Амортизационный анализ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Метод предоплаты (метод бухгалтерского учета))
м
(не показано 46 промежуточных версий 11 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
==Основные определения==
 
==Основные определения==
 
{{Определение | definition =
 
{{Определение | definition =
'''Амортизационный анализ''' - метод подсчета времени, требуемого для выполнения последовательности операций над структурой данных. При этом время усредняется по всем выполняемым операциям и гарантируется средняя производительность операций в наихудшем случае.
+
'''Амортизационный анализ''' (англ. ''amortized analysis'') {{---}} метод подсчёта времени, требуемого для выполнения последовательности операций над структурой данных. При этом время усредняется по всем выполняемым операциям, и анализируется средняя производительность операций в худшем случае.
 +
}}
 +
Такой анализ чаще всего используется, чтобы показать, что даже если некоторые из операций последовательности являются дорогостоящими, то при усреднении по всем операциям средняя их стоимость будет небольшой за счёт низкой частоты встречаемости. Подчеркнём, что оценка, даваемая амортизационным анализом, не является вероятностной: это оценка среднего времени выполнения операций для худшего случая.
 +
{{Определение | definition =
 +
'''Средняя амортизационная стоимость операций''' {{---}} величина <tex>a</tex>, находящаяся по формуле: <tex dpi = 150>a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n}</tex>, где <tex>t_1,t_2 \dots t_n</tex> {{---}} время выполнения операций <tex>1,2 \dots n</tex>, совершённых над структурой данных.
 
}}
 
}}
Такой анализ чаще всего используется, чтобы показать, что даже если одна из операций последовательности является дорогостоящей, то при усреднении по всем операциям средняя их стоимость будет небольшой.
 
<br>
 
 
Амортизационный анализ использует следующие методы:
 
Амортизационный анализ использует следующие методы:
<br>
+
#Метод усреднения (метод группового анализа).
1. Метод средних (метод группового анализа).<br>
+
#Метод потенциалов.
2. Метод предоплаты (метод бухгалтерского учета).<br>
+
#Метод предоплаты (метод бухгалтерского учёта).
3. Метод потенциалов.<br>
+
 
 +
==Метод усреднения==
 +
 
 +
В методе усреднения амортизационная стоимость операций определяется напрямую по формуле, указанной выше: суммарная стоимость всех операций алгоритма делится на их количество.
 +
 
 +
====Примеры====
 +
 
 +
=====Стек с multipop=====
 +
 
 +
Рассмотрим [[Стек | стек]] с операцией <tex>\mathrm{multipop}{(a)}</tex> {{---}} извлечение из стека <tex>a</tex> элементов. В худшем случае она работает за <tex>O(n)</tex> времени, если удаляются все элементы массива. Однако прежде чем удалить элемент, его нужно добавить в стек. Итак, если в стеке было не более <tex>n</tex> элементов, то в худшем случае с каждым из них могли быть произведены две операции {{---}} добавление в стек и извлечение из него. Например, если было <tex>n</tex> операций <tex>\mathrm{push}{}</tex> {{---}} добавление в стек, стоимость каждой <tex>O(1)</tex>, и одна операция <tex>\mathrm{multipop}{(n)}</tex>, то суммарное время всех операций {{---}} <tex>O(n)</tex>, всего операций <tex>n + 1</tex>, а значит, амортизационная стоимость операции {{---}} <tex>O(1)</tex>.
 +
 
 +
Распишем приведённые рассуждения более формально.
 +
Пусть <tex>n</tex> {{---}} количество операций, <tex>m</tex> {{---}} количество элементов, задействованных в этих операциях. Очевидно, <tex>m \leqslant n</tex> Тогда:
 +
 
 +
<tex dpi = "150">a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} \sum\limits^{m}_{j=1} {t_{ij}}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{m}_{j=1} \sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}}{n},</tex> где <tex>{t_{ij}}</tex> {{---}} стоимость <tex>i</tex>-ой операции над <tex>j</tex>-ым элементом. Величина <tex>\sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}</tex> не превосходит <tex>2</tex>, так как над элементом можно совершить только две операции, стоимость которых равна <tex>1</tex> {{---}} добавление и удаление. Тогда:
 +
 
 +
<tex dpi = "150">a \leqslant \genfrac{}{}{}{}{2m}{n} \leqslant 2,</tex> так как <tex>m \leqslant n</tex>.
 +
 
 +
Таким образом, средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(1)</tex>.
 +
 
 +
=====Двоичный счётчик=====
 +
Рассмотрим также двоичный инкрементальный счётчик (единственная возможная операция {{---}} увеличить значение на единицу).
 +
Пусть результат увеличения счётчика {{---}} <tex>n</tex>, тогда в худшем случае необходимо изменить значения <tex> 1 + \lfloor \log n \rfloor</tex> бит, и стоимость <tex>n</tex> операций составит <tex> O(n \log n) </tex>.
 +
Теперь воспользуемся для анализа методом усреднения.
 +
Каждый следующий бит изменяет своё значение в <tex dpi = "150">n, \genfrac{}{}{}{}{n}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n}{4} \dots</tex> операциях.
 +
Общая стоимость:
 +
 
 +
<tex dpi = "150"> \sum\limits_{i=0}^{\lfloor \log n \rfloor} \genfrac{}{}{}{}{n}{2^i} < 2n = O(n)</tex>
 +
 
 +
В итоге амортизационная стоимость одной операции {{---}} <tex>O(1)</tex>.
 +
 
 +
==Метод потенциалов==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about =
 +
О методе потенциалов
 +
|statement =
 +
Введём для каждого состояния структуры данных величину <tex>\Phi</tex> {{---}} потенциал. Изначально потенциал равен <tex>\Phi_0</tex>, а после выполнения <tex>i</tex>-й операции {{---}} <tex>\Phi_i</tex>. Стоимость <tex>i</tex>-й операции обозначим <tex>a_i = t_i + \Phi_i - \Phi_{i-1}</tex>. Пусть <tex>n</tex> {{---}} количество операций, <tex>m</tex> {{---}} размер структуры данных. Тогда средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(f(n, m)),</tex> если выполнены два условия:
 +
 
 +
#Для любого <tex>i: a_i = O(f(n, m))</tex>
 +
#Для любого <tex>i: \Phi_i = O(n \cdot f(n, m))</tex>
 +
|proof =
 +
<tex dpi = "150">a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {a_i} + \sum\limits^{n - 1}_{i = 0} {\Phi_i} - \sum\limits^{n}_{i = 1} {\Phi_i} }{n} = \genfrac{}{}{}{}{n \cdot O(f(n, m)) + \Phi_0 - \Phi_n}{n} = O(f(n, m))</tex>
 +
}}
 +
 
 +
====Примеры====
 +
 
 +
=====Стек с multipop=====
 +
В качестве примера вновь рассмотрим стек с операцией <tex>\mathrm{multipop}{(a)}</tex>. Пусть потенциал {{---}} это количество элементов в стеке. Тогда:
 +
 
 +
# Амортизационная стоимость операций:
 +
#* <tex>a_{push} = 1 + 1 = 2,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> {{---}} <tex>1</tex>, и изменение потенциала {{---}} тоже <tex>1</tex>.
 +
#* <tex>a_{pop} = 1 - 1 = 0,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{pop}{}</tex> {{---}} <tex>1</tex>, а изменение потенциала {{---}} <tex>-1</tex>.
 +
#* <tex>a_{multipop} = k - k = 0,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{multipop}{(k)}</tex> {{---}} <tex>k</tex>, а изменение потенциала {{---}} <tex>-k</tex>.
 +
# Для любого <tex>i: \Phi_i = O(n),</tex> так как элементов в стеке не может быть больше <tex>n</tex>
 +
 
 +
Таким образом, <tex>f(n, m) = 1</tex>, а значит, средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(1)</tex>.
 +
 
 +
=====Динамические хэш-таблицы=====
 +
 
 +
Рассмотрим [[Хеш-таблица | хэш-таблицы]], использующие цепочки в виде [[Список | списков]] для [[Разрешение коллизий | разрешения коллизий]]. Для того, чтобы поиск элемента в цепочке не начал слишком сильно влиять на производительность, введём величину <tex> \alpha </tex>  {{---}} фактор загруженности (load factor) нашей таблицы.
 +
Пусть в нашей таблице размером <tex> m </tex> хранится <tex> n </tex> элементов, тогда <tex dpi = "150"> \alpha = \genfrac{}{}{}{}{n}{m} </tex>.
 +
Введём значение <tex>\alpha_{max}</tex>, при превышении которого таблица будет пересоздана с увеличением размера в <tex> 2 </tex> раза, и все элементы будут перераспределены по-новому (rehashing).
 +
Из-за этого сложность операции <tex>\mathrm{add}</tex> в худшем случае составит <tex> O(n) </tex>.
 +
 
 +
Для анализа структуры введём следующую потенциальную функцию: <tex>\Phi = 2n - \alpha_{max}m </tex>
 +
 
 +
Рассмотрим время работы каждой из операций <tex>\mathrm{add},\ \mathrm{remove},\ \mathrm{find}</tex>:
 +
#<tex>\mathrm{add}{}</tex>: <tex>\, n</tex> увеличивается на единицу. Следовательно, возникают два случая:
 +
#*<tex> \alpha < \alpha_{max} : \alpha_i = 1 + 2 \cdot (n + 1) - \alpha_{max} m - (2n - \alpha_{max} m) = 3</tex>, так как время выполнения операции <tex> \mathrm{add} </tex> {{---}} <tex> 1 </tex>
 +
#*<tex>\alpha = \alpha_{max} : a_i = 1 + \alpha_{max}m + 2 \cdot (\alpha_{max} m + 1) - 2\alpha_{max} m - 2 \alpha_{max} m + \alpha_{max} m = 3 </tex>, так как таблица увеличивается в размере, поэтому время работы операции <tex> \mathrm{add} </tex> составит <tex> 1 + \alpha_{max}m </tex>, потому что сейчас в таблице <tex> n = \alpha_{max} m </tex> элементов.
 +
# <tex>\mathrm{find}{}</tex>:
 +
#* Если элементы распределяются по таблице достаточно равномерно, то время поиска элемента в списке {{---}} <tex>O(1)</tex>, потенциал не изменяется, следовательно и реальная, и амортизированная сложности {{---}} <tex>1</tex>.
 +
#* В случае, если все элементы оказываются размещены в одном списке, время поиска элемента достигает <tex>O(n)</tex>. Это время может быть улучшено до <tex>O(\log n)</tex>, если вместо списков использовать сбалансированные [[Дерево поиска, наивная реализация | деревья поиска]] (эта модификация была добавлена в <tex>\mathrm{Java\ 8}{}</tex> для стандартной коллекции <tex>\mathrm{HashSet}</tex>).
 +
#<tex>\mathrm{remove}{}</tex>: <tex> n</tex> уменьшается на единицу. Тогда амортизационное время работы с учётом изменения потенциала составит:
 +
#* <tex> a_{remove} = 1 + 2 \cdot (n - 1) - \alpha_{max} m - (2n - \alpha_{max} m) = -1 </tex>
  
==Метод средних (метод группового анализа)==
+
Так как <tex> \Phi_i = 2 n - \alpha_{max} m = O(n)</tex>, поэтому если <tex> f(n, m) = 1 </tex>, то средняя амортизационная стоимость модифицирующих операций составит <tex> a = O(1) </tex>.
  
Определим  <tex>t_1,t_2, ... t_n</tex> - время выполнения операций <tex>1,2, ... , n.</tex><br>
+
==Метод предоплаты==
В методе средних амортизированная стоимость операций определяется следующим образом: суммарная стоимость всех операций алгоритма делится на их количество, т.е. <tex>\frac{\sum^{n}_{i=1} {t_i}}{n}</tex>. При этом каждой операции присвается одна и та же средняя амортизированная стоимость.
+
Представим, что использование определённого количества времени равносильно использованию определённого количества монет (плата за выполнение каждой операции). В методе предоплаты каждому типу операций присваивается своя учётная стоимость. Эта стоимость может быть больше фактической, в таком случае лишние монеты используются как резерв для выполнения других операций в будущем, а может быть меньше, тогда гарантируется, что текущего накопленного резерва достаточно для выполнения операции. Для доказательства оценки средней амортизационной стоимости <tex>O(f(n, m))</tex> нужно построить учётные стоимости так, что для каждой операции она будет составлять <tex>O(f(n, m))</tex>. Тогда для последовательности из <tex>n</tex> операций суммарно будет затрачено <tex>n \cdot O(f(n, m))</tex> монет, следовательно, средняя амортизационная стоимость операций будет <tex dpi = "150">a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{n \cdot O(f(n, m))}{n}</tex> <tex>= O(f(n, m))</tex>.
  
Рассмотрим стек с операцией <tex>multipop(a)</tex> - извлечение из стека <tex>a</tex> элементов. В худшем случае она работает за <tex>O(n)</tex> времени, если удаляются все элементы массива. Однако прежде чем удалить элемент, его нужно добавить в стек. Итак, если в стеке было не более <tex>n</tex> элементов, то в худшем случае с каждым из них могли быть произведены 2 операции - добавление в стек и извлечение из него. Например, если было <tex>n</tex> операций <tex>push</tex> - добавление в стек, стоимость каждой <tex>O(1)</tex>, и одна операция <tex>multipop(n)</tex>, то суммарное время всех операций - <tex>O(2n)</tex>, всего операций <tex>n+1</tex>, а значит, амортизационная стоимость операции - <tex>O(1)</tex>.
+
====Примеры====
 +
=====Стек с multipop=====
 +
При выполнении операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> будем использовать две монеты {{---}} одну для самой операции, а вторую {{---}} в качестве резерва. Тогда для операций <tex>\mathrm{pop}{}</tex> и <tex>\mathrm{multipop}{}</tex> учётную стоимость можно принять равной нулю и использовать для удаления элемента монету, оставшуюся после операции <tex>\mathrm{push}{}</tex>.
  
==Метод предоплаты (метод бухгалтерского учета)==
+
Таким образом, для каждой операции требуется <tex>O(1)</tex> монет, значит, средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(1)</tex>.
  
Рассмотрим метод предоплаты на примере работы саморасширяющегося массива.
+
==Источники информации==
Пусть в массиве реализована операция <tex>add(x)</tex> - добавление элемента <tex>x</tex> в последнюю незанятую ячейку массива, если она есть. В противном случае эта операция выделяет память размером <tex>2n</tex>, если в массиве было <tex>n</tex> элементов, и добавляет <tex>x</tex> на <tex>n+1</tex> место в новом массиве. Покажем, что амортизированная стоимость операции <tex>add</tex> равна трем.<br>
+
* [[wikipedia:Amortized_analysis | Wikipedia {{---}} Amortized analysis]]
 +
* Томас Кормен. Алгоритмы. Построение и анализ. - Санкт-Петербург, 2005. стр. 483-491.
  
==Литература==
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
Томас Кормен. Алгоритмы. Построение и анализ. - Санкт-Петербург, 2005. стр. 483-491.
+
[[Категория: Амортизационный анализ]]

Версия 16:12, 16 января 2019

Основные определения

Определение:
Амортизационный анализ (англ. amortized analysis) — метод подсчёта времени, требуемого для выполнения последовательности операций над структурой данных. При этом время усредняется по всем выполняемым операциям, и анализируется средняя производительность операций в худшем случае.

Такой анализ чаще всего используется, чтобы показать, что даже если некоторые из операций последовательности являются дорогостоящими, то при усреднении по всем операциям средняя их стоимость будет небольшой за счёт низкой частоты встречаемости. Подчеркнём, что оценка, даваемая амортизационным анализом, не является вероятностной: это оценка среднего времени выполнения операций для худшего случая.

Определение:
Средняя амортизационная стоимость операций — величина [math]a[/math], находящаяся по формуле: [math]a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n}[/math], где [math]t_1,t_2 \dots t_n[/math] — время выполнения операций [math]1,2 \dots n[/math], совершённых над структурой данных.

Амортизационный анализ использует следующие методы:

  1. Метод усреднения (метод группового анализа).
  2. Метод потенциалов.
  3. Метод предоплаты (метод бухгалтерского учёта).

Метод усреднения

В методе усреднения амортизационная стоимость операций определяется напрямую по формуле, указанной выше: суммарная стоимость всех операций алгоритма делится на их количество.

Примеры

Стек с multipop

Рассмотрим стек с операцией [math]\mathrm{multipop}{(a)}[/math] — извлечение из стека [math]a[/math] элементов. В худшем случае она работает за [math]O(n)[/math] времени, если удаляются все элементы массива. Однако прежде чем удалить элемент, его нужно добавить в стек. Итак, если в стеке было не более [math]n[/math] элементов, то в худшем случае с каждым из них могли быть произведены две операции — добавление в стек и извлечение из него. Например, если было [math]n[/math] операций [math]\mathrm{push}{}[/math] — добавление в стек, стоимость каждой [math]O(1)[/math], и одна операция [math]\mathrm{multipop}{(n)}[/math], то суммарное время всех операций — [math]O(n)[/math], всего операций [math]n + 1[/math], а значит, амортизационная стоимость операции — [math]O(1)[/math].

Распишем приведённые рассуждения более формально. Пусть [math]n[/math] — количество операций, [math]m[/math] — количество элементов, задействованных в этих операциях. Очевидно, [math]m \leqslant n[/math] Тогда:

[math]a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} \sum\limits^{m}_{j=1} {t_{ij}}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{m}_{j=1} \sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}}{n},[/math] где [math]{t_{ij}}[/math] — стоимость [math]i[/math]-ой операции над [math]j[/math]-ым элементом. Величина [math]\sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}[/math] не превосходит [math]2[/math], так как над элементом можно совершить только две операции, стоимость которых равна [math]1[/math] — добавление и удаление. Тогда:

[math]a \leqslant \genfrac{}{}{}{}{2m}{n} \leqslant 2,[/math] так как [math]m \leqslant n[/math].

Таким образом, средняя амортизационная стоимость операций [math]a = O(1)[/math].

Двоичный счётчик

Рассмотрим также двоичный инкрементальный счётчик (единственная возможная операция — увеличить значение на единицу). Пусть результат увеличения счётчика — [math]n[/math], тогда в худшем случае необходимо изменить значения [math] 1 + \lfloor \log n \rfloor[/math] бит, и стоимость [math]n[/math] операций составит [math] O(n \log n) [/math]. Теперь воспользуемся для анализа методом усреднения. Каждый следующий бит изменяет своё значение в [math]n, \genfrac{}{}{}{}{n}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n}{4} \dots[/math] операциях. Общая стоимость:

[math] \sum\limits_{i=0}^{\lfloor \log n \rfloor} \genfrac{}{}{}{}{n}{2^i} \lt 2n = O(n)[/math]

В итоге амортизационная стоимость одной операции — [math]O(1)[/math].

Метод потенциалов

Теорема (О методе потенциалов):
Введём для каждого состояния структуры данных величину [math]\Phi[/math] — потенциал. Изначально потенциал равен [math]\Phi_0[/math], а после выполнения [math]i[/math]-й операции — [math]\Phi_i[/math]. Стоимость [math]i[/math]-й операции обозначим [math]a_i = t_i + \Phi_i - \Phi_{i-1}[/math]. Пусть [math]n[/math] — количество операций, [math]m[/math] — размер структуры данных. Тогда средняя амортизационная стоимость операций [math]a = O(f(n, m)),[/math] если выполнены два условия:
  1. Для любого [math]i: a_i = O(f(n, m))[/math]
  2. Для любого [math]i: \Phi_i = O(n \cdot f(n, m))[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {a_i} + \sum\limits^{n - 1}_{i = 0} {\Phi_i} - \sum\limits^{n}_{i = 1} {\Phi_i} }{n} = \genfrac{}{}{}{}{n \cdot O(f(n, m)) + \Phi_0 - \Phi_n}{n} = O(f(n, m))[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Стек с multipop

В качестве примера вновь рассмотрим стек с операцией [math]\mathrm{multipop}{(a)}[/math]. Пусть потенциал — это количество элементов в стеке. Тогда:

  1. Амортизационная стоимость операций:
    • [math]a_{push} = 1 + 1 = 2,[/math] так как время выполнения операции [math]\mathrm{push}{}[/math][math]1[/math], и изменение потенциала — тоже [math]1[/math].
    • [math]a_{pop} = 1 - 1 = 0,[/math] так как время выполнения операции [math]\mathrm{pop}{}[/math][math]1[/math], а изменение потенциала — [math]-1[/math].
    • [math]a_{multipop} = k - k = 0,[/math] так как время выполнения операции [math]\mathrm{multipop}{(k)}[/math][math]k[/math], а изменение потенциала — [math]-k[/math].
  2. Для любого [math]i: \Phi_i = O(n),[/math] так как элементов в стеке не может быть больше [math]n[/math]

Таким образом, [math]f(n, m) = 1[/math], а значит, средняя амортизационная стоимость операций [math]a = O(1)[/math].

Динамические хэш-таблицы

Рассмотрим хэш-таблицы, использующие цепочки в виде списков для разрешения коллизий. Для того, чтобы поиск элемента в цепочке не начал слишком сильно влиять на производительность, введём величину [math] \alpha [/math] — фактор загруженности (load factor) нашей таблицы. Пусть в нашей таблице размером [math] m [/math] хранится [math] n [/math] элементов, тогда [math] \alpha = \genfrac{}{}{}{}{n}{m} [/math]. Введём значение [math]\alpha_{max}[/math], при превышении которого таблица будет пересоздана с увеличением размера в [math] 2 [/math] раза, и все элементы будут перераспределены по-новому (rehashing). Из-за этого сложность операции [math]\mathrm{add}[/math] в худшем случае составит [math] O(n) [/math].

Для анализа структуры введём следующую потенциальную функцию: [math]\Phi = 2n - \alpha_{max}m [/math]

Рассмотрим время работы каждой из операций [math]\mathrm{add},\ \mathrm{remove},\ \mathrm{find}[/math]:

  1. [math]\mathrm{add}{}[/math]: [math]\, n[/math] увеличивается на единицу. Следовательно, возникают два случая:
    • [math] \alpha \lt \alpha_{max} : \alpha_i = 1 + 2 \cdot (n + 1) - \alpha_{max} m - (2n - \alpha_{max} m) = 3[/math], так как время выполнения операции [math] \mathrm{add} [/math][math] 1 [/math]
    • [math]\alpha = \alpha_{max} : a_i = 1 + \alpha_{max}m + 2 \cdot (\alpha_{max} m + 1) - 2\alpha_{max} m - 2 \alpha_{max} m + \alpha_{max} m = 3 [/math], так как таблица увеличивается в размере, поэтому время работы операции [math] \mathrm{add} [/math] составит [math] 1 + \alpha_{max}m [/math], потому что сейчас в таблице [math] n = \alpha_{max} m [/math] элементов.
  2. [math]\mathrm{find}{}[/math]:
    • Если элементы распределяются по таблице достаточно равномерно, то время поиска элемента в списке — [math]O(1)[/math], потенциал не изменяется, следовательно и реальная, и амортизированная сложности — [math]1[/math].
    • В случае, если все элементы оказываются размещены в одном списке, время поиска элемента достигает [math]O(n)[/math]. Это время может быть улучшено до [math]O(\log n)[/math], если вместо списков использовать сбалансированные деревья поиска (эта модификация была добавлена в [math]\mathrm{Java\ 8}{}[/math] для стандартной коллекции [math]\mathrm{HashSet}[/math]).
  3. [math]\mathrm{remove}{}[/math]: [math] n[/math] уменьшается на единицу. Тогда амортизационное время работы с учётом изменения потенциала составит:
    • [math] a_{remove} = 1 + 2 \cdot (n - 1) - \alpha_{max} m - (2n - \alpha_{max} m) = -1 [/math]

Так как [math] \Phi_i = 2 n - \alpha_{max} m = O(n)[/math], поэтому если [math] f(n, m) = 1 [/math], то средняя амортизационная стоимость модифицирующих операций составит [math] a = O(1) [/math].

Метод предоплаты

Представим, что использование определённого количества времени равносильно использованию определённого количества монет (плата за выполнение каждой операции). В методе предоплаты каждому типу операций присваивается своя учётная стоимость. Эта стоимость может быть больше фактической, в таком случае лишние монеты используются как резерв для выполнения других операций в будущем, а может быть меньше, тогда гарантируется, что текущего накопленного резерва достаточно для выполнения операции. Для доказательства оценки средней амортизационной стоимости [math]O(f(n, m))[/math] нужно построить учётные стоимости так, что для каждой операции она будет составлять [math]O(f(n, m))[/math]. Тогда для последовательности из [math]n[/math] операций суммарно будет затрачено [math]n \cdot O(f(n, m))[/math] монет, следовательно, средняя амортизационная стоимость операций будет [math]a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{n \cdot O(f(n, m))}{n}[/math] [math]= O(f(n, m))[/math].

Примеры

Стек с multipop

При выполнении операции [math]\mathrm{push}{}[/math] будем использовать две монеты — одну для самой операции, а вторую — в качестве резерва. Тогда для операций [math]\mathrm{pop}{}[/math] и [math]\mathrm{multipop}{}[/math] учётную стоимость можно принять равной нулю и использовать для удаления элемента монету, оставшуюся после операции [math]\mathrm{push}{}[/math].

Таким образом, для каждой операции требуется [math]O(1)[/math] монет, значит, средняя амортизационная стоимость операций [math]a = O(1)[/math].

Источники информации

  • Wikipedia — Amortized analysis
  • Томас Кормен. Алгоритмы. Построение и анализ. - Санкт-Петербург, 2005. стр. 483-491.