Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Вычитание
==Представление в памяти==
Один из вариантов хранения длинных чисел — массив целых чисел '''int''', где каждый элемент — это одна цифра числа в ''<tex>b''</tex>-ичной системе счисления.
Для повышения эффективности каждый элемент вектора может содержать не одну, а несколько цифр (например, работаем в системе счисления по основанию миллиард, тогда каждый элемент вектора содержит <tex>9</tex> цифр):
'''const''' '''int''' base <tex>\,=\,</tex> 1000 <tex>\cdot</tex> 1000 <tex>\cdot</tex> 1000
Операции над числами производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком.
После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.
К ним также применимы алгоритмы быстрого умножения: [[Быстрое преобразование Фурье | Быстрое преобразование Фурье]] и [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%83%D0%B1%D1%8B Алгоритм Карацубы]Приведённые ниже алгоритмы корректны в силу того, что они являются реализацией "школьных" алгоритмов действий в столбик: <tex>A = abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c </tex> <tex>B = de = 10 \cdot d + e </tex> Тогда сумма <tex>A + B = abc + de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) + (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b + d) + (c + e) </tex> Разность <tex>A - B = abc - de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) - (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b - d) + (c - e) </tex> Произведение <tex>A \cdot B = abc \cdot de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) \cdot (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a \cdot 10 \cdot d + 10 \cdot b \cdot 10 \cdot d + c \cdot 10 \cdot d + 100 \cdot a \cdot e + 10 \cdot b \cdot e + c \cdot e = 1000 \cdot a \cdot d + 100 \cdot (a \cdot e + b \cdot d) + 10 \cdot (b \cdot e + c \cdot d) + c \cdot e</tex>
=== Сложение ===
Алгоритм работает за <tex>O(max(n, m))</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
Алгоритм не требует <tex>O(n + m)</tex> дополнительной памяти, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
'''function''' getSum(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>''' carry = 0 i = 0 '''while''' i < max(a.size(),b.size()) || carry '''if''' i == a.size() a.push_back (0) '''if''' i < b.size() a[i] += carry + (b[i < b.size() ? b] '''else''' a[i] : 0)+= carry carry = a[i] <tex>\geqslant</tex> base '''if''' carry a[i] -= base i++ '''return''' a
=== Вычитание ===
Отнимает от числа <tex>a</tex> число <tex>b\,(a \geqslant b)</tex> и сохраняет результат в <tex> a</tex>:
Алгоритм работает за <tex>O(max(n, m))</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
Алгоритм не требует <tex>Oдополнительной памяти. '''function''' getSub(n + m)a: '''vector</texint> памяти''', где b: '''vector<texint>n, m'''): '''vector</texint> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.''' carry = 0 i = 0 '''while''' i < b.size() || carry '''if''' i < b.size() a[i] -= carry + (b[i < b.size() ? b] '''else''' a[i] : 0)-= carry carry = a[i] < 0 '''if''' carry a[i] += base i++ '''while''' a.size() > 1 && a.back() == 0 a.pop_back() <font color=green>//Здесь мы после выполнения вычитания удаляем лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.</font> '''return''' a
=== Умножение длинного на короткое ===
Умножает длинное <tex>a</tex> на короткое <tex>b \, (b < base)</tex> и сохраняет результат в <tex>a</tex> :
Алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> — длина длинного числа.
Алгоритм требует <tex>O(n \cdot m)</tex> памяти, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>длина длинного числа.
'''function''' getCompLongShort(a: '''vector<int>''', b: '''int'''): '''vector<int>''' carry = 0 i = 0 '''while''' i < a.size() || carry '''if''' i == a.size() a.push_back (0) '''long long''' cur = carry + a[i] <tex>\cdot</tex> 1ll <tex>\cdot</tex> b; a[i] = cur '''mod''' base carry = cur / base i++ '''whilereturn''' a.size() > 1 && a.back() == 0 a.pop_back() <font color=green>//Здесь мы после выполнения деления удаляем лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.</font>
=== Умножение двух длинных чисел ===
Умножает <tex>a</tex> на <tex>b</tex> и результат сохраняет в <tex>c</tex> :
 
Алгоритм работает за <tex>O(n \cdot m)</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
Алгоритм требует <font color=greentex>O(n \cdot m)</tex> памяти, где <tex>n, m</Умножает tex> — длины чисел <tex>a на </tex> и <tex>b и результат сохраняет в c:</fonttex>.  '''function''' getCompLongLong(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>''' carry = 0 i = 0 '''while''' i < a.size() j = 0 '''while''' (j < b.size() || carry) '''long longif''' j < b.size() cur = c[i+j] + a[i] <tex>\cdot</tex> 1ll <tex>\cdot</tex> (b[j < (int)b.size() ? b] + carry '''else''' cur = c[i + j] : 0) + carry c[i+j] = cur '''mod''' base carry = cur / base i j++ j i++ '''while''' c.size() > 1 && c.back() == 0 c.pop_back() '''return''' c
=== Деление длинного на короткое ===
Делит длинное <tex>a</tex> на короткое <tex>b\, (b < base)</tex>, частное сохраняет в <tex>a</tex>, остаток в <tex>carry</tex> :
 
Алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> — длина длинного числа.
 Алгоритм не требует дополнительной памяти. '''function''' getDivLongShort(a: '''vector<font color=greenint>//Делит длинное a на короткое ''', b (b < base: '''int'''), частное сохраняет в a, остаток в carry:'''vector</fontint>''' carry = 0 i = a.size()-1 '''while''' i <tex>\geqslant</tex> 0 '''long long''' cur = a[i] + carry <tex>\cdot</tex> 1ll <tex>\cdot</tex> base a[i] = cur '''mod''' base carry = cur / base i-- '''while''' a.size() > 1 && a.back() == 0 a.pop_back() '''return''' a
== См. также ==
== Источники информации ==
* [http://e-maxx.ru/algo/big_integer e-maxx: Длинная арифметика]
 
 
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
[[Категория: Теория чисел]]
344
правки

Навигация