Изменения

Пусть <tex>A_{1}</tex> и <tex>A_{2}</tex> — Для проверки совпадения языков достаточно запустить алгоритм проверки [[Детерминированные конечные автоматыЭквивалентность_состояний_ДКА| детерминированные конечные автоматыэквивалентности]], задающие языки <tex>L_{1}</tex> и <tex>L_{2}</tex> над одним алфавитом <tex>\Sigma</tex>, соответственно. Совпадение языков ('''эквивалентность''' задающих их автоматов) означает, что любое слово, допустимое одним автоматом, допускается и другим. Назовём состояния <tex>p_{1}</tex> из <tex>A_{1}</tex> и <tex>p_{2}</tex> из <tex>A_{2}</tex> '''различимыми''', если существует строка <tex>w</tex> из символов <tex>\Sigma</tex>, для которой выполняется  <tex>\langle p_{1}, w \rangle \rightarrow \langle t_{1}, \epsilon \rangle</tex>, <tex>\langle p_{2}, w \rangle \rightarrow \langle u_{2}, \epsilon \rangle</tex> или <tex>\langle p_{1}, w \rangle \rightarrow \langle u_{1}, \epsilon \rangle</tex>, <tex>\langle p_{2}, w \rangle \rightarrow \langle t_{2}, \epsilon \rangle</tex>, где <tex>t_{1}</tex>, <tex>t_{2}</tex> — допускающие состояния, <tex>u_{1}</tex>, <tex>u_{2}</tex> — недопускающие. Все состояния, из которых не достигаются допускающие, не влияют на множество слов, допускаемых автоматами; назовём их '''бесполезными'''. Введём '''сток'''<ref>Другое название стока - «дьявольское состояние».</ref> — специальное недопускающее состояние, переходы по всем символам из которого ведут в него самого. Все переходы исходного автомата, которые отсутствовали или вели в бесполезные состояния, направим в сток.  === Алгоритм проверки языков на совпадение === Первым шагом алгоритма является избавление автоматов от состояний, из которых недостижимы допускающие. Проще всего это реализовать обходом [[Обход в глубину, цвета вершин|в глубину]] или [[Обход в ширину|в ширину]] из допускающих состояний по обратным рёбрам. Все непосещённые состояния затем удаляются из автоматов, вместо них вводится описанный выше сток.  Пусть <tex>eq(v, u)</tex> — функция, принимающая пару состояний из первого и второго автоматов и возвращающая некоторое значение булевского типа. Второй шаг алгоритма — установка <tex>eq(v, u)</tex> в <tex>false</tex> для всех пар <tex>\langle v, u \rangle</tex>, кроме <tex>\langle s_{1}, s_{2} \rangle</tex>. Также создаётся очередь, в которую помещается пара <tex>\langle s_{1}, s_{2} \rangle</tex>.  Третий шаг алгоритма — [[Обход в ширину|обход в ширину]]. Пусть на текущем шаге из очереди получена пара <tex>\langle v \in A_{1}, u \in A_{2} \rangle</tex>. Тогда для всех символов <tex>c \in \Sigma</tex> рассматриваются пары <tex>\langle v', u' \rangle : \delta_{1} (v, c) = v', \delta_{2} (u, c) = u'</tex>. Если <tex>eq(v', u')</tex> возвращает <tex>false</tex>, данное значение устанавливается в <tex>true</tex>, а в очередь добавляется пара <tex>\langle v', u' \rangle</tex>.  {{Теорема|id=regEqual|statement=Автоматы <tex>A_{1}</tex> и <tex>A_{2}</tex> эквивалентны тогда и только тогда, когда после окончания работы алгоритма не существует такой пары <tex>\langle v, u \rangle</tex>, что <tex>eq(v, u)</tex> возвращает <tex>true</tex> и ровно одно из <tex>\langle v, u \rangle</tex> допускающее. |proof=Пусть такой пары не существует. Возьмём произвольное слово <tex>w</tex> длины <tex>n</tex> и выпишем последовательность пар состояний <tex>\langle v_{i}, u_{i} \rangle</tex>: <tex>v_{0} = s_{1}, u_{0} = s_{2}</tex> и <tex>\forall i = 1 .. n</tex> справедливо <tex>\delta_{1} (v_{i-1}, w[i-1]) = v_{i}, \delta_{2} (u_{i-1}, w[i-1]) = u_{i}</tex>. Так как пара <tex>\langle v_{0}, u_{0} \rangle</tex> была в очереди, каждая из последующих пар в процессе алгоритма также побывала в очереди, значит, <tex>eq</tex> для них возвращает <tex>true</tex>. По предположению, или оба состояния <tex>\langle v_{n}, u_{n} \rangle</tex> допускающие в своих автоматах, или оба недопускающие. Таким образом, строка <tex>w</tex> или входит в оба языка, или не входит ни в один.  Пусть такая пара <tex>\langle v, u \rangle</tex> существует. Для определённости скажем, что <tex>v \in A_{1}</tex> — допускающее. Рассмотрим строку <tex>w</tex>, состоящую из символов, в результате переходов по которым из <tex>\langle s_{1}, s_{2} \rangle</tex> в процессе обхода в ширину <tex>eq(v, u)</tex> было установлено в <tex>true</tex>. Строка <tex>w</tex> допускается первым автоматом, но не допускается вторым, значит, автоматы не эквивалентны.}} ==== Псевдокод ====  void reverseDfs(State v): v.canReach = true for each State u in v.prev: if !u.canReach: reverseDfs(u)  void setSink(Automaton a): State sink = new State for each symbol c in a.alphabet: sink.next(c) = sink for each State v in a: if !v.canReach: v = sink  void bfs(Automaton a, Automaton b, boolean[][] eq) fill(eq, false) eq[a.start][b.start] = true Queue q = new Queue q.add((a.start, b.start)) while !q.isEmpty: (v, u) = q.remove() for each symbol c in a.alphabet: // a.alphabet == b.alphabet v' = v.next(c) u' = u.next(c) if !eq[v'][u']: eq[v'][u'] = true q.add((v', u'))  boolean areEqual(Automaton a, Automaton b) for each State v in a: v.canReach = false for each State v in a: if v.isFinal: reverseDfs(v) setSink(a) for each State v in b: v.canReach = false for each State v in b: if v.isFinal: reverseDfs(v) setSink(b) eq = new boolean[a.statesNumber][b.statesNumber] bfs(a, b, eq) for each State v in a: for each State u in b: if eq[v][u] && v.isFinal != u.isFinal: return false return true