322
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Для каждого <tex>M_i</tex> построим двудольный ориентированный граф <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой - вершины из <tex>S_i S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S_i S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>I_i - y + x \in J_i</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>F_i</tex> = { <tex>x \in S_i S \setminus I_i</tex> : <tex>I_i + x \in J_i </tex>}. <tex>F</tex> = <tex>\cup _{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>
}}
Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> - максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).
Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \le r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> - ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T \cap S_i)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex>. Из определния функции ранга объединения матроидов имеем :
