Изменения

'''Амортизационный анализ''' (англ. ''amortized analysis'') {{--- }} метод подсчета подсчёта времени, требуемого для выполнения последовательности операций над структурой данных. При этом время усредняется по всем выполняемым операциям , и гарантируется анализируется средняя производительность операций в наихудшем худшем случае.}}Такой анализ чаще всего используется, чтобы показать, что даже если некоторые из операций последовательности являются дорогостоящими, то при усреднении по всем операциям средняя их стоимость будет небольшой за счёт низкой частоты встречаемости. Подчеркнём, что оценка, даваемая амортизационным анализом, не является вероятностной: это оценка среднего времени выполнения операций для худшего случая. {{Определение | definition ='''Средняя амортизационная стоимость операций''' {{---}} величина <tex>a</tex>, находящаяся по формуле: <tex dpi = 150>a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n}</tex>, где <tex>t_1,t_2 \dots t_n</tex> {{---}} время выполнения операций <tex>1,2 \dots n</tex>, совершённых над структурой данных.

<br>1. #Метод средних усреднения (метод группового анализа).<br>2#Метод потенциалов. #Метод предоплаты (метод бухгалтерского учетаучёта). ==Метод усреднения== В методе усреднения амортизационная стоимость операций определяется напрямую по формуле, указанной выше: суммарная стоимость всех операций алгоритма делится на их количество. ====Примеры==== =====Стек с multipop===== Рассмотрим [[Стек | стек]] с операцией <tex>\mathrm{multipop}{(a)}</tex> {{---}} извлечение из стека <tex>a</tex> элементов. В худшем случае она работает за <tex>O(n)</tex> времени, если удаляются все элементы массива. Однако прежде чем удалить элемент, его нужно добавить в стек. Итак, если в стеке было не более <tex>n</tex> элементов, то в худшем случае с каждым из них могли быть произведены две операции {{---}} добавление в стек и извлечение из него. Например, если было <tex>n</tex> операций <tex>\mathrm{push}{}</tex> {{---}} добавление в стек, стоимость каждой <tex>O(1)</tex>, и одна операция <tex>\mathrm{multipop}{(n)}</tex>, то суммарное время всех операций {{---}} <tex>O(n)</tex>, всего операций <tex>n + 1</tex>, а значит, амортизационная стоимость операции {{---}} <tex>O(1)</tex>. Распишем приведённые рассуждения более формально.Пусть <tex>n</tex> {{---}} количество операций, <tex>m</tex> {{---}} количество элементов, задействованных в этих операциях. Очевидно, <tex>m \leqslant n</tex> Тогда: <tex dpi = "150">a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} \sum\limits^{m}_{j=1} {t_{ij}}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{m}_{j=1} \sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}}{n},</tex> где <tex>{t_{ij}}</tex> {{---}} стоимость <tex>i</tex>-ой операции над <tex>j</tex>-ым элементом. Величина <tex>\sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}</tex> не превосходит <tex>2</tex>, так как над элементом можно совершить только две операции, стоимость которых равна <tex>1</tex> {{---}} добавление и удаление. Тогда: <tex dpi = "150">a \leqslant \genfrac{}{}{}{}{2m}{n} \leqslant 2,</tex> так как <tex>m \leqslant n</tex>. Таким образом, средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(1)</tex>. =====Двоичный счётчик=====Рассмотрим также двоичный инкрементальный счётчик (единственная возможная операция {{---}} увеличить значение на единицу).Пусть результат увеличения счётчика {{---}} <tex>n<br/tex>, тогда в худшем случае необходимо изменить значения <tex> 1 + \lfloor \log n \rfloor</tex> бит, и стоимость <tex>n</tex> операций составит <tex> O(n \log n) </tex>.Теперь воспользуемся для анализа методом усреднения.3Каждый следующий бит изменяет своё значение в <tex dpi = "150">n, \genfrac{}{}{}{}{n}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n}{4} \dots</tex> операциях. Общая стоимость:  <tex dpi = "150"> \sum\limits_{i=0}^{\lfloor \log n \rfloor} \genfrac{}{}{}{}{n}{2^i} < 2n = O(n)</tex> В итоге амортизационная стоимость одной операции {{---}} <tex>O(1)</tex>. ==Метод потенциалов== {{Теорема|about =О методе потенциалов|statement =Введём для каждого состояния структуры данных величину <tex>\Phi</tex> {{---}} потенциал.Изначально потенциал равен <tex>\Phi_0</tex>, а после выполнения <tex>i</tex>-й операции {{---}} <tex>\Phi_i</tex>. Стоимость <tex>i</tex>-й операции обозначим <tex>a_i = t_i + \Phi_i - \Phi_{i-1}</tex>. Пусть <tex>n</tex> {{---}} количество операций, <tex>m</tex> {{---}} размер структуры данных. Тогда средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(f(n, m)),</tex> если выполнены два условия: #Для любого <tex>i: a_i = O(f(n, m))</tex>#Для любого <tex>i: \Phi_i = O(n \cdot f(n, m))</tex>|proof =<tex dpi = "150">a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {a_i} + \sum\limits^{n - 1}_{i = 0} {\Phi_i} - \sum\limits^{n}_{i = 1} {\Phi_i} }{n} = \genfrac{}{}{}{}{n \cdot O(f(n, m)) + \Phi_0 - \Phi_n}{n} = O(f(n, m))</tex>}} ====Примеры==== =====Стек с multipop=====В качестве примера вновь рассмотрим стек с операцией <tex>\mathrm{multipop}{(a)}</tex>. Пусть потенциал {{---}} это количество элементов в стеке. Тогда: # Амортизационная стоимость операций:#* <tex>a_{push} = 1 + 1 = 2,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> {{---}} <tex>1</tex>, и изменение потенциала {{---}} тоже <tex>1</tex>.#* <tex>a_{pop} = 1 - 1 = 0,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{pop}{}</tex> {{---}} <tex>1</tex>, а изменение потенциала {{---}} <tex>-1</tex>.#* <tex>a_{multipop} = k - k = 0,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{multipop}{(k)}</tex> {{---}} <tex>k</tex>, а изменение потенциала {{---}} <tex>-k</tex>.# Для любого <tex>i: \Phi_i = O(n),</tex> так как элементов в стеке не может быть больше <tex>n</tex> Таким образом, <tex>f(n, m) = 1</tex>, а значит, средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(1)</tex>. =====Динамические хэш-таблицы===== Рассмотрим [[Хеш-таблица | хэш-таблицы]], использующие цепочки в виде [[Список | списков]] для [[Разрешение коллизий | разрешения коллизий]]. Для того, чтобы поиск элемента в цепочке не начал слишком сильно влиять на производительность, введём величину <tex> \alpha </tex> {{---}} фактор загруженности (load factor) нашей таблицы.Пусть в нашей таблице размером <tex> m </tex> хранится <tex> n </tex> элементов, тогда <tex dpi = "150"> \alpha = \genfrac{}{}{}{}{n}{m} </tex>.Введём значение <tex>\alpha_{max}</tex>, при превышении которого таблица будет пересоздана с увеличением размера в <tex> 2 </tex> раза, и все элементы будут перераспределены по-новому (rehashing).Из-за этого сложность операции <tex>\mathrm{add}</tex> в худшем случае составит <tex> O(n) </tex>. Для анализа структуры введём следующую потенциальную функцию: <tex>\Phi = 2n - \alpha_{max}m <br/tex>

Рассмотрим время работы каждой из операций <tex>\mathrm{add},\ \mathrm{remove},\ \mathrm{find}</tex>:#<tex>\mathrm{add}{}</tex>: <tex>\, n</tex> увеличивается на единицу. Следовательно, возникают два случая:#*<tex> \alpha < \alpha_{max} : \alpha_i =1 + 2 \cdot (n + 1) - \alpha_{max} m - (2n - \alpha_{max} m) = 3</tex>, так как время выполнения операции <tex> \mathrm{add} </tex> {{---}} <tex> 1 </tex>#*<tex>\alpha = \alpha_{max} : a_i = 1 + \alpha_{max}m + 2 \cdot (\alpha_{max} m + 1) - 2\alpha_{max} m - 2 \alpha_{max} m + \alpha_{max} m = 3 </tex>, так как таблица увеличивается в размере, поэтому время работы операции <tex> \mathrm{add} </tex> составит <tex> 1 + \alpha_{max}m </tex>, потому что сейчас в таблице <tex> n =Метод средних \alpha_{max} m </tex> элементов.# <tex>\mathrm{find}{}</tex>:#* Если элементы распределяются по таблице достаточно равномерно, то время поиска элемента в списке {{---}} <tex>O(1)</tex>, потенциал не изменяется, следовательно и реальная, и амортизированная сложности {{---}} <tex>1</tex>.#* В случае, если все элементы оказываются размещены в одном списке, время поиска элемента достигает <tex>O(n)</tex>. Это время может быть улучшено до <tex>O(\log n)</tex>, если вместо списков использовать сбалансированные [[Дерево поиска, наивная реализация | деревья поиска]] (метод группового анализаэта модификация была добавлена в <tex>\mathrm{Java\ 8}{}</tex> для стандартной коллекции <tex>\mathrm{HashSet}</tex>).#<tex>\mathrm{remove}{}</tex>: <tex> n</tex> уменьшается на единицу. Тогда амортизационное время работы с учётом изменения потенциала составит:#* <tex> a_{remove} =1 + 2 \cdot (n - 1) - \alpha_{max} m - (2n - \alpha_{max} m) =-1 </tex>

Определим Так как <tex>t_1,t_2, ... t_n\Phi_i = 2 n - \alpha_{max} m = O(n)</tex> - время выполнения операций , поэтому если <tex>f(n, m) = 1,2, ... , n.</tex><br>В методе средних амортизированная стоимость операций определяется следующим образом: суммарная , то средняя амортизационная стоимость всех модифицирующих операций алгоритма делится на их количество, т.е. составит <tex>\frac{\sum^{n}_{ia =O(1} {t_i}}{n}) </tex>. При этом каждой операции присвается одна и та же средняя амортизированная стоимость.

Рассмотрим стек с операцией <tex>multipop==Метод предоплаты==Представим, что использование определённого количества времени равносильно использованию определённого количества монет (aплата за выполнение каждой операции)</tex> - извлечение из стека <tex>a</tex> элементов. В худшем случае она работает за <tex>O(n)</tex> времени, если удаляются все элементы массиваметоде предоплаты каждому типу операций присваивается своя учётная стоимость. Однако прежде чем удалить элементЭта стоимость может быть больше фактической, его нужно добавить в стек. Итак, если таком случае лишние монеты используются как резерв для выполнения других операций в стеке было не более <tex>n</tex> элементовбудущем, то в худшем случае с каждым из могли а может быть произведены 2 меньше, тогда гарантируется, что текущего накопленного резерва достаточно для выполнения операции - добавление в стек и извлечение из него. Например, если было Для доказательства оценки средней амортизационной стоимости <tex>O(f(n, m))</tex> операций <tex>push</tex> - добавление в стекнужно построить учётные стоимости так, стоимость что для каждой операции она будет составлять <tex>O(1f(n, m))</tex>, и одна операция . Тогда для последовательности из <tex>multipop(n)</tex>, то суммарное время всех операций - суммарно будет затрачено <tex>n \cdot O(2nf(n, m))</tex>монет, следовательно, всего средняя амортизационная стоимость операций будет <texdpi = "150">a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n+}_{i = 1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{n \cdot O(f(n, m))}{n}</tex>, а значит, амортизационная стоимость операции - <tex>= O(1f(n, m))</tex>.

==Метод предоплаты (метод бухгалтерского учета)==Примеры=========Стек с multipop=====При выполнении операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> будем использовать две монеты {{---}} одну для самой операции, а вторую {{---}} в качестве резерва. Тогда для операций <tex>\mathrm{pop}{}</tex> и <tex>\mathrm{multipop}{}</tex> учётную стоимость можно принять равной нулю и использовать для удаления элемента монету, оставшуюся после операции <tex>\mathrm{push}{}</tex>.

Рассмотрим метод предоплаты на примере работы саморасширяющегося массива.Пусть в массиве реализована операция Таким образом, для каждой операции требуется <tex>addO(x1)</tex> - добавление элемента <tex>x</tex> в последнюю незанятую ячейку массивамонет, если она есть. В противном случае эта операция выделяет память размером <tex>2n</tex>значит, если в массиве было средняя амортизационная стоимость операций <tex>n</tex> элементов, и добавляет <tex>x</tex> на <tex>n+a = O(1)</tex> место в новом массиве.

==Литература==[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]Томас Кормен. Алгоритмы. Построение и [[Категория: Амортизационный анализ. - Санкт-Петербург, 2005. стр. 483-491.]]