Изменения

Даны [[Определение матроида|матроиды ]] <tex>M_1 = \langle (S, \mathcal{I}_1 ), \rangle</tex> и <tex>M_2 = \langle ldots ,(S, \mathcal{I}_2 \rangle_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество ]] в объединении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2\ldots M_k</tex>.

'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M</tex> = <tex>\langle (S,\mathcal{I} \rangle</tex> ) = <tex>\bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i</tex> = <tex>\langle (S,\mathcal{I}_i \rangle)</tex>

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить. Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф ]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>так, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{- --}} множество вершин из элементов <tex>S_i s \setminus notin I_i</tex>, которые могут быть добавлены в с <tex>I_i\cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex> таким образом, что <tex>I_i + xF = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> независимое множество в и <tex>M_i\mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>. Или формально:

<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex>. <tex>F</tex> = <tex>\bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex> Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. Иначе говоря, на На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества, который оставит построить [[Граф замен|граф в новом графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>текущее множество независимым ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + \cup s</tex> — снова независимо.Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex>. Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.

=== '''Псевдокод ==='''

'''if''' <tex>I_i + x s \in \mathcal{I}_i</tex> <tex>J \leftarrow I_i + xs</tex> '''Время работы''' Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>. Более детальное объяснение алгоритма (но не время работы) можно найти у C. Greene и T.L. Magnanti<ref>C. Greene, T.L. Magnanti, Some abstract pivot algorithms, SIAM Journal on Applied Mathematics, p.530-539</ref>.

Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I + \cup s \in J \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, ... \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1...\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \le leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex>. Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга ]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \le leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \le leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>