Изменения

Алгоритм напоминает поиск в ширинуглубину. Главное отличие состоит в том, что пройденными помечаются не вершины, а ребра графа. Начиная со стартовой вершины <tex>v</tex> строим путь, добавляя на каждом шаге не пройденное еще ребро, смежное с текущей вершиной. Вершины пути накапливаются в [[Стек | стеке]] <tex>S</tex>. Когда наступает такой момент, что для текущей вершины <tex>w</tex> все инцидентные ей ребра уже пройдены, записываем вершины из <tex>S</tex> в ответ, пока не встретим вершину, которой инцидентны не пройденные еще ребра. Далее продолжаем обход по не посещенным ребрам.

'''int''' numberOfOdd OddVertex <tex>= 0</tex> '''for''' <tex>v : v</tex> <tex>\in</tex> <tex>V</tex> '''if''' <tex>\operatorname{deg} </tex>(<tex>v</tex> ) '''mod''' <tex>2 == 1</tex> numberOfOdd = numberOfOdd OddVertex++ 1 '''if''' numberOfOdd OddVertex <tex> > 2 </tex><font color=darkgreen>// если количество вершин с нечетной степенью больше двух, то граф не является эйлеровым</font>

'''boolean''' vis[visited(<tex>|V|</tex>] , ''false'') <font color=darkgreen>// инициализировать массив инициализируется значениями ''false''</font> '''for''' <tex>v : v</tex> <tex>\in</tex> <tex>V</tex> '''if''' <tex>\operatorname{deg} </tex>(<tex>v</tex>) <tex> > 0</tex> dfs(<tex>v</tex>, visvisited) '''break''' '''for''' <tex>v : v</tex> <tex>\in</tex> <tex>V</tex> '''if''' <tex>\operatorname{deg} </tex>(<tex>v</tex>) <tex> > 0 </tex> '''and''' '''not''' visvisited[<tex>v</tex>] <font color=darkgreen>// если количество компонент связности, содержащие ребра, больше одной,</font>

'''function''' findEulerPath(<tex>v</tex> : Vertex): <font color=darkgreen> // если граф является полуэйлеровым, то алгоритм следует запускать из вершины нечетной степени </font> Stack S'''for''' <tex>u : u \in V</tex> '''if''' <tex>\operatorname{deg}</tex>(<tex>u</tex>) '''mod''' <tex>2 == 1</tex> <tex>v = u</tex> '''break''' <tex>S</tex>.push(<tex>v</tex>) <font color=darkgreen>// <tex>S</tex> {{---}} стек</font> '''while not''' <tex>S</tex>.isEmptyempty() <tex>w= </tex> = <tex>S</tex>.top() found_edge = '''False''' '''for''' <tex>u : u \in V</tex> '''if''' (<tex>(w, u)</tex> ) <tex>\inE</tex> <font color=darkgreen> // нашли ребро, по которому ещё не прошли</font> <tex>ES</tex> S.push(<tex>u</tex>)<font color=darkgreen> // добавили новую вершину в стек</font> <tex>E</tex>.remove (<tex>(w, u)</tex>) found_edge = '''True''' '''break''' '''elseif''' '''not''' found_edge <tex>S</tex>.pop()<font color=darkgreen> // не нашлось инцидентных вершине <tex>w</tex> рёбер, по которым ещё не прошли</font>

|proof={{TODO | t = Довести до ума}}<br>Данный алгоритм проходит по каждому ребру, причем ровно один раз. Допустим, что в момент окончания работы алгоритма имеются еще не пройденные ребра. Поскольку граф связен, должно существовать хотя бы одно непройденное ребро, инцидентное посещенной вершине. Но тогда эта вершина не могла быть удалена из <tex>S</tex>, и <tex>S</tex> не мог стать пустым. Так как после прохода по ребру оно удаляется, то пройти по нему дважды алгоритм не может.<br>Вершина <tex>v</tex>, с которой начат обход графа, будет последней помещена в путь <tex>P</tex>. Так как изначально стек пуст, и вершина <tex>v</tex> входит в стек первой, то после прохода по инцидентным ребрам, алгоритм возвращается к данной вершине, выводит ее и опустошает стек, затем выполнение программы завершается.<br>Напечатанный путь <tex>P</tex> {{---}} корректный маршрут в графе, в котором каждые две соседние вершины <tex>u_i</tex> и <tex>u_{i+1}</tex> будут образовывать ребро <tex>(u_i, u_{i+1})</tex>, принадлежащее <tex>E</tex>. Будем говорить, что ребро <tex>(w,u)</tex> представлено в <tex>S</tex> или <tex>P</tex>, если в какой-то момент работы алгоритма вершины <tex>w</tex> и <tex>u</tex> находятся рядом. Каждое ребро графа представлено в <tex>S</tex>. Рассмотрим случай, когда из <tex>S</tex> в <tex>P</tex> перемещена вершина <tex>u</tex>, а следующей в <tex>S</tex> лежит <tex>w</tex>. Возможны 2 варианта:#На следующем шаге <tex>w</tex> перемещена в <tex>P</tex>. Тогда <tex>(w,u)</tex> представлено в <tex>P</tex>.#Сначала будет пройдена некоторая последовательность ребер, начинающаяся в вершине <tex>w</tex>, и проходящая по ребру <tex>(w, u_1)</tex>. Докажем, что данный проход <tex>T</tex> <tex>{u_1, u_2, ..., u_k}</tex> закончится в вершине <tex>w</tex>: ребро <tex>(u_{k-1}, u_k)</tex> не может быть инцидентно вершинам <tex>u_1, \dots , u_{k-2}</tex>. Иначе степень вершины <tex>u_k</tex> будет нечетной. Предположим, что <tex>(u_{k-1}, u_k)</tex> инцидентно вершине, пройденной при обходе графа из вершины <tex>u</tex>. Но это неверно, так как тогда бы данные вершины пройдены ранее. Из этого следует, что мы закончим обход в вершине <tex>w</tex>. Следовательно, данная вершина первой поместится в <tex>P</tex> вслед за <tex>u</tex>, и ребро <tex>(w, u)</tex> будет представлено в <tex>P</tex>.Из этого предыдущих лемм следует, что <tex>P</tex> {{---}} искомый эйлеров путьи алгоритм работает корректно.

* [[Покрытие ребер рёбер графа путями]]