355
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
|proof=
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность (далее, видимо, за <tex> z_n </tex> обозначаются члены этой подпоследовательности), <tex> z_n z_{n_{k}} \to z </tex>.
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_n z_{n_{k}}</tex>. {{TODO|t=переписать так, чтобы было понятно, что пользуемся только подпоследовательностью.}}
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_n z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_n \to z_n = zz_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.
