Изменения
→Реализация
Алгоритм '''А*'''("англ. ''A star", "А звёздочка"'') {{---}} алгоритм поиска, который находит во взвешенном графе маршрут наименьшей стоимости от начальной вершины до выбранной конечной.
==Описание==
[[Файл:Astar_progress_animation.gif|right|frame|Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому списку, а окрашенные к закрытому.]]
В процессе работы алгоритма для вершин рассчитывается функция <tex>f(v) = g(v) + h(v)</tex>, где
*<tex>g(v)</tex> {{---}} наименьшая стоимость пути в <tex>v</tex> из стартовой вершины,
*<tex>h(v)</tex> {{---}} эвристическое приближение стоимости пути от <tex>v</tex> до конечной цели. <tex>h(v)</tex> должна быть эвристически допустимой, то есть не должна переоценивать рассояние до цели. Чем меньше , тем раньше вершина будет открыта и исследована алгоритмом. Таким образом открытые алгоритмом вершины хранятся в очереди с приоритетом по значению <tex>f(v)</tex>. А* действует подобно [[Алгоритм Дейкстры | алгоритму Дейкстры]] и просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала те, которые благодаря имеющейся информации(эвристическая функция) в данный момент являются наилучшими.
{{Утверждение|statement=Алгоритм A* Если мы можем перемещаться в четырех направленияхявляется оптимальным, в качестве эвристики стоит выбрать [http://en.wikipedia.org/wiki/Manhattan_distance манхэттенское расстояние]<br> если функция <tex>h(v) = |{v</tex> монотонна.x-goal.x}| + |{v.y-goal.y}|proof=Последовательность вершин "развёрнутых" во время работы алгоритма находится в неубывающем порядке значений <tex>f</tex>. Поэтому очередная выбираемая вершина должна представлять собой оптимальное решение, поскольку все дальнейшие узлы будут, по меньшей мере, столь же дорогостоящими. }}
* Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Manhattan_distance Wikipedia {{---}} Manhattan distance]</ref><br> <tex>h(v) = |{v.x-goal.x}| + |{v.y-goal.y}|</tex>. * Расстояние Чебышева<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Чебышева Википедия {{---}} Расстояние Чебышева]</ref> применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали:<br> <tex>h(v) = \max{(|{v.x-goal.x}|, |{v.y-goal.y}|)}</tex>. * Если передвижение не ограниченно ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой:<br> <tex>h(v) = \sqrt{(v.x-goal.x)^2 + (v.y-goal.y)^2}</tex>.
Также стоит обратить внимание на то как соотносятся <tex>f(v)</tex> и <tex>h(v)</tex>. Если они измеряются в разных величинах (например, <tex>g(v)</tex> {{---}} это расстояние в километрах, а <tex>h(v)</tex> {{---}} оценка времени пути в часах) А* может выдать некорректный результат.
==ПсевдокодРеализация== В приведённой реализации:* <tex>Q</tex> {{---}} множество вершин, которые требуется рассмотреть,* <tex>U</tex> {{---}} множество рассмотренных вершин,* <tex>f[x]</tex> {{---}} значение эвристической функции "расстояние + стоимость" для вершины <tex>x</tex>,* <tex>g[Файл:Astar_progress_animationx]</tex> {{---}} стоимость пути от начальной вершины до <tex>x</tex>,* <tex>h(x)</tex> {{---}} эвристическая оценка расстояния от вершины <tex>x</tex> до конечной вершины.gif|thumb|right|Пример На каждом этапе работы А*алгоритма из множества <tex>Q</tex> выбирается вершина с наименьшим значением эвристической функции и просматриваются её соседи. Пустые кружки принадлежат к открытому спискуДля каждого из соседей обновляется расстояние, а окрашенные к закрытомузначение эвристической функции и он добавляется в множество <tex>Q</tex>.]]<br>Псевдокод: void '''bool''' A*(start,goal) ''':''' { U = <tex> \varnothing </tex> closed :Q = {}; <tex> \varnothing <// Множество вершин расстояние до которых мы уже оценилиtex> openQ.push(start);// Очередь с приоритетом g[start] = 0 f[start] = g[start] + h[(start]; parent[start] = start;) '''while (open''' Q.size() != 0) { x :current = open.pop(); вершина из <tex>Q</tex> с минимальным значением <tex>f</tex> '''if (x ''' current == goal) '''return succsess(x);''' ''true'' <font color="green">// Кратчайший нашли путь найден до нужной вершины</font> closedQ.pushremove(xcurrent); for U.push(y : xy in Ecurrent) {'''for''' v : смежные с current вершины if (y in closed) continue; tmp :tentativeScore = g[xcurrent] + d[x(current,y] v) <font color="green">// Стоимость пути до y через х if d(y not in opencurrent, v) { open.push(y); tentative_is_better = true; {---}}стоимость пути между current и v</font> else '''if (tmp ''' <tex>v \in U< /tex> '''and''' tentativeScore >= g[yv]) // можно улучшить расстояние до y tentative_is_better = true else tentative_is_better = false '''continue''' '''if (tentative_is_better == true) ''' <tex>v \notin U<// найден новый, более короткий путь до y { tex> '''or''' tentativeScore < g[v] parent[yv] = x;current g[yv] = tmp;tentativeScore f[yv] = g[yv] + h[y];(v) } '''if''' <tex>v \notin Q</tex> } } Q.push(v) '''return failure; // Наша цель недостижима из start''' ''false'' }==СвойстваСм. также==* [[Эвристики для поиска кратчайших путей]]* [[Алгоритм Флойда]]* [[Алгоритм Дейкстры]]* [[Алгоритм Форда-Беллмана]] ===Корректность=Примечания== Если <tex>h(v)<references/tex> всегда меньше либо равна истинной стоимости пути до цели, то А* гарантированно найдет кратчайший путь, причем чем меньше разница между эвристикой и истинной стоимостью, тем меньше вершин рассмотрит алгоритм.{{Теорема|statement=Пусть G - граф, h(v) - допустимая эвристическая функция. Тогда после завершения работы будет найдено кратчайшее расстояние до целевой вершины.|proof=Когда A* завершает поиск, он, согласно определению, нашёл путь, истинная стоимость которого меньше, чем оценка стоимости любого пути через любой открытый узел. Но поскольку эти оценки являются оптимистичными, соответствующие узлы можно без сомнений отбросить. Иначе говоря, A* никогда не упустит возможности минимизировать длину пути, и потому является допустимым.}}
===Оптимальность=Источники информации==Любой другой алгоритм* С. Рассел, использующий ту же эвристическую функцию <tex>h(v)</tex>П. Норвиг {{---}} Искусственный интеллект. Современный подход, рассмотрит не меньше вершин, чем А*. ==Ссылки==2е издание*[httphttps://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_поиска_A* Википедия:Алгоритм_поиска_A{{---}} Алгоритм поиска A*]*[httphttps://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm Wikipedia:{{---}} A*_search_algorithmsearch algorithm]*[http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/ Статья о поиске кратчайших путей]*[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=3830&coll=portal&dl=ACM Generalized best-first search strategies and the optimality of A*]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]