Изменения

''Антисимметричное'' отношение - бинарное отношение <tex>R \subseteq A\times A</tex>, для которого выполняется: <tex> \forall a, b\in A: (aRb) \wedge (bRa) \Rightarrow a = b</tex>. Определение антисимметричного отношения как <tex> (aRb) \Rightarrow \neg(bRa) </tex> является неверным, поскольку из такого = Основные определения также следует [[Рефлексивное_отношение| антирефлексивность]] R. Такое отношение называют ''асимметричным''.==

{{Определение|definition =[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''антисимметричным''' (англ. ''antisymmetric binary relation''), если для любых элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> из выполнения отношений <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex> следует равенство <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.}}:<tex>\forall a, b \in X,\ aRb \wedge bRa \; \Rightarrow \; a = b</tex>Или эквивалентное{{Определение|definition =Бинарное отношение <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых неравных элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> из выполнения отношения <tex>aRb</tex> следует невыполнение отношения <tex>bRa</tex>.}}:<tex>\forall a, b \in X,\ aRb \wedge a \ne b \Rightarrow \lnot bRa</tex> Определение антисимметричного отношения как <tex> aRb \Rightarrow \neg bRa </tex> является избыточным (и потому неверным), поскольку из такого определения также следует [[Рефлексивное_отношение| антирефлексивность]] R. Антисимметричность отношения не исключает симметричности. Существуют бинарные отношения:*одновременно симметричные и антисимметричные (отношение равенства);*ни симметричные, ни антисимметричные;*симметричные, но не антисимметричные;*антисимметричные, но не симметричные ("меньше или равно", "больше или равно"); Антирефлексивное антисимметричное отношение иногда называют асимметричным. Следует различать эти два понятия. Формальное определение:{{Определение|definition =[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''асимметричным''' (англ. ''asymmetric binary relation''), если для любых элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> одновременное выполнение отношений <tex>a R b</tex> и <tex>b R a</tex> невозможно.}}== Примеры антисимметричных отношений == Примерами антисимметричных отношений являются, по определению, все отношения [[Отношение порядка|полного и частичного порядка]] (<tex> <, >, \leleqslant, \ge geqslant </tex> и другие). Антисимметрично отношение делимости на натуральных числах (если <tex>a \mid b</tex> и <tex>b \mid a</tex>, то <tex>a=b</tex>) Отношение включения на <tex>2^U</tex>, где <tex>U</tex> {{---}} универсум, антисимметрично (<tex> A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Rightarrow A = B</tex>). == Свойства антисимметричного отношения == [[Файл:antisym.png|400px|thumb|right|Граф антисимметричного отношения (не имеет кратных ребер)]][[Файл:nonantisym.png|400px|thumb|right|Граф отношения, не являющегося антисимметричным]]Матрица смежности антисимметричного отношения может содержать единицы на главной диагонали, притом если элемент <tex>a_{ij}</tex> матрицы равен единице, то элемент <tex>a_{ji}</tex> равен нулю.  Например, если <tex>A</tex> {{---}} матрица смежности отношения "<tex>\leqslant</tex>" на <tex>X \subset N, X = \{1, 2, 3 ,4 , 5\}</tex>; <tex>B</tex> {{---}} матрица смежности отношения делимости на том же множестве <tex>X</tex>, то <tex> A=\bordermatrix{ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \cr 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \cr 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \cr } </tex> <tex> B=\bordermatrix{ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \cr 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \cr 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \cr } </tex> Ориентированный граф, изображающий антисимметричное отношение, не имеет двух дуг с противоположной ориентацией между двумя различными вершинами, однако в нём могут быть петли.  Если <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} некоторые антисимметричные отношения, то антисимметричными также являются отношения:#<tex>a\cap b</tex>#<tex>a^{-1}</tex>#<tex>b^{-1}</tex>Однако объединение и композиция <tex>a</tex> и <tex>b</tex> могут не сохранять антисимметричности.