а <tex> r = lcp(array[R], p) </tex>. В самом начале просто посчитаем <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за линейное время, а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за <tex> O(1) </tex>. <br>Пусть <tex> m_l = lcp(array[L], array[M]) </tex>, а <tex> m_r = lcp(array[M],array[R]) </tex>. Подсчет <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex> можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex> совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах. <br>Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов <tex> L_p </tex>. <br>Сразу проверим образец с суффиксами по краям исходного диапазона поиска <tex> L </tex> и <tex> R </tex>. Если образец лексикографически больше последнего суффикса <tex> array </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе, и поиск можно прекратить. <br><tex> L_p </tex> ищется при помощи бинарного поиска. На каждом шаге поиска нам надо определять, на каком отрезке <tex> [L, M] </tex> или <tex> [M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> L_p </tex>. Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex>. Если <tex> m_l \ge m_r </tex>, то возможно одно из трех: <br>* 1. <tex> m_l = l </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [L, M] </tex> есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> l </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> m_r = l + k </tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> m_l = l + k </tex>.<br>* 2. <tex> m_l > l </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [M, R] </tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>. <br>* 3. <tex> m_l < l </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> L </tex> и <tex> M </tex>, то есть <tex> R = M </tex>, а новое значение <tex> r = m_l </tex>. <br>Если <tex> m_l < m_r </tex>, то действия аналогичныФайл: <br>* 1Right2. <tex> m_r = r </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [M, Rpng] </tex> есть хотя бы <tex> r </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> r </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> r + k </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> m_r = r + k </tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> m_l = r + k </tex>. <br>* 2. <tex> m_r > r </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с правого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [L, M] </tex>. Значение <tex> r </tex> при этом не меняется, а <tex> R = M </tex>. <br>* 3. <tex> m_r < r </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с правого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> M </tex> и <tex> R </tex>, то есть <tex> L = M </tex>, а новое значение <tex> l = m_r </tex>. <br> Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> L_p = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> R_p </tex>. <br>Рассуждения при поиске <tex> R_p </tex> аналогичны, только нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> и <tex> R = |s| - 1 </tex>. <br>Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex> lcp </tex> между собой(каждое за <tex> O(1) </tex>), а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex> max(l, r) </tex>, а значит никогда не возвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(p + log(s)) </tex>. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex> lcp </tex> для двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1) </tex>.
Поиск левой границы ответов <tex> L_p </tex>== См.также ==* [[Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки]]* [[Алгоритм Касаи и др.]]* [[Построение суффиксного массива с помощью стандартных методов сортировки]]
/* Массивы и строки нумеруются с нуля. Сравнения <<math>_z </math> , ><math>_z </math> , =<math>_z </math> , <=<math>_z </math> , >Источники информации=<math>_z </math> означают лексикографическое сравнение двух строк по их первым z символам. Сравнения < , > , == , <= , >= при применении к строкам означают полное лексикографическое сравнение строк. Функция lcp(s<math>_z<* [http:/math>, p<math>_z</math>) означает поиск максимального общего префикса строк s и p начиная с позиции zhabrahabr. n - длина строки s. w - длина строки p. В алгоритме используются переменные введенные выше в разделе "более быстрый поиск". *ru/blogs/ l = lcp(p, s[array[0]]) r = lcp(p, s[array[n-1]]) if (l == w or p < s[array[0]]) L<math>_p<algorithm/math> = 0 else if (p > s[array[n-1]) L<math>_p<115346/math> = n else Habrahabr {{ L = 0 R = n - 1 while (R - L > 1) do -}} Суффиксный массив { M = (L + R)/2 </math> m<math>_l</math> = lcp(array[L{---}} удобная замена суффиксного дерева],array[M]) m<math>_r</math> = lcp(array[M],array[R]) if (l >= r) if (m<math>_l</math> >= l) m = l + lcp(s[array[M]]<math>_l</math>, p<math>_l</math>) else m = m<math>_l</math> else if (m<math>_r</math> >= r) m = r + lcp(s[array[M]]<math>_r</math>, p<math>_r</math>) else m = m<math>_r</math> if (m == p || p <=<math>_m</math> s[array[M]])*U. Manber and G. Mayers. { R = M r = m } else { L = M l = m ---} } L<math>_p</math> = R }"Suffix arrays: A new method for on-line string searches"
==Литература==[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]* http[[Категория://habrahabr.ru/blogs/algorithm/115346/Структуры данных]]*U. Manber and G. Mayers. "Suffix arrays[[Категория: A new method for on-line string searches"Суффиксный массив]]
rollbackEdits.php mass rollback
Простейший способ узнать, встречается ли образец в тексте, используя суффиксный массив, {{| border="1" |width="20"|# |width="150"|суффикс |width="100"|номер суффикса |- |1 |i |11 |- |2 |ippi |8 |- |3 |issippi |5 |- |4 |ississippi |2 |- |5 |mississippi |1 |- |6 |pi |10 |- |7 |ppi |9 |- |8 |sippi }} взять первый символ образца и [[Целочисленный двоичный поиск|7 бинарным поиском]] по [[суффиксный массив|- |9 |sissippi |4 |- |10 |ssippi |6 |- |11 |ssissippi |3 |}суффиксному массиву]] найти диапазон с суффиксами, начинающимися на такую же букву. Так как все элементы в полученном диапазоне отсортированы, а первые символы одинаковые, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значит, можно повторять процедуру сужения диапазона поиска уже по второму, затем третьему и так далее символу образца до получения либо пустого диапазона, либо успешного нахождения всех символов образца.
* <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> и <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} левая и правая границы диапазона ответов в суффиксном массиве <tex> array </tex>,* <tex> L </tex> {{---}} левая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex>0</tex>),* <tex> R </tex> {{---}} правая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>),* <tex> M =(L + R) / 2 </tex> {{---}} середина текущего диапазона поиска,* <tex> l =</tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и левого края текущего диапазона поиска,* <tex> r = Псевдокод </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[R], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и правого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_l =</tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], array[M])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и левого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_r =</tex> <tex>\mathtt {lcp(array[M], array[R])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и правого края текущего диапазона поиска. === Алгоритм === Если диапазон ответов не пустой, то у любого суффикса в пределах диапазона ответов есть префикс, который полностью совпадает с образцом. В самом начале просто посчитаем <tex> l</tex> и <tex> r </tex> за линейное время с помощью [[Алгоритм Касаи и др.|алгоритма Касаи, Арикавы, Аримуры, Ли и Парка]], а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за <tex> O(1) </tex>. Подсчет <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex> можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex> совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах. === Поиск границ диапазона ответов === Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex>. Сразу проверим образец с суффиксами по краям исходного диапазона поиска <tex> L </tex> и <tex> R </tex>: если образец лексикографически больше последнего суффикса <tex> array </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе и поиск можно прекратить. <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву <tex> array </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, на каком отрезке <tex> [L, M] </tex> или <tex> [M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> . Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> l </tex> и <tex> r </tex>. Если <tex> l \geqslant r </tex>, то возможно одно из трех: # <tex> m_l > l </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [M, R] </tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>. # <tex> m_l = l </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [L, M] </tex> есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> l </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k + 1 </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> r = l + k + 1</tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = l + k + 1</tex>.# <tex> m_l < l </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> L </tex> и <tex> M </tex>, то есть <tex> R = M </tex>, а новое значение <tex> r = m_l </tex>. Если <tex> l < r </tex>, то действия аналогичны. Также три случая:# <tex> m_r > r </tex>. Сдвигаем <tex> R </tex> в <tex> M </tex>. Значение <tex> r </tex> не изменяется.# <tex> m_r = r </tex>. Считаем <tex>\mathtt {lcp} </tex> для образца и суффикса, стоящего в позиции <tex> M </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>. # <tex> m_r < r </tex>. Сдвигаем <tex> L </tex> в <tex> M </tex>, <tex> l = m_r </tex>.Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left} = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> . Рассуждения при поиске <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> аналогичны, только нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> и <tex> R = |s| - 1 </tex>. Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex>\mathtt {lcp} </tex> между собой(каждое за <tex> O(1) </tex>), а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex>\mathtt {max}</tex><tex>(l, r) </tex>, а значит никогда не возвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(p + log(s)) </tex>. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex>\mathtt {lcp} </tex> для двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1) </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>. ===Рисунки=== Черная вертикальная линия на рисунке обозначает <tex>\mathtt {lcp} </tex> от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца <tex> p </tex>. Чем линия длиннее, тем совпадений символов больше. <tex> L </tex>, <tex> M </tex> и <tex> R </tex> {{---}} то же самое, что в алгоритме. Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> l </tex>, аналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> r</tex>. Переменная <tex> m_l </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [L, M] </tex>. Переменная <tex> m_r </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [M, R] </tex>.Серым цветом выделен <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на рассматриваемом промежутке.
===Псевдокод===
Массивы и строки нумеруются с нуля.
Сравнения <tex><_z , >_z , =_z , \leqslant_z , \geqslant_z </tex> означают лексикографическое сравнение двух строк по их первым <tex>z</tex> символам.
Сравнения <tex>< , > , == , \leqslant , \geqslant </tex> при применении к строкам означают полное лексикографическое сравнение строк.
Функция <tex>\mathtt {common(z,s, p)}</tex> ищет количество совпадений символов строк <tex>s</tex> и <tex>p</tex> начиная с позиции <tex>z</tex>.
<tex>n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex>, <tex>w</tex> {{---}} длина строки <tex>p</tex>.
В алгоритме используются переменные, введенные выше в разделе "более быстрый поиск".
Поиск левой границы ответов <tex> answer </tex>_<tex>left</tex>.
'''function''' find_answer_left(p: '''String''', s: '''String'''): '''int'''
l = '''lcp'''(p, s[array[0]])
r = '''lcp'''(p, s[array[n - 1]])
'''if''' (l == w or p < s[array[0]])
answer_left = 0
'''else''' '''if''' (p > s[array[n - 1])
answer_left = n
'''else'''
L = 0
R = n - 1
'''while''' (R - L > 1) '''do'''
M = (L + R) / 2
m_l = '''lcp'''(array[L], array[M])
m_r = '''lcp'''(array[M], array[R])
'''if''' (l <tex>\geqslant</tex> r)
'''if''' (m_l <tex>\geqslant</tex> l)
m = l + '''common'''(l, s[array[M]], p)
'''else'''
m = m_l
'''else'''
'''if''' (m_r <tex>\geqslant</tex> r)
m = r + '''common'''(r, s[array[M]], p)
'''else'''
m = m_r
'''if''' (m == w || p <tex>\leqslant</tex><tex>_m</tex> s[array[M]]){
R = M
r = m
'''else'''
L = M
l = m
answer_left = R
