Изменения

Алгоритм '''А*'''("англ. ''A star", "А звёздочка"'') {{---}} информированный алгоритм поиска, который находит во взвешенном графе маршрут наименьшей стоимости от начальной вершины до выбранной конечной.==ЭвристикаОписание==[[Файл:Astar_progress_animation.gif|right|frame|Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому списку, а окрашенные к закрытому.]]В процессе работы алгоритма для вершин используется рассчитывается функция <tex>f(v) = g(v) + h(v)</tex>, где *<tex>g(v)</tex> {{--- }} наименьшая стоимость пути в <tex>v</tex> из стартовой вершины, *<tex>h(v)</tex> {{--- }} эвристическое приближение стоимости пути от v до конечной цели. <tex>h(v)</tex> должна быть эвристически допустимой, то есть не должна переоценивать рассояние до цели. Например, если наш граф является некоторой картой, разбитой сеткой, то эвристику можно назначить минимальным числом перемещений из клетки в клетку.К примеру, если <tex>(h(v) == 0)</tex>, то А* превращается в [http://chernykh.net/images/stories/Person/deiksteira.jpg Дейкстру ]. Если <tex>h(v)</tex> всегда меньше истинной стоимости пути до конечной цели, то А* гарантированно найдет кратчайший путь, причем чем меньше разница между эвристикой и истинной стоимостью, тем меньше вершин рассмотрит алгоритм. Если выйдет так, что эвристика превысила истинную стоимость, то А* будет работать быстрее, но возможно найдет не лучший путь, хотя его можно считать "хорошим" и если производительность предпочтительнее точности можно использовать такую эвристику.

==Псевдокод==А* просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала теДопустимая оценка является оптимистичной, которые благодаря имеющейся информации(эвристическая функция) в данный момент похожи на наилучшийпотому что она предполагает, причем алгоритм учитывает путь уже пройденный до текущей вершины. [[Файл:Astar_progress_animation.gif|thumb|right|Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому спискучто стоимость решения меньше, а окрашенные к закрытомучем оно есть на самом деле.]]<br> void A*(startВторое,goal) более сильное условие { closed := {---}}; // Множество вершин расстояние до которых мы уже оценили open.push(start);// Очередь с приоритетом f[start] = g[start] + функция <tex>h[start]; parent[start] = start; while (open.size(v) != 0) { x := open.pop(); if (x == goal) return succsess(x);// Кратчайший путь найден closed.push(x); for (y : xy in E) { if (y in closed) continue; tmp := g[x] + d[x,y] /</ Стоимость пути до y if (y not in open) { opentex> должна быть '''монотонной'''.push(y); tentative_is_better = true; } else if (tmp < g[y]) tentative_is_better := true else tentative_is_better := false if (tentative_is_better == true)// { parent[y] = x; g[y] = tmp; f[y] = g[y] + h[y]; } } } return failure; // Наша цель недостижима из start }

{{Определение|definition==Доказательство оптимальности и корректности==Полное доказательство расположено [http:Эвристическая функция <tex>h(v)</tex> называется '''монотонной''' (или '''преемственной'''), если для любой вершины <tex>v_1</www.cs.auckland.ac.nztex> и ее потомка <tex>v_2</compsci709s2ctex> разность <tex>h(v_1)</resourcestex> и <tex>h(v_2)</Mike.d/astarNilsson.pdf здесь]. Здесь приведем основные факты.Алгоритм является допустимымtex> не превышает фактического веса ребра <tex>c(корректнымv_1, v_2) если он гарантированно находит оптимальный путь из </tex> от <tex>Sv_1</tex> до целевой вершины<tex>v_2</tex>, а эвристическая оценка целевого состояния равна нулю. Допустимые алгоритмы могут различаться числом рассмотренных вершин и порядком просмотра вершин.}}

{{Теорема|statement=Любая монотонная эвристика допустима, однако обратное неверно.|proof=Пусть <tex>k(v)</tex> {{---}} длина кратчайшего пути из вершины <tex>v</tex> до цели. Докажем индукцией по числу шагов до цели, что <tex>h(v) \leqslant k(v)</tex>.<br><br>Если до цели расстояние <tex>0</tex>, то <tex>v</tex> {{---}} цель и <tex>h(v) =Допустимость А*==0 \leqslant k(v)</tex>.<br><br>Пусть <tex>v</tex> находится на расстоянии <tex>i</tex> от цели. Тогда существует потомок <tex>v'</tex>, который находится на кратчайшем пути от <tex>v</tex> до цели и <tex>v'</tex>лежит на расстоянии <tex>i - 1</tex> шагов до цели. Следовательно, <tex>h(v) \leqslant c(v, v') + h(v')</tex>. <br>По предположению, <tex>h(v') \leqslant k(v')</tex>. Следовательно, <tex>h(v) \leqslant c(v, v') + k(v') =k(v)</tex>. <br><br>Таким образом, монотонная эвристика <tex>h(v)</tex> допустима.}}

Лемма 1. Для любой незакрытой вершины {{Утверждение|statement=Если <tex>nh(v)</tex> и любого оптимального пути монотонна, то последовательность значений <tex>Pf(v)</tex> на любом пути неубывает.|proof=Доказательство следует из определения монотонности.<br>Пусть <tex>Sv'</tex> в {{---}} потомок <tex>nv</tex> существует открытая вершина , тогда <tex>ng(v') = g(v) + c(v, v')</tex>. <br>Следовательно, лежащая на этом пути, для которой найденная стоимость пути из <tex>Sf(v') = g(v') + h(v') = g(v) + c(v, v') + h(v') \geqslant g(v) + h(v) = f(v)</tex> оптимальна.}}

Теорема 1{{Утверждение|statement=Алгоритм A* является оптимальным, если функция <tex>h(v)</tex> монотонна.|proof=Последовательность вершин "развёрнутых" во время работы алгоритма находится в неубывающем порядке значений <tex>f</tex>. Если для любой вершины эвристика не переоценивает настоящую стоимость минимального пути до целевой вершиныПоэтому очередная выбираемая вершина должна представлять собой оптимальное решение, поскольку все дальнейшие узлы будут, то А* допустимпо меньшей мере, столь же дорогостоящими.}}

==Примеры эвристик=Оптимальность =Поведение алгоритма сильно зависит от того, какая эвристика используется. В свою очередь, выбор эвристики зависит[[Файл:Diagonal.png|thumb|right|Пример А* на сетке с возможностью ходить в восьми напрвлениях]] от постановки задачи. Часто А*===используется для моделирования перемещения по поверхности, покрытой координатной сеткой.

Лемма 2. Предположим* Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, что то в процессе работы А* вершина качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Manhattan_distance Wikipedia {{---}} Manhattan distance]</ref><br> <tex>nh(v) = |{v.x-goal.x}| + |{v.y-goal.y}|</tex> была закрыта и эвристика монотонна. Тогда вычисленный до нее путь из стартовой вершины оптимален.

Теорема 2* Расстояние Чебышева<ref>[https://ru. Пусть А допустимый алгоритм информированный не больше чем А* и эвристика допустима и монотоннаwikipedia.Тогда если А* рассмотрела в процессе выполнения некоторую вершину org/wiki/Расстояние_Чебышева Википедия {{---}} Расстояние Чебышева]</ref> применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали:<br> <tex>nh(v) = \max{(|{v.x-goal.x}|, |{v.y-goal.y}|)}</tex>, то А тоже рассмотрит эту вершину.

* Если передвижение не ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой:<br> <tex>h(v) = \sqrt{(v.x-goal.x)^2 + (v.y-goal.y)^2}</tex>. Также стоит обратить внимание на то как соотносятся <tex>f(v)</tex> и <tex>h(v)</tex>. Если они измеряются в разных величинах (например, <tex>g(v)</tex> {{---}} это расстояние в километрах, а <tex>h(v)</tex> {{---}} оценка времени пути в часах) А* может выдать некорректный результат. ==Реализация==В приведённой реализации:* <tex>Q</tex> {{---}} множество вершин, которые требуется рассмотреть,* <tex>U</tex> {{---}} множество рассмотренных вершин,* <tex>f[x]</tex> {{---}} значение эвристической функции "расстояние + стоимость" для вершины <tex>x</tex>,* <tex>g[x]</tex> {{---}} стоимость пути от начальной вершины до <tex>x</tex>,* <tex>h(x)</tex> {{---}} эвристическая оценка расстояния от вершины <tex>x</tex> до конечной вершины.На каждом этапе работы алгоритма из множества <tex>Q</tex> выбирается вершина с наименьшим значением эвристической функции и просматриваются её соседи. Для каждого из соседей обновляется расстояние, значение эвристической функции и он добавляется в множество <tex>Q</tex>.<br>Псевдокод: '''bool''' A*(start, goal)''':''' U = <tex> \varnothing </tex> Q = <tex> \varnothing </tex> Q.push(start) g[start] = 0 f[start] = g[start] + h(start) '''while''' Q.size() != 0 current = вершина из <tex>Q</tex> с минимальным значением <tex>f</tex> '''if''' current == goal '''return''' ''true'' <font color="green">// нашли путь до нужной вершины</font> Q.remove(current) U.push(current) '''for''' v : смежные с current вершины tentativeScore = g[current] + d(current, v) <font color="green">// d(current, v) {{---}} стоимость пути между current и v</font> '''if''' <tex>v \in U</tex> '''and''' tentativeScore >= g[v] '''continue''' '''if''' <tex>v \notin U</tex> '''or''' tentativeScore < g[v] parent[v] = current g[v] = tentativeScore f[v] = g[v] + h(v) '''if''' <tex>v \notin Q</tex> Q.push(v) '''return''' ''false'' ==См. также==* [[Эвристики для поиска кратчайших путей]]* [[Алгоритм Флойда]]* [[Алгоритм Дейкстры]]* [[Алгоритм Форда-Беллмана]] ==СсылкиПримечания==<references/> ==Источники информации==* С. Рассел, П. Норвиг {{---}} Искусственный интеллект. Современный подход, 2е издание*[httphttps://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_поиска_A* Алгоритм_поиска_AВикипедия {{---}} Алгоритм поиска A* Википедия]*[httphttps://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm Wikipedia {{---}} A*_search_algorithm Wikipediasearch algorithm]*[http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/ Статья о поиске кратчайших путей и различных оптимизациях А* в частности]*[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=3830&coll=portal&dl=ACM Статья на ACM Digital LibraryGeneralized best-first search strategies and the optimality of A*]