Редактирование: Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика)

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Длинная арифметика''' (англ. ''arbitrary-precision arithmetic'', или ''bignum arithmetic'') — это набор программных средств (структуры данных и алгоритмы), которые позволяют работать с числами гораздо больших величин, чем это позволяют стандартные типы данных.
+
Длинная арифметика — это набор программных средств (структуры данных и алгоритмы), которые позволяют работать с числами гораздо больших величин, чем это позволяют стандартные типы данных.
 
}}
 
}}
{{Определение
 
|definition=
 
'''Классическая длинная арифметика''' — длинная арифметика, основная идея которой заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр. Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая.
 
}}
 
==Представление в памяти==
 
  
Один из вариантов хранения длинных чисел — массив целых чисел '''int''', где каждый элемент — это одна цифра числа в <tex>b</tex>-ичной системе счисления.
+
Основная идея заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр.
Для повышения эффективности каждый элемент вектора может содержать не одну, а несколько цифр (например, работаем в системе счисления по основанию миллиард, тогда каждый элемент вектора содержит <tex>9</tex> цифр):
 
  '''const''' '''int''' base <tex>\,=\,</tex> 1000 <tex>\cdot</tex> 1000 <tex>\cdot</tex> 1000
 
  
Цифры будут храниться в массиве в следующем порядке: сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.).
+
Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая.
  
Кроме того, все операции реализуются таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют).
+
==Представление в памяти==
Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль.
 
  
==Операции над числами==
+
Один из вариантов хранения длинных чисел можно реализовать в виде массива целых чисел, где каждый элемент — это одна цифра числа в '''b'''-й системе счисления.
  
Операции над числами производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком.
+
Цифры будут храниться в массиве в таком порядке, что сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.).
После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.
 
К ним также применимы алгоритмы быстрого умножения: [[Быстрое преобразование Фурье | Быстрое преобразование Фурье]] и [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%83%D0%B1%D1%8B Алгоритм Карацубы].
 
  
Приведённые ниже алгоритмы корректны в силу того, что они являются реализацией "школьных" алгоритмов действий в столбик:
+
Кроме того, все операции будут реализованы таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют). Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль.
  
<tex>A = abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c </tex>
+
==Сложение, вычитание, умножение, деление на короткое, деление на длинное==
  
<tex>B = de = 10 \cdot d + e </tex>
+
Операции над числами в этом виде длинной арифметики производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком.
  
Тогда сумма <tex>A + B = abc + de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) + (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b + d) + (c + e) </tex>
+
После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.
 
 
Разность <tex>A - B = abc - de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) - (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b - d) + (c - e) </tex>
 
 
 
Произведение <tex>A \cdot B = abc \cdot de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) \cdot (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a \cdot 10 \cdot d + 10 \cdot b \cdot 10 \cdot d + c \cdot 10 \cdot d + 100 \cdot a \cdot e + 10 \cdot b \cdot e + c \cdot e = 1000 \cdot a \cdot d + 100 \cdot (a \cdot e + b \cdot d) + 10 \cdot (b \cdot e + c \cdot d) + c \cdot e</tex>
 
 
 
=== Сложение ===
 
Прибавляет к числу <tex>a</tex> число <tex>b</tex> и сохраняет результат в <tex>a</tex> :
 
 
 
Алгоритм работает за <tex>O(max(n, m))</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 
 
 
Алгоритм не требует дополнительной памяти.
 
 
 
    '''function''' getSum(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>'''
 
        carry = 0
 
        i = 0
 
        '''while''' i < max(a.size(),b.size()) || carry
 
            '''if''' i == a.size()
 
                a.push_back(0)
 
            '''if''' i < b.size()
 
                a[i] += carry + b[i]
 
            '''else'''
 
                a[i] += carry
 
            carry = a[i] <tex>\geqslant</tex> base
 
            '''if''' carry
 
                a[i] -= base
 
            i++
 
        '''return''' a
 
 
 
=== Вычитание ===
 
Отнимает от числа <tex>a</tex> число <tex>b\,(a \geqslant b)</tex>  и сохраняет результат в <tex> a</tex>:
 
 
 
Алгоритм работает за <tex>O(max(n, m))</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 
 
 
Алгоритм не требует дополнительной памяти.
 
    '''function''' getSub(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>'''
 
        carry = 0
 
        i = 0
 
        '''while''' i < b.size() || carry
 
            '''if''' i < b.size()
 
                a[i] -= carry + b[i]
 
            '''else'''
 
                a[i] -= carry
 
            carry = a[i] < 0
 
            '''if''' carry
 
                a[i] += base
 
            i++
 
        '''while''' a.size() > 1 && a.back() == 0
 
            a.pop_back()
 
        <font color=green>//Здесь мы после выполнения вычитания удаляем лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.</font>
 
        '''return''' a
 
 
 
=== Умножение длинного на короткое ===
 
Умножает длинное <tex>a</tex> на короткое <tex>b\, (b < base)</tex> и сохраняет результат в <tex>a</tex> :
 
 
 
Алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> — длина длинного числа.
 
 
 
Алгоритм требует <tex>O(n)</tex> памяти, где <tex>n</tex> — длина длинного числа.
 
 
 
    '''function''' getCompLongShort(a: '''vector<int>''', b: '''int'''): '''vector<int>'''
 
        carry = 0
 
        i = 0
 
        '''while''' i < a.size() || carry
 
            '''if''' i == a.size()
 
                a.push_back(0)
 
            cur = carry + a[i] <tex>\cdot</tex> b;
 
            a[i] = cur '''mod''' base
 
            carry = cur / base
 
            i++
 
        '''return''' a
 
 
 
=== Умножение двух длинных чисел ===
 
Умножает <tex>a</tex> на <tex>b</tex> и результат сохраняет в <tex>c</tex> :
 
 
 
Алгоритм работает за <tex>O(n \cdot m)</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 
 
 
Алгоритм требует <tex>O(n \cdot m)</tex> памяти, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 
 
 
    '''function''' getCompLongLong(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>'''
 
        carry = 0
 
        i = 0
 
        '''while''' i < a.size()
 
            j = 0
 
            '''while''' (j < b.size() || carry)
 
                '''if''' j < b.size()
 
                    cur = c[i + j] + a[i] <tex>\cdot</tex> b[j] + carry
 
                '''else'''
 
                    cur = c[i + j] + carry
 
                c[i + j] = cur '''mod''' base
 
                carry = cur / base
 
                j++
 
            i++
 
        '''while''' c.size() > 1 && c.back() == 0
 
            c.pop_back()
 
        '''return''' c
 
 
 
=== Деление длинного на короткое  ===
 
Делит длинное <tex>a</tex> на короткое <tex>b\, (b < base)</tex>, частное сохраняет в <tex>a</tex>, остаток в <tex>carry</tex> :
 
 
 
Алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> — длина длинного числа.
 
 
 
Алгоритм не требует дополнительной памяти.
 
   
 
    '''function''' getDivLongShort(a: '''vector<int>''', b: '''int'''): '''vector<int>'''
 
        carry = 0
 
        i = a.size() - 1
 
        '''while''' i <tex>\geqslant</tex> 0
 
            cur = a[i] + carry <tex>\cdot</tex> base
 
            a[i] = cur '''mod''' base
 
            carry = cur / base
 
            i--
 
        '''while''' a.size() > 1 && a.back() == 0
 
            a.pop_back()
 
        '''return''' a
 
 
 
== См. также ==
 
*[[Системы счисления | Системы счисления]]
 
*[[Разложение на множители (факторизация) | Разложение на множители (факторизация)]]
 
 
 
 
 
== Источники информации ==
 
* [http://e-maxx.ru/algo/big_integer e-maxx: Длинная арифметика]
 
  
 +
==Подбор значения очередной цифры в алгоритме деления в столбик==
  
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
+
Подбор следующей цифры <tex>k \in [0, b]</tex> частного можно производить с помощью стандартного алгоритма двоичного поиска за <tex>\ln(b)</tex>.
[[Категория: Теория чисел]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: