344
правки
Изменения
→Вычитание
{{Определение
|definition=
'''Длинная арифметика ''' (англ. ''arbitrary-precision arithmetic'', или ''bignum arithmetic'') — это набор программных средств (структуры данных и алгоритмы), которые позволяют работать с числами гораздо больших величин, чем это позволяют стандартные типы данных.
}}
{{Определение
|definition=
'''Классическая длинная арифметика''' — длинная арифметика, основная идея которой заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр. Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая.
}}
==Представление в памяти==
Один из вариантов хранения длинных чисел — массив целых чисел '''int''', где каждый элемент — это одна цифра числа в <tex>b</tex>-ичной системе счисления.
Для повышения эффективности каждый элемент вектора может содержать не одну, а несколько цифр (например, работаем в системе счисления по основанию миллиард, тогда каждый элемент вектора содержит <tex>9</tex> цифр):
'''const''' '''int''' base <tex>\,=\,</tex> 1000 <tex>\cdot</tex> 1000 <tex>\cdot</tex> 1000
Цифры будут храниться в массиве в следующем порядке: сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.).
Кроме того, все операции реализуются таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют).
Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль.
==Операции над числами==
Операции над числами производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком.
После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.
К ним также применимы алгоритмы быстрого умножения: [[Быстрое преобразование Фурье | Быстрое преобразование Фурье]] и [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%83%D0%B1%D1%8B Алгоритм Карацубы].
Приведённые ниже алгоритмы корректны в силу того, что они являются реализацией "школьных" алгоритмов действий в столбик:
<tex>A = abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c </tex>
<tex>B = de = 10 \cdot d + e </tex>
Тогда сумма <tex>A + B = abc + de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) + (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b + d) + (c + e) </tex>
Разность <tex>A - B = abc - de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) - (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b - d) + (c - e) </tex>
Произведение <tex>A \cdot B = abc \cdot de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) \cdot (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a \cdot 10 \cdot d + 10 \cdot b \cdot 10 \cdot d + c \cdot 10 \cdot d + 100 \cdot a \cdot e + 10 \cdot b \cdot e + c \cdot e = 1000 \cdot a \cdot d + 100 \cdot (a \cdot e + b \cdot d) + 10 \cdot (b \cdot e + c \cdot d) + c \cdot e</tex>
=== Сложение ===
Прибавляет к числу <tex>a</tex> число <tex>b</tex> и сохраняет результат в <tex>a</tex> :
Алгоритм работает за <tex>O(max(n, m))</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
Алгоритм не требует дополнительной памяти.
'''function''' getSum(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>'''
carry = 0
i = 0
'''while''' i < max(a.size(),b.size()) || carry
'''if''' i == a.size()
a.push_back(0)
'''if''' i < b.size()
a[i] += carry + b[i]
'''else'''
a[i] += carry
carry = a[i] <tex>\geqslant</tex> base
'''if''' carry
a[i] -= base
i++
'''return''' a
=== Вычитание ===
Отнимает от числа <tex>a</tex> число <tex>b\,(a \geqslant b)</tex> и сохраняет результат в <tex> a</tex>:
Алгоритм работает за <tex>O(max(n, m))</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
Алгоритм не требует дополнительной памяти.
'''function''' getSub(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>'''
carry = 0
i = 0
'''while''' i < b.size() || carry
'''if''' i < b.size()
a[i] -= carry + b[i]
'''else'''
a[i] -= carry
carry = a[i] < 0
'''if''' carry
a[i] += base
i++
'''while''' a.size() > 1 && a.back() == 0
a.pop_back()
<font color=green>//Здесь мы после выполнения вычитания удаляем лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.</font>
'''return''' a
=== Умножение длинного на короткое ===
Умножает длинное <tex>a</tex> на короткое <tex>b\, (b < base)</tex> и сохраняет результат в <tex>a</tex> :
'''function''' getCompLongShort(a: '''vector<int>''', b: '''int'''): '''vector<int>''' carry =0 i =Представление в памяти0 '''while''' i < a.size() || carry '''if''' i ==a.size() a.push_back(0) cur = carry + a[i] <tex>\cdot</tex> b; a[i] = cur '''mod''' base carry = cur / base i++ '''return''' a
'''function''' getCompLongLong(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>''' carry = 0 i = 0 '''while''' i < a.size() j = 0 '''while''' (j < b.size() || carry) '''if''' j < b.size() cur = c[i + j] + a[i] <tex>\cdot</tex> b[j] + carry '''else''' cur = c[i + j] + carry c[i + j] =cur '''mod''' base carry =Сложение, вычитание, умножение, деление на короткое, деление на длинноеcur / base j++ i++ '''while''' c.size() > 1 && c.back() ==0 c.pop_back() '''return''' c
Алгоритм не требует дополнительной памяти. '''function''' getDivLongShort(a: '''vector<int>''', b: '''int'''): '''vector<int>''' carry =0 i =Подбор значения очередной цифры в алгоритме деления в столбикa.size() - 1 '''while''' i <tex>\geqslant</tex> 0 cur =a[i] + carry <tex>\cdot</tex> base a[i] =cur '''mod''' base carry = cur / base i-- '''while''' a.size() > 1 && a.back() == 0 a.pop_back() '''return''' a
