Анализ реализации с ранговой эвристикой — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 54: Строка 54:
 
<center><tex>
 
<center><tex>
 
S=  {\sum_{get} \limits} ({\sum_{v:v \in get,v \in T1} \limits 1} + {\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits 1} + {\sum_{v: \in get,v \in T3} \limits 1}  ) /  m  
 
S=  {\sum_{get} \limits} ({\sum_{v:v \in get,v \in T1} \limits 1} + {\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits 1} + {\sum_{v: \in get,v \in T3} \limits 1}  ) /  m  
</tex>,</center>
+
</tex></center>
 
где <tex>  {v \in get } </tex> означает что ребро  начало которого находится в <tex> v </tex> было пройдено во время выполнения  текущего  <tex> get </tex>.  
 
где <tex>  {v \in get } </tex> означает что ребро  начало которого находится в <tex> v </tex> было пройдено во время выполнения  текущего  <tex> get </tex>.  
 
Ребро <tex> v </tex>  эквивалентно вершине в которой оно начинается.
 
Ребро <tex> v </tex>  эквивалентно вершине в которой оно начинается.
  
 
В силу того что <tex>{\sum_{v:v \in get,v \in T1} \limits 1} = O(1) </tex> получаем:  
 
В силу того что <tex>{\sum_{v:v \in get,v \in T1} \limits 1} = O(1) </tex> получаем:  
<center><tex> S = O(1) +  {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits} 1/m+ {\sum_{get} \limits} ~  {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/m  </tex></center> .
+
<center><tex> S = O(1) +  {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits} 1/m+ {\sum_{get} \limits} ~  {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/m  </tex></center>
  
 
Во время <tex> get </tex> после прохождения K ребер из второго класса <tex> R(v1) \ge  x^{x^{.^{.^{.^{x^{R(v)}}}}}} </tex>  
 
Во время <tex> get </tex> после прохождения K ребер из второго класса <tex> R(v1) \ge  x^{x^{.^{.^{.^{x^{R(v)}}}}}} </tex>  
Строка 73: Строка 73:
 
Как максимум через <tex> x^{R(k)} </tex> переходов ребро перестанет появляться в классе Т3.
 
Как максимум через <tex> x^{R(k)} </tex> переходов ребро перестанет появляться в классе Т3.
  
<center><tex>  {\sum_{get} \limits}~  {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n = {\sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ v \in T3} \limits  }  1/n \le \sum_v \limits x^{R(v)} /n </tex></center>.
+
<center><tex>  {\sum_{get} \limits}~  {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n = {\sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ v \in T3} \limits  }  1/n \le \sum_v \limits x^{R(v)} /n </tex></center>
  
 
Из второго следствия второго утверждения следует
 
Из второго следствия второго утверждения следует
<center> <tex> {\sum_{get} \limits}~  {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n \le  \sum_{Rank=0}^{log_{2}(n)} \limits {nx^{Rank} \over 2^{Rank} n} </tex></center>.
+
<center> <tex> {\sum_{get} \limits}~  {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n \le  \sum_{Rank=0}^{log_{2}(n)} \limits {nx^{Rank} \over 2^{Rank} n} </tex></center>
  
 
При  <tex> x < 2~</tex> :<center> <tex>{\sum_{get} \limits}~  {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n \le  \sum_{Rank=0}^{log_{2}(n)} \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}}  \le \sum_{Rank=0}^\infty \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank} }  \le { 2 \over 2-x } = O(1) </tex></center>.   
 
При  <tex> x < 2~</tex> :<center> <tex>{\sum_{get} \limits}~  {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n \le  \sum_{Rank=0}^{log_{2}(n)} \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}}  \le \sum_{Rank=0}^\infty \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank} }  \le { 2 \over 2-x } = O(1) </tex></center>.   
Строка 85: Строка 85:
 
}}
 
}}
  
 +
== Ссылки ==
  
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm Wikipedia -Iterated logarithm]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm Wikipedia -Iterated logarithm]

Версия 22:25, 29 июня 2011

Пусть [math] union(v1,v2) [/math] - процедура слития двух множеств содержащих [math] v1 [/math],[math] v2 [/math], а [math] get(v) [/math] - поиск корня поддерева содержащего [math] v [/math]. Рассмотрим [math] n [/math] операций [math] union [/math] и [math] m [/math] операций [math] get [/math]. Для удобства и без потери общности будем считать [math] union [/math] принимает в качестве аргументов корни поддеревьев и [math] m \gt n [/math], то есть [math] union(v1,v2) [/math] заменяем на [math] union(get(v1),get(v2)) [/math].

Тогда нам надо оценить стоимость операции [math] get(v) [/math]. Обозначим [math]R(v)[/math] - ранг вершины,[math]P(v)[/math] - отец вершины,[math]L(v) [/math] - самый первый отец вершины, [math] K(v) [/math] - количество вершин в поддерева корнем которого является [math] v [/math]

Утверждение:
[math] R(P(v))\gt R(v) [/math]
[math]\triangleright[/math]

Из того как работает [math] get [/math] следует: 1.[math] R(L(v))\gt R(v) [/math]

2. Между [math] v [/math] и [math] P(v) [/math] существует путь вида : [math] v \rightarrow L(v) \rightarrow L(L(v)) \rightarrow ... \rightarrow P(v) [/math]

Записав неравенство из первого пункта вдоль пути из второго пункта следует что [math] R(P(v))\gt R(v) [/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math] R(v)=i \Rightarrow K(v) \ge 2^i [/math]
[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции: Для 0 равенство очевидное. Ранг вершины стает равным [math] i [/math] при сливании поддеревьев ранга i-1, отсюда следует:

[math]K(v) \ge K(v1)+K(v2) \ge 2^{i-1}+2^{i-1} \ge 2^i [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Из второго утверждения следует:

1. [math] R(v) \le \log_2(n) [/math]

2. Количество вершин ранга [math] i \le {n \over 2^i} [/math]


Теорема:
Амортизационная стоимость [math] get = O(\log^{*}(n)) [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим некоторое число [math] x [/math] . Разобьем наши ребра на три класса:

1.Ведут в корень или в сына корня.

2.[math] R(P(v)) \ge x^{R(v)}[/math]

3. Все остальные.

Обозначим эти классы [math] T1,T2,T3 [/math]

Амортизированная стоимость

[math] S= {\sum_{get} \limits} ({\sum_{v:v \in get,v \in T1} \limits 1} + {\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits 1} + {\sum_{v: \in get,v \in T3} \limits 1} ) / m [/math]

где [math] {v \in get } [/math] означает что ребро начало которого находится в [math] v [/math] было пройдено во время выполнения текущего [math] get [/math]. Ребро [math] v [/math] эквивалентно вершине в которой оно начинается.

В силу того что [math]{\sum_{v:v \in get,v \in T1} \limits 1} = O(1) [/math] получаем:

[math] S = O(1) + {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits} 1/m+ {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/m [/math]

Во время [math] get [/math] после прохождения K ребер из второго класса [math] R(v1) \ge x^{x^{.^{.^{.^{x^{R(v)}}}}}} [/math]

Из выше сказанного и первого следствия второго утверждения получаем что:
[math] {\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits} \le \log^*_x(\log_2(n)) = O(\log^*(n)) [/math]

Для того, чтобы [math] \log^*_x [/math] существовал необходимо, чтобы [math] x \gt e ^{ 1 /e } \approx 1,44 [/math]


Рассмотрим сумму
[math]{\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1~/m \lt {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n [/math]

Из первого утверждения и того что происходит сжатие путей следует [math] R(P(x))[/math] cтрого увеличивается при переходе по ребру из Т3.

Как максимум через [math] x^{R(k)} [/math] переходов ребро перестанет появляться в классе Т3.

[math] {\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n = {\sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ v \in T3} \limits } 1/n \le \sum_v \limits x^{R(v)} /n [/math]

Из второго следствия второго утверждения следует

[math] {\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n \le \sum_{Rank=0}^{log_{2}(n)} \limits {nx^{Rank} \over 2^{Rank} n} [/math]
При [math] x \lt 2~[/math] :
[math]{\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n \le \sum_{Rank=0}^{log_{2}(n)} \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}} \le \sum_{Rank=0}^\infty \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank} } \le { 2 \over 2-x } = O(1) [/math]
.


В результате [math] S=O(1)+O(\log^*(x))+O(1)=O(\log^*(x)) [/math].

В силу того что интервал [math] (1,45...2) [/math] не пустой теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки