Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Подбор значения очередной цифры в алгоритме деления в столбик)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 67 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Длинная арифметика — это набор программных средств (структуры данных и алгоритмы), которые позволяют работать с числами гораздо больших величин, чем это позволяют стандартные типы данных.
+
'''Длинная арифметика''' (англ. ''arbitrary-precision arithmetic'', или ''bignum arithmetic'') — это набор программных средств (структуры данных и алгоритмы), которые позволяют работать с числами гораздо больших величин, чем это позволяют стандартные типы данных.
 
}}
 
}}
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Классическая длинная арифметика''' — длинная арифметика, основная идея которой заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр. Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая.
 +
}}
 +
==Представление в памяти==
 +
 +
Один из вариантов хранения длинных чисел — массив целых чисел '''int''', где каждый элемент — это одна цифра числа в <tex>b</tex>-ичной системе счисления.
 +
Для повышения эффективности каждый элемент вектора может содержать не одну, а несколько цифр (например, работаем в системе счисления по основанию миллиард, тогда каждый элемент вектора содержит <tex>9</tex> цифр):
 +
  '''const''' '''int''' base <tex>\,=\,</tex> 1000 <tex>\cdot</tex> 1000 <tex>\cdot</tex> 1000
 +
 +
Цифры будут храниться в массиве в следующем порядке: сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.).
 +
 +
Кроме того, все операции реализуются таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют).
 +
Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль.
 +
 +
==Операции над числами==
 +
 +
Операции над числами производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком.
 +
После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.
 +
К ним также применимы алгоритмы быстрого умножения: [[Быстрое преобразование Фурье | Быстрое преобразование Фурье]] и [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%83%D0%B1%D1%8B Алгоритм Карацубы].
 +
 +
Приведённые ниже алгоритмы корректны в силу того, что они являются реализацией "школьных" алгоритмов действий в столбик:
 +
 +
<tex>A = abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c </tex>
 +
 +
<tex>B = de = 10 \cdot d + e </tex>
 +
 +
Тогда сумма <tex>A + B = abc + de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) + (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b + d) + (c + e) </tex>
 +
 +
Разность <tex>A - B = abc - de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) - (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b - d) + (c - e) </tex>
 +
 +
Произведение <tex>A \cdot B = abc \cdot de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) \cdot (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a \cdot 10 \cdot d + 10 \cdot b \cdot 10 \cdot d + c \cdot 10 \cdot d + 100 \cdot a \cdot e + 10 \cdot b \cdot e + c \cdot e = 1000 \cdot a \cdot d + 100 \cdot (a \cdot e + b \cdot d) + 10 \cdot (b \cdot e + c \cdot d) + c \cdot e</tex>
 +
 +
=== Сложение ===
 +
Прибавляет к числу <tex>a</tex> число <tex>b</tex> и сохраняет результат в <tex>a</tex> :
 +
 +
Алгоритм работает за <tex>O(max(n, m))</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 +
 +
Алгоритм не требует дополнительной памяти.
 +
 +
    '''function''' getSum(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>'''
 +
        carry = 0
 +
        i = 0
 +
        '''while''' i < max(a.size(),b.size()) || carry
 +
            '''if''' i == a.size()
 +
                a.push_back(0)
 +
            '''if''' i < b.size()
 +
                a[i] += carry + b[i]
 +
            '''else'''
 +
                a[i] += carry
 +
            carry = a[i] <tex>\geqslant</tex> base
 +
            '''if''' carry
 +
                a[i] -= base
 +
            i++
 +
        '''return''' a
 +
 +
=== Вычитание ===
 +
Отнимает от числа <tex>a</tex> число <tex>b\,(a \geqslant b)</tex>  и сохраняет результат в <tex> a</tex>:
 +
 +
Алгоритм работает за <tex>O(max(n, m))</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 +
 +
Алгоритм не требует дополнительной памяти.
 +
    '''function''' getSub(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>'''
 +
        carry = 0
 +
        i = 0
 +
        '''while''' i < b.size() || carry
 +
            '''if''' i < b.size()
 +
                a[i] -= carry + b[i]
 +
            '''else'''
 +
                a[i] -= carry
 +
            carry = a[i] < 0
 +
            '''if''' carry
 +
                a[i] += base
 +
            i++
 +
        '''while''' a.size() > 1 && a.back() == 0
 +
            a.pop_back()
 +
        <font color=green>//Здесь мы после выполнения вычитания удаляем лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.</font>
 +
        '''return''' a
 +
 +
=== Умножение длинного на короткое ===
 +
Умножает длинное <tex>a</tex> на короткое <tex>b\, (b < base)</tex> и сохраняет результат в <tex>a</tex> :
 +
 +
Алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> — длина длинного числа.
 +
 +
Алгоритм требует <tex>O(n)</tex> памяти, где <tex>n</tex> — длина длинного числа.
  
Основная идея заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр.
+
    '''function''' getCompLongShort(a: '''vector<int>''', b: '''int'''): '''vector<int>'''
 +
        carry = 0
 +
        i = 0
 +
        '''while''' i < a.size() || carry
 +
            '''if''' i == a.size()
 +
                a.push_back(0)
 +
            cur = carry + a[i] <tex>\cdot</tex> b;
 +
            a[i] = cur '''mod''' base
 +
            carry = cur / base
 +
            i++
 +
        '''return''' a
  
Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая.
+
=== Умножение двух длинных чисел ===
 +
Умножает <tex>a</tex> на <tex>b</tex> и результат сохраняет в <tex>c</tex> :
  
==Представление в памяти==
+
Алгоритм работает за <tex>O(n \cdot m)</tex>, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 +
 
 +
Алгоритм требует <tex>O(n \cdot m)</tex> памяти, где <tex>n, m</tex> — длины чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 +
 
 +
    '''function''' getCompLongLong(a: '''vector<int>''', b: '''vector<int>'''): '''vector<int>'''
 +
        carry = 0
 +
        i = 0
 +
        '''while''' i < a.size()
 +
            j = 0
 +
            '''while''' (j < b.size() || carry)
 +
                '''if''' j < b.size()
 +
                    cur = c[i + j] + a[i] <tex>\cdot</tex> b[j] + carry
 +
                '''else'''
 +
                    cur = c[i + j] + carry
 +
                c[i + j] = cur '''mod''' base
 +
                carry = cur / base
 +
                j++
 +
            i++
 +
        '''while''' c.size() > 1 && c.back() == 0
 +
            c.pop_back()
 +
        '''return''' c
  
Один из вариантов хранения длинных чисел можно реализовать в виде массива целых чисел, где каждый элемент — это одна цифра числа в '''b'''-й системе счисления.
+
=== Деление длинного на короткое  ===
 +
Делит длинное <tex>a</tex> на короткое <tex>b\, (b < base)</tex>, частное сохраняет в <tex>a</tex>, остаток в <tex>carry</tex> :
  
Цифры будут храниться в массиве в таком порядке, что сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.).
+
Алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> — длина длинного числа.
  
Кроме того, все операции будут реализованы таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют). Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль.
+
Алгоритм не требует дополнительной памяти.
 +
   
 +
    '''function''' getDivLongShort(a: '''vector<int>''', b: '''int'''): '''vector<int>'''
 +
        carry = 0
 +
        i = a.size() - 1
 +
        '''while''' i <tex>\geqslant</tex> 0
 +
            cur = a[i] + carry <tex>\cdot</tex> base
 +
            a[i] = cur '''mod''' base
 +
            carry = cur / base
 +
            i--
 +
        '''while''' a.size() > 1 && a.back() == 0
 +
            a.pop_back()
 +
        '''return''' a
  
==Сложение, вычитание, умножение, деление на короткое, деление на длинное==
+
== См. также ==
 +
*[[Системы счисления | Системы счисления]]
 +
*[[Разложение на множители (факторизация) | Разложение на множители (факторизация)]]
  
Операции над числами в этом виде длинной арифметики производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком.
 
  
После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.
+
== Источники информации ==
 +
* [http://e-maxx.ru/algo/big_integer e-maxx: Длинная арифметика]
  
==Подбор значения очередной цифры в алгоритме деления в столбик==
 
  
Подбор следующей цифры <tex>k \in [0, b)</tex> частного можно производить с помощью стандартного алгоритма двоичного поиска за <tex>\ln(b)</tex>.
+
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
 +
[[Категория: Теория чисел]]

Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022

Определение:
Длинная арифметика (англ. arbitrary-precision arithmetic, или bignum arithmetic) — это набор программных средств (структуры данных и алгоритмы), которые позволяют работать с числами гораздо больших величин, чем это позволяют стандартные типы данных.


Определение:
Классическая длинная арифметика — длинная арифметика, основная идея которой заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр. Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая.

Представление в памяти

Один из вариантов хранения длинных чисел — массив целых чисел int, где каждый элемент — это одна цифра числа в [math]b[/math]-ичной системе счисления. Для повышения эффективности каждый элемент вектора может содержать не одну, а несколько цифр (например, работаем в системе счисления по основанию миллиард, тогда каждый элемент вектора содержит [math]9[/math] цифр):

  const int base [math]\,=\,[/math] 1000 [math]\cdot[/math] 1000 [math]\cdot[/math] 1000

Цифры будут храниться в массиве в следующем порядке: сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.).

Кроме того, все операции реализуются таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют). Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль.

Операции над числами

Операции над числами производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком. После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют. К ним также применимы алгоритмы быстрого умножения: Быстрое преобразование Фурье и Алгоритм Карацубы.

Приведённые ниже алгоритмы корректны в силу того, что они являются реализацией "школьных" алгоритмов действий в столбик:

[math]A = abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c [/math]

[math]B = de = 10 \cdot d + e [/math]

Тогда сумма [math]A + B = abc + de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) + (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b + d) + (c + e) [/math]

Разность [math]A - B = abc - de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) - (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b - d) + (c - e) [/math]

Произведение [math]A \cdot B = abc \cdot de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) \cdot (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a \cdot 10 \cdot d + 10 \cdot b \cdot 10 \cdot d + c \cdot 10 \cdot d + 100 \cdot a \cdot e + 10 \cdot b \cdot e + c \cdot e = 1000 \cdot a \cdot d + 100 \cdot (a \cdot e + b \cdot d) + 10 \cdot (b \cdot e + c \cdot d) + c \cdot e[/math]

Сложение

Прибавляет к числу [math]a[/math] число [math]b[/math] и сохраняет результат в [math]a[/math] :

Алгоритм работает за [math]O(max(n, m))[/math], где [math]n, m[/math] — длины чисел [math]a[/math] и [math]b[/math].

Алгоритм не требует дополнительной памяти.

    function getSum(a: vector<int>, b: vector<int>): vector<int>
        carry = 0
        i = 0
        while i < max(a.size(),b.size()) || carry
            if i == a.size()
                a.push_back(0)
            if i < b.size()
                a[i] += carry + b[i]
            else
                a[i] += carry
            carry = a[i] [math]\geqslant[/math] base
            if carry
                a[i] -= base
            i++
        return a

Вычитание

Отнимает от числа [math]a[/math] число [math]b\,(a \geqslant b)[/math] и сохраняет результат в [math] a[/math]:

Алгоритм работает за [math]O(max(n, m))[/math], где [math]n, m[/math] — длины чисел [math]a[/math] и [math]b[/math].

Алгоритм не требует дополнительной памяти.

    function getSub(a: vector<int>, b: vector<int>): vector<int>
        carry = 0
        i = 0
        while i < b.size() || carry
            if i < b.size()
                a[i] -= carry + b[i]
            else
                a[i] -= carry
            carry = a[i] < 0
            if carry
                a[i] += base
            i++
        while a.size() > 1 && a.back() == 0
            a.pop_back()
        //Здесь мы после выполнения вычитания удаляем лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.
        return a

Умножение длинного на короткое

Умножает длинное [math]a[/math] на короткое [math]b\, (b \lt base)[/math] и сохраняет результат в [math]a[/math] :

Алгоритм работает за [math]O(n)[/math], где [math]n[/math] — длина длинного числа.

Алгоритм требует [math]O(n)[/math] памяти, где [math]n[/math] — длина длинного числа.

    function getCompLongShort(a: vector<int>, b: int): vector<int>
        carry = 0
        i = 0
        while i < a.size() || carry
            if i == a.size()
                a.push_back(0)
            cur = carry + a[i] [math]\cdot[/math] b;
            a[i] = cur mod base
            carry = cur / base
            i++
        return a

Умножение двух длинных чисел

Умножает [math]a[/math] на [math]b[/math] и результат сохраняет в [math]c[/math] :

Алгоритм работает за [math]O(n \cdot m)[/math], где [math]n, m[/math] — длины чисел [math]a[/math] и [math]b[/math].

Алгоритм требует [math]O(n \cdot m)[/math] памяти, где [math]n, m[/math] — длины чисел [math]a[/math] и [math]b[/math].

    function getCompLongLong(a: vector<int>, b: vector<int>): vector<int>
        carry = 0
        i = 0
        while i < a.size()
            j = 0
            while (j < b.size() || carry)
                if j < b.size()
                    cur = c[i + j] + a[i] [math]\cdot[/math] b[j] + carry
                else
                    cur = c[i + j] + carry
                c[i + j] = cur mod base
                carry = cur / base
                j++
            i++
        while c.size() > 1 && c.back() == 0
            c.pop_back()
        return c

Деление длинного на короткое

Делит длинное [math]a[/math] на короткое [math]b\, (b \lt base)[/math], частное сохраняет в [math]a[/math], остаток в [math]carry[/math] :

Алгоритм работает за [math]O(n)[/math], где [math]n[/math] — длина длинного числа.

Алгоритм не требует дополнительной памяти.

    function getDivLongShort(a: vector<int>, b: int): vector<int>
        carry = 0
        i = a.size() - 1
        while i [math]\geqslant[/math] 0
            cur = a[i] + carry [math]\cdot[/math] base
            a[i] = cur mod base
            carry = cur / base
            i--
        while a.size() > 1 && a.back() == 0
            a.pop_back()
        return a

См. также


Источники информации