Изменения

== Алгоритм ===== Описание алгоритма ===Приведенный ниже псевдокод алгоритма Алгоритм находит [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров цикл]] как в [[Ориентированный граф|ориентированном графе]], так и в [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированном графе]]. Перед запуском алгоритма необходимо [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|проверить граф на эйлеровость]]. Чтобы построить [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров путь]], нужно запустить функцию алгоритм из вершины с нечетной степенью.<br>Алгоритм напоминает поиск в глубину. Главное отличие состоит в том, что пройденными помечаются не вершины, а ребра графа. Начиная со стартовой вершины <tex>v</tex> строим путь, добавляя на каждом шаге не пройденное еще ребро, смежное с текущей вершиной. Вершины пути накапливаются в [[Стек | стеке]] <tex>S</tex>. Когда наступает такой момент, что для текущей вершины <tex>w</tex> все инцидентные ей ребра уже пройдены, записываем вершины из <tex>S</tex> в ответ, пока не встретим вершину, которой инцидентны не пройденные еще ребра. Далее продолжаем обход по не посещенным ребрам.

=== Псевдокод ===<font size=32>'''Код проверки графа на эйлеровость:''' '''boolean''' checkForEulerPath(): '''int''' OddVertex <tex>= 0</tex> '''for''' <tex>v : v</tex> <tex>\in</tex> <tex>V</tex> '''if''' <tex>\operatorname{deg}</tex>(<tex>v</tex>) '''mod''' <tex>2 == 1</tex> OddVertex++ '''if''' OddVertex <tex> > 2 </tex><font color=darkgreen>// если количество вершин с нечетной степенью больше двух, то граф не является эйлеровым</font> '''return''' ''false'' '''boolean''' visited(<tex>|V|</tex>, ''false'') <font color=darkgreen>// массив инициализируется значениями ''false''</font> '''for''' <tex>v : v</tex> <tex>\in</tex> <tex>V</tex> '''if''' <tex>\operatorname{deg}</tex>(<tex>v</tex>) <tex> > 0</tex> dfs(<tex>v</tex>, visited) '''break''' '''for''' <tex>v : v</tex> <tex>\in</tex> <tex>V</tex> '''if''' <tex>\operatorname{deg}</tex>(<tex>v</tex>) <tex> > 0</tex> '''and''' '''not''' visited[<tex>v</tex>] findPath<font color=darkgreen>// если количество компонент связности, содержащие ребра, больше одной,</font> '''return''' ''false'' <font color=darkgreen> // то граф не является эйлеровым</font> '''return''' ''true'' <font color=darkgreen>// граф является эйлеровым</font> '''Код построения эйлерова пути:''' '''function''' findEulerPath(<tex>v</tex>): <font color=darkgreen> // если граф является полуэйлеровым, то алгоритм следует запускать из вершины нечетной степени </font> stack.clear'''for''' <tex>u : u \in V</tex> '''if''' <tex>\operatorname{deg}</tex>(<tex>u</tex>)'''mod''' <tex>2 == 1</tex> <tex>v = u</tex> '''break''' stack<tex>S</tex>.addpush(<tex>v</tex>) <font color=darkgreen>// <tex>S</tex> {{---}} стек</font> '''while not stack''' <tex>S</tex>.isEmptyempty(): <tex>w := stack</tex> <tex>S</tex>.top() found_edge = '''False''' '''for''' <tex>u : u \in V</tex> '''if ''' (<tex>w, u</tex>) <tex>\in E contains </tex> <font color=darkgreen> // нашли ребро, по которому ещё не прошли</font> <tex>S</tex>.push(<tex>u</tex>) <font color=darkgreen> // добавили новую вершину в стек</font> <tex>E</tex>.remove(<tex>w, u</tex>): found_edge = '''True''' '''break''' stack'''if''' '''not''' found_edge <tex>S</tex>.addpop() <font color=darkgreen> // не нашлось инцидентных вершине <tex>w</tex> рёбер, по которым ещё не прошли</font> print(<tex>w</tex>)</font> === Доказательство корректности ==={{Лемма|statement=Данный алгоритм проходит по каждому ребру, причем ровно один раз.|proof=Допустим, что в момент окончания работы алгоритма имеются еще не пройденные ребра. Поскольку граф связен, должно существовать хотя бы одно не пройденное ребро, инцидентное посещенной вершине. Но тогда эта вершина не могла быть удалена из стека <tex>S</tex>, и он не мог стать пустым. Значит алгоритм пройдёт по всем рёбрам хотя бы один раз.Но так как после прохода по ребру оно удаляется, то пройти по нему дважды алгоритм не может.<br>}}Вершина <tex>v</tex>, с которой начат обход графа, будет последней помещена в путь <tex>P</tex>. Так как изначально стек пуст, и вершина <tex>v</tex> входит в стек первой, то после прохода по инцидентным ребрам, алгоритм возвращается к данной вершине, выводит ее и опустошает стек, затем выполнение программы завершается.<br>{{Лемма|statement=Напечатанный путь <tex>P</tex> {{---}} корректный маршрут в графе, в котором каждые две соседние вершины <tex>u_i</tex> и <tex>u_{i+1}</tex> будут образовывать ребро <tex>(u_i, u_{i+1}) \in E</tex>.|proof=Будем говорить, что ребро <tex>(w,u)</tex> представлено в <tex>S</tex> или <tex>P</tex>, если в какой-то момент работы алгоритма вершины <tex>w</tex> и <tex>u</tex> находятся рядом. Каждое ребро графа представлено в <tex>S</tex>. Рассмотрим случай, когда из <tex>S</tex> в <tex>P</tex> перемещена вершина <tex>u</tex>, а следующей в <tex>S</tex> лежит <tex>w</tex>. Возможны 2 варианта:*На следующем шаге для вершины <tex>w</tex> не найдётся инцидентного ребра, тогда <tex>w</tex> переместят в <tex>P</tex>, и ребро <tex>(w,u)</tex> будет представлено в <tex>P</tex>.*Иначе будет пройдена некоторая последовательность ребер <tex>{u_1, u_2, ..., u_k}</tex>, начинающаяся в вершине <tex>w</tex> и проходящая по ребру <tex>(w, u_1)</tex>. Докажем, что данный проход <tex>{u_1, u_2, ..., u_k}</tex> закончится в вершине <tex>w</tex>: remove#Ребро <tex>(u_{k-1}, u_k)</tex> не может быть инцидентно вершинам <tex>u_1, \dots , u_{k-2}</tex>, иначе степень вершины <tex>u_k</tex> окажется нечетной.#Предположим, что <tex>(u_{k-1}, u_k)</tex> инцидентно вершине, пройденной при обходе графа из вершины <tex>u</tex>. Но это неверно, так как тогда бы данные вершины пройдены ранее.Из этого следует, что мы закончим обход в вершине <tex>w</tex>. Следовательно, данная вершина первой поместится в <tex>P</tex> вслед за <tex>u</tex>, и ребро <tex>(w, u)</tex> будет представлено в <tex>P</tex>.}}{{Теорема|id=proof1|statement=Данный алгоритм находит корректный эйлеров путь.|proof=Из предыдущих лемм следует, что <tex>P</tex> {{---}} искомый эйлеров путь и алгоритм работает корректно.}}=== Рекурсивная реализация ===<font size=2> else '''function''' findEulerPath(<tex>v</tex> : Vertex): '''for''' <tex>(v,u)</tex> <tex>\in</tex> <tex>E</tex> stack.popremove <tex>(v, u)</tex> findEulerPath(<tex>u</tex>) print w(<tex>v</tex>)

== Доказательство =Рекурсивная реализация за <tex>O(E)</tex> ===Заведём 2 массива: <tex>vis</tex> и <tex>first</tex> <br><tex>vis[i] (bool)</tex> - посещено ли ребро с индексом <tex>i</tex> <tex>(i \in 0..(E-1))</tex><br> Заметим(массив нужен, чтобы за <tex>O(1)</tex> проверять, что рано доступно ребро или поздно алгоритм закончит свое выполнение, так как количество нет) <br><tex>first[u] (int)</tex> - индекс первой вершины <tex>v</tex> в списке смежных вершин, которое добавится в стектакой что ребро <tex>(u, v)</tex> не превышает количества реберпосещено <tex>(u \in 0. А на каждой итерации цикла, в стек либо добавляется вершина, либо удаляется. Ясно(V-1))</tex><br>(массив нужен, что чтобы в стеке всегда лежит какой-то путь и оператор ''print'' напечатает какой-то путь. среднем за <tex>O(1)</tex> находить доступное ребро) <br>

Пусть <tex>P</tex> - это напечатанный после окончания работы алгоритма путьИзначально оба массива заполнены нулями. Заметим, что вершина <tex>w</tex> напечатается, только в том случае, если все ребра, инцидентные с <tex>w</tex>, уже пройдены. Отсюда следует, что для любой вершины из <tex> P </tex> все инцидентные ей ребра содержатся в <tex> P </tex>. Поскольку эйлеров граф содержит не больше одной компоненты связности с более чем одной вершиной, то <tex> P </tex> содержит все ребра графа. А значит напечатанный путь эйлеров. <tex> \Box </texbr>

== Время работы ==Если реализовать удаление ребер за Граф будем хранить в виде списков смежных вершин. Для каждой вершины <tex>u</tex> построим список <tex>g[u]</tex> из пар вида <tex>O(1i,v)</tex>, то алгоритм будет работать за <br><tex>i</tex> - индекс ребра <tex>O(Eu,v)</tex>.<br><tex>v</tex> - номер смежной вершины <br>

* [[Гамильтоновы графы]]* [[Покрытие рёбер графа путями]]* [[Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы]] == Источники информации ==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Эйлеров_цикл Википедия {{---}} Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов]]